Цю статтю написано занадто професійним стилем зі специфічною термінологією, що може бути незрозумілим для більшості читачів. Ви можете допомогти вдосконалити цю статтю, зробивши її зрозумілою для неспеціалістів без втрат змісту. Можливо, сторінка обговорення містить зауваження щодо потрібних змін. (липень 2021)

Вступний розділ цієї статті, ймовірно, несповна підсумовує ключові тези її вмісту. Будь ласка, допоможіть розширити вступ, додавши стислий огляд найважливіших аспектів статті. (липень 2021)

В іншому мовному розділі є повніша стаття Moment (mathematics)(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської. (липень 2021) Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська». Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії! Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії. Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті. Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.

Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.

Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини ${\displaystyle \xi }$, яка приймає значення ${\displaystyle x_{i}}$ з ймовірністю ${\displaystyle p_{i}}$, де ${\displaystyle i=1,2,3...}$, називається число ${\displaystyle M\xi ^{n}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{k}p_{i}}$, якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто ${\displaystyle M|\xi ^{n}|=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}^{k}|p_{i}<\infty }$.^[1]

Величина ${\displaystyle M|\xi ^{n}|}$ називається абсолютним моментом випадкової величини ${\displaystyle \xi }$.

Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини ${\displaystyle \xi }$ з густиною ${\displaystyle p(x)}$, називається число ${\displaystyle M\xi ^{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}p(x)dx}$, якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто ${\displaystyle M|\xi ^{n}|=\int _{-\infty }^{\infty }|x^{k}|p(x)dx<\infty }$.^[1]

Якщо дана випадкова величина ${\displaystyle \displaystyle X,}$ визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини ${\displaystyle \displaystyle X}$ називається величина

${\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{k}\right],}$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

${\displaystyle \nu _{k}=\mathbb {E} \left[X^{k}\right],}$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

${\displaystyle \displaystyle k}$-им факторіальним моментом випадкової величини ${\displaystyle \displaystyle X}$ називається величина

${\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],}$

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

${\displaystyle \displaystyle \mu _{1}=0,}$

${\displaystyle \displaystyle \mu _{2}=\nu _{2}-\nu _{1}^{2},}$

${\displaystyle \displaystyle \mu _{3}=\nu _{3}-3\nu _{1}\nu _{2}+2\nu _{1}^{3},}$

${\displaystyle \displaystyle \mu _{4}=\nu _{4}-4\nu _{1}\nu _{3}+6\nu _{1}^{2}\nu _{2}-3\nu _{1}^{4},}$

${\displaystyle \mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}v_{k-s}v_{1}^{s}}}$

Якщо визначені моменти ${\displaystyle \displaystyle k}$-го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків ${\displaystyle 1\leqslant k'<k.}$.

• ${\displaystyle \displaystyle \nu _{1}}$ дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
• ${\displaystyle \displaystyle \mu _{2}}$ дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини ${\displaystyle \displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})}$ і показує розсіяння (розкид) довкола середнього значення.
• ${\displaystyle \displaystyle \mu _{3}}$, будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}}$

називається коефіцієнтом асиметрії.

• ${\displaystyle \displaystyle \mu _{4}}$ контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$

називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в. ${\displaystyle \displaystyle X.}$

• Моменти можна обчислити безпосередньо шляхом інтегрування відповідної функії випадкової величини. Зокрема, для абсолютно неперервного розподілу із щільністю${\displaystyle \displaystyle f(x),}$ маємо:

${\displaystyle \nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,f(x)\,dx,}$

якщо

${\displaystyle \nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty }}$,

а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей ${\displaystyle \displaystyle p(x)}$:

${\displaystyle \nu _{k}=\sum \limits _{x}x^{k}\,p(x),}$

якщо ${\displaystyle \nu _{k}=\sum \limits _{x}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.}$

• Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію ${\displaystyle \displaystyle \varphi (t)}$:

${\displaystyle \nu _{k}=\left.-i^{k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\varphi (t)\right\vert _{t=0}.}$

• Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів, ${\displaystyle \displaystyle M_{X}(t),}$, то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:

${\displaystyle \nu _{k}=\left.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M_{X}(t)\right\vert _{t=0}.}$

Можна також розглядати моменти в.в. для значень ${\displaystyle k}$, що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу ${\displaystyle k}$, називається перетворення Мелліна.

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

• Математичне сподівання
• Дисперсія випадкової величини

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Сеньо П. С. (2004). Розділ 4.3. Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 1-e). Київ: Центр навчальної літератури. с. 448.