Μιχαήλ Γκρόμοφ

Μιχαήλ Γκρόμοφ
Γενικές πληροφορίες
Όνομα στη
μητρική γλώσσα		Михаил Леонидович Громов (Ρωσικά) και Mikhaïl Gromov (Γαλλικά)
Γέννηση23 Δεκεμβρίου 1943
Μποκσιτογκόρσκ
Χώρα πολιτογράφησηςΈνωση Σοβιετικών Σοσιαλιστικών Δημοκρατιών
Γαλλία (από 1992)[1]
Ρωσία
Εκπαίδευση και γλώσσες
Ομιλούμενες γλώσσεςΡωσικά[2]
Γαλλικά[3][2]
Αγγλικά[3][2]
ΕκπαίδευσηΔιδάκτωρ των Επιστημών στη Φυσική και τα Μαθηματικά
ΣπουδέςMathematics and Mechanics Faculty, St. Petersburg State University
Κρατικό Πανεπιστήμιο Αγίας Πετρούπολης[4]
Σχολείο του Αγίου Πέτρου
Πληροφορίες ασχολίας
Ιδιότηταμαθηματικός[5]
διδάσκων πανεπιστημίου
ορκωτός τοπογράφος κτιρίων
ακαδημαϊκός
ΕργοδότηςΠανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης[6]
Ινστιτούτο Προηγμένων Επιστημονικών Μελετών
Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης στο Στόνι Μπρουκ[7]
Αξιοσημείωτο έργοGromov norm
filling radius
Gromov–Hausdorff convergence
pseudoholomorphic curve
Gromov's compactness theorem
Gromov's theorem on Betti numbers
Non-squeezing theorem
Gromov's theorem on groups of polynomial growth
Bishop–Gromov inequality
Αξιώματα και βραβεύσεις
Βραβεύσειςβραβείο Όσβαλντ Βέμπλεν στη γεωμετρία (1981)
βραβείο Ελί Καρτάν (1984)
βραβείο Βολφ Μαθηματικών (1993)
βραβείο Λομπατσέφσκι (1997)[8]
βραβείο Μπάλζαν (1999)
βραβείο Νέμερς στα μαθηματικά (2004)
βραβείο Μπόγιαϊ (2005)
βραβείο Άμπελ (2009)[9]
βραβείο Κιότο στις βασικές επιστήμες (2002)[10]
επίτιμος διδάκτωρ του Πανεπιστημίου του Νεσατέλ (2009)[11]
αλλοδαπό μέλος της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου (2011)[12]
βραβείο Λιρόϊ Π. Στιλ για σημαντική συμβολή στην έρευνα (1997)[13]
Ιστότοπος
www.ihes.fr/~gromov/
Commons page Σχετικά πολυμέσα
δεδομένα

Ο Μιχαήλ Λεονίντοβιτς Γκρόμοφ (επίσης Μιχαήλ Γκρόμοφ, Μιχαήλ Γκρόμοφ ή Μίσα Γκρόμοφ, ρωσικά: Михаи́л Леони́дович Гро́мов, γεννήθηκε στις 23 Δεκεμβρίου 1943) είναι Ρωσο-Γάλλος μαθηματικός, γνωστός για το έργο του στη γεωμετρία, την ανάλυση και τη θεωρία ομάδων. Είναι μόνιμο μέλος του IHÉS στη Γαλλία και καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης.

Ο Γκρόμοφ τιμήθηκε με πολλά βραβεία, μεταξύ των οποίων το Βραβείο Άμπελ το 2009 "για την πρωτοποριακή συμβολή του στη γεωμετρία".

Βιογραφία

Ο Μιχαήλ Γκρόμοφ γεννήθηκε στις 23 Δεκεμβρίου 1943 στο Μποκσιτογκόρσκ της Σοβιετικής Ένωσης. Ο Ρώσος πατέρας του Λεονίντ Γκρόμοφ και η μητέρα του Λία ήταν παθολόγοι.[14] Η μητέρα του ήταν ξαδέλφη του παγκόσμιου πρωταθλητή στο σκάκι Μιχαήλ Μποτβίνικ, καθώς και του μαθηματικού Ισαάκ Μοϊσέγεβιτς Ραμπίνοβιτς.[15] Ο Γκρόμοφ γεννήθηκε κατά τη διάρκεια του Β' Παγκοσμίου Πολέμου και η μητέρα του, η οποία εργαζόταν ως γιατρός στον σοβιετικό στρατό, αναγκάστηκε να εγκαταλείψει τη γραμμή του μετώπου για να τον γεννήσει.[16] Όταν ο Γκρόμοφ ήταν εννέα ετών[17] , η μητέρα του του έδωσε το βιβλίο "Η απόλαυση των μαθηματικών" των Χανς Ραντεμάχερ και Όττο Τόεπλιτς, ένα βιβλίο που του κίνησε την περιέργεια και τον επηρέασε πολύ[16].

Ο Γκρόμοφ σπούδασε μαθηματικά στο Κρατικό Πανεπιστήμιο του Λένινγκραντ, όπου πήρε μεταπτυχιακό δίπλωμα το 1965, διδακτορικό το 1969 και υποστήριξε τη μεταδιδακτορική του διατριβή το 1973. Σύμβουλος της διατριβής του ήταν ο Βλαντίμιρ Ρόχλιν[18].

Ο Γκρόμοφ παντρεύτηκε το 1967. Το 1970, προσκλήθηκε να κάνει μια παρουσίαση στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στη Νίκαια της Γαλλίας. Ωστόσο, δεν του επετράπη να φύγει από την ΕΣΣΔ. Παρόλα αυτά, η διάλεξή του δημοσιεύτηκε στα πρακτικά του συνεδρίου.

Επειδή διαφωνούσε με το σοβιετικό σύστημα, σκεφτόταν να μεταναστεύσει από την ηλικία των 14. Στις αρχές της δεκαετίας του 1970 σταμάτησε τις δημοσιεύσεις, ελπίζοντας ότι αυτό θα βοηθούσε την αίτησή του να μετακομίσει στο Ισραήλ.[17][19] Άλλαξε το επώνυμό του με το όνομα της μητέρας του.[20] Έλαβε μια κωδικοποιημένη επιστολή που έλεγε ότι, αν μπορούσε να φύγει από τη Σοβιετική Ένωση, θα μπορούσε να πάει στο Στόνι Μπρουκ, όπου του είχε κανονιστεί μια θέση. Όταν το αίτημα έγινε δεκτό το 1974, μετακόμισε άμεσα στη Νέα Υόρκη και εργάστηκε στο Στόνι Μπρουκ[21].

Το 1981 εγκατέλειψε το Πανεπιστήμιο Stony Brook για να ενταχθεί στη σχολή του Πανεπιστημίου Paris VI και το 1982 έγινε μόνιμος καθηγητής στο Ινστιτούτο Ανώτερων Επιστημονικών Μελετών (IHES), όπου παραμένει μέχρι σήμερα. Παράλληλα, κατείχε θέσεις καθηγητή στο πανεπιστήμιο του Μέριλαντ, College Park από το 1991 έως το 1996, και στο Courant Institute of Mathematical Sciences στη Νέα Υόρκη από το 1996[8]. το 1992 υιοθέτησε τη γαλλική υπηκοότητα[22].

Συνεισφορές

Το ύφος της γεωμετρίας του Γκρόμοφ χαρακτηρίζεται συχνά από μια "χονδροειδή" ή "μαλακή" οπτική γωνία, αναλύοντας ασυμπτωτικές ή μεγάλης κλίμακας ιδιότητες.Τον ενδιαφέρει επίσης η μαθηματική βιολογία,[23] η δομή του εγκεφάλου και η διαδικασία της σκέψης, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο εξελίσσονται οι επιστημονικές ιδέες[24].

Με κίνητρο τα θεωρήματα της ισομετρικής ενσωμάτωσης των Νας και Κούιπερ και τα αποτελέσματα για τις εμβυθίσεις των Μόρις Χιρς και Στίβεν Σμέιλ,,[23] ο Gromov εισήγαγε την αρχή h σε διάφορες διατυπώσεις. Με πρότυπο την ειδική περίπτωση της θεωρίας Hirsch-Smale, εισήγαγε και ανέπτυξε τη γενική θεωρία των μικροευέλικτων κυψελών, αποδεικνύοντας ότι ικανοποιούν την αρχή h σε ανοικτές πολλαπλότητες[25]. Ως συνέπεια (μεταξύ άλλων αποτελεσμάτων) μπόρεσε να τεκμηριώσει την ύπαρξη θετικά καμπύλων και αρνητικά καμπύλων μετρικών του Ριμάν σε οποιαδήποτε ανοικτή πολλαπλότητα. Το αποτέλεσμά του έρχεται σε αντίθεση με τους γνωστούς τοπολογικούς περιορισμούς (όπως το θεώρημα ψυχής Τσίγκερ-Γκρόμολ ή το θεώρημα Καρτάν-Χαντάμαρντ) σε γεωδαιτικά πλήρεις Ριμανιανές πολλαπλότητες θετικής ή αρνητικής καμπυλότητας. Μετά από αυτό το αρχικό έργο, ανέπτυξε περαιτέρω h-αρχές εν μέρει σε συνεργασία με τον Γιακόβ Ελίασμπεργκ, συμπεριλαμβανομένης της εργασίας που βασίζεται στο θεώρημα των Νας και Κούιπερ και στο θεώρημα των Nash-Moser για τις εμπρόθετες συναρτήσεις.Υπάρχουν πολλές εφαρμογές των αποτελεσμάτων του, συμπεριλαμβανομένων τοπολογικών συνθηκών για την ύπαρξη ακριβών Λαγκρανζιανών εμβαπτίσεων και παρόμοιων αντικειμένων στη συμπλεκτική γεωμετρία και τη γεωμετρία επαφής.Το γνωστό βιβλίο του "Μερικές Διαφορικές Σχέσεις" συγκεντρώνει το μεγαλύτερο μέρος της εργασίας του πάνω σε αυτά τα προβλήματα.[26] Αργότερα, εφάρμοσε τις μεθόδους του στη μιγαδική γεωμετρία, αποδεικνύοντας ορισμένες περιπτώσεις της αρχής Oka για την παραμόρφωση συνεχών χαρτών σε ολομορφικούς χάρτες. Το έργο του έδωσε το έναυσμα για την ανανέωση της μελέτης της θεωρίας Όκα-Γκράουερτ, η οποία είχε εισαχθεί τη δεκαετία του 1950[27][28].

Οι Γκρόμοφ και Βιτάλι Μίλμαν έδωσαν μια διατύπωση του φαινομένου της συγκέντρωσης του μέτρου. Ορίζουν μια "οικογένεια Lévy" ως μια ακολουθία κανονικοποιημένων μετρικών χώρων μέτρου στην οποία κάθε ασυμπτωτικά μη φευγαλέα ακολουθία συνόλων μπορεί να πυκνωθεί μετρικά ώστε να περιλαμβάνει σχεδόν κάθε σημείο. Αυτό μιμείται στενά τα φαινόμενα του νόμου των μεγάλων αριθμών, και στην πραγματικότητα ο νόμος των μεγάλων αριθμών μπορεί να τεθεί στο πλαίσιο των οικογενειών Lévy. Οι Γκρόμοφ και Μίλμαν ανέπτυξαν τη βασική θεωρία των οικογενειών Lévy και εντόπισαν έναν αριθμό παραδειγμάτων, τα σημαντικότερα από τα οποία προέρχονται από ακολουθίες πολλαπλοτήτων Ριμάνι στις οποίες το κατώτερο όριο της καμπυλότητας Ricci ή η πρώτη ιδιοτιμή του τελεστή Laplace-Beltrami αποκλίνουν στο άπειρο. Ανέδειξαν επίσης ένα χαρακτηριστικό των οικογενειών Lévy στο οποίο οποιαδήποτε ακολουθία συνεχών συναρτήσεων πρέπει να είναι ασυμπτωτικά σχεδόν σταθερή. Αυτές οι εκτιμήσεις συνεχίστηκαν από άλλους συγγραφείς, όπως ο Μισέλ Ταλαγκράν[29].

Από τη θεμελιώδη δημοσίευση του 1964 των Τζέιμς Ελλς και Ιωσήφ Σάμπσον για τους αρμονικούς χάρτες, διάφορα φαινόμενα ακαμψίας είχαν συναχθεί από το συνδυασμό ενός θεωρήματος ύπαρξης για τις αρμονικές απεικονίσεις μαζί με ένα θεώρημα εξαφάνισης που υποστήριζε ότι (ορισμένες) αρμονικές απεικονίσεις πρέπει να είναι πλήρως γεωδαισιακές ή ολομορφικές.[30][31][32] Ο Γκρόμοφ είχε τη διορατικότητα ότι η επέκταση αυτού του προγράμματος στο περιβάλλον των απεικονίσεων σε μετρικούς χώρους θα συνεπαγόταν νέα αποτελέσματα για τις διακριτές ομάδες, ακολουθώντας την υπερκαμψία Margulis. Ο Ρίτσαρντ Σόεν διεξήγαγε την αναλυτική εργασία για την επέκταση της θεωρίας των αρμονικών χαρτών στο περιβάλλον των μετρικών χώρων- αυτό έγινε στη συνέχεια πιο συστηματικά από τους Nicholas Korevaar και Ρίτσαρντ Σόεν, καθιερώνοντας επεκτάσεις των περισσότερων από τις τυπικές θεωρίες των χώρων Sobolev[33]. Ένα δείγμα εφαρμογής των μεθόδων των Γκρόμοφ και Schoen είναι το γεγονός ότι τα πλέγματα στην ομάδα ισομετρίας του τεταρτοβάθμιου υπερβολικού χώρου είναι αριθμητικά[34].

Βραβεία

  • Βραβείο της Μαθηματικής Εταιρείας της Μόσχας (1971)
  • Βραβείο Όσβαλντ Βέμπλεν στη Γεωμετρία (AMS) (1981)
  • Βραβείο Ελί Καρτάν της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού (1984)
  • Βραβείο της Ένωσης Ασφαλιστικών Εταιρειών του Παρισιού (1989)
  • βραβείο Βολφ στα Μαθηματικά (1993)
  • βραβείο Leroy P. Steele για θεμελιώδη συμβολή στην έρευνα (AMS) (1997)
  • Μετάλλιο Λομπατσέφσκι (1997)
  • βραβείο Μπαλζάν για τα Μαθηματικά (1999)
  • βραβείο Κυότο στις Μαθηματικές Επιστήμες (2002)
  • βραβείο Νέμερς στα Μαθηματικά (2004)[35]
  • βραβείο Μπόλιαι (2005)
  • βραβείο Άμπελ το 2009 "για την επαναστατική συμβολή του στη γεωμετρία"[36]

Επιλεγμένες δημοσιεύσεις

  • Stable mappings of foliations into manifolds. (russisch) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 33 1969 707–734.
  • Με τον Wladimir Rochlin: Imbeddings and immersions in Riemannian geometry. (russisch) Uspehi Mat. Nauk 25 1970 no. 5 (155), 3–62.
  • Με τον Blaine Lawson: The classification of simply connected manifolds of positive scalar curvature. Ann. of Math. (2) 111 (1980), no. 3, 423–434.[37]
  • Groups of polynomial growth and expanding maps. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 53 (1981), 53–73.[38]
  • Με τον Jeff Cheeger, Michael E. Taylor: Finite propagation speed, kernel estimates for functions of the Laplace operator, and the geometry of complete Riemannian manifolds. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 1, 15–53.
  • Volume and bounded cohomology. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 56 (1982), 5–99 (1983).
  • Filling Riemannian manifolds. J. Differential Geom. 18 (1983), no. 1, 1–147.
  • Με τον Blaine Lawson: Positive scalar curvature and the Dirac operator on complete Riemannian manifolds. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 58 (1983), 83–196 (1984).[39]
  • Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds. Invent. Math. 82 (1985), no. 2, 307–347.
  • Με τον Jeff Cheeger: L2-cohomology and group cohomology. Topology 25 (1986), no. 2, 189–215.
  • Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75–263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
  • Με τον Juri Burago, Grigori Perelman: A. D. Aleksandrov spaces with curvatures bounded below. (russisch) Uspekhi Mat. Nauk 47 (1992), no. 2(284), 3--51, 222
  • mit Richard Schoen: Harmonic maps into singular spaces and p-adic superrigidity for lattices in groups of rank one. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 76 (1992), 165–246.
  • Carnot-Carathéodory spaces seen from within. Sub-Riemannian geometry, 79–323, Progr. Math., 144, Birkhäuser, Basel, 1996.[40]
  • Random walk in random groups. Geom. Funct. Anal. 13 (2003), no. 1, 73–146.

Παραπομπές

  1. ↑ «Journal officiel de la République française». (Γαλλικά) Journal officiel de la République française.
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Τσεχική Εθνική Βάση Δεδομένων Καθιερωμένων Όρων. jn20000602557. Ανακτήθηκε στις 1  Μαρτίου 2022.
  3. ↑ 3,0 3,1 Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας: (Γαλλικά) καθιερωμένοι όροι της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας. 11905984d. Ανακτήθηκε στις 10  Οκτωβρίου 2015.
  4. ↑ (Αγγλικά) Mathematics Genealogy Project.
  5. ↑ Τσεχική Εθνική Βάση Δεδομένων Καθιερωμένων Όρων. jn20000602557. Ανακτήθηκε στις 28  Σεπτεμβρίου 2023.
  6. ↑ math.nyu.edu/people/profiles/GROMOV_Mikhael.html. Ανακτήθηκε στις 2  Φεβρουαρίου 2022.
  7. ↑ Ανακτήθηκε στις 4  Ιουλίου 2019.
  8. ↑ medal.kpfu.ru/laureatyi-medali/.
  9. ↑ www.abelprize.no/c53859/seksjon/vis.html?tid=54323.
  10. ↑ www.kyotoprize.org/en/laureates/.
  11. ↑ www.unine.ch/unine/home/luniversite/Evenements/dies-academicus/dies-academicus-2009.html.
  12. ↑ Ανακτήθηκε στις 30  Απριλίου 2022.
  13. ↑ www.ams.org/prizes-awards/pabrowse.cgi?parent_id=27.
  14. ↑ Gromov, Mikhail. "A Few Recollections", in Helge Holden· Ragni Piene (3 Φεβρουαρίου 2014). The Abel Prize 2008–2012. Springer Berlin Heidelberg. σελίδες 129–137. ISBN 978-3-642-39448-5.  (also available on Gromov's homepage: link Αρχειοθετήθηκε 2017-12-09 στο Wayback Machine.)
  15. ↑ Воспоминания Владимира Рабиновича (генеалогия семьи М. Громова по материнской линии. Лия Александровна Рабинович также приходится двоюродной сестрой известному рижскому математику, историку математики и популяризатору науки Исааку Моисеевичу Рабиновичу (род. 1911), автору книг «Математик Пирс Боль из Риги» (совместно с А. Д. Мышкисом и с приложением комментария М. М. Ботвинника «О шахматной игре П. Г. Боля», 1965), «Строптивая производная» (1968) и др. Троюродный брат М. Громова – известный латвийский адвокат и общественный деятель Александр Жанович Бергман (польск., род. 1925).
  16. ↑ 16,0 16,1 Newsletter of the European Mathematical Society, No. 73, September 2009, p. 19
  17. ↑ 17,0 17,1 Foucart, Stéphane (26 March 2009). «Mikhaïl Gromov, le génie qui venait du froid» (στα γαλλικά). Le Monde.fr. ISSN 1950-6244. http://www.lemonde.fr/planete/article/2009/03/26/mikhail-gromov-le-genie-qui-venait-du-froid_1172835_3244.html. 
  18. ↑ http://cims.nyu.edu/newsletters/Spring2009.pdf March 2022
  19. ↑ Ripka, Georges (1 Ιανουαρίου 2002). Vivre savant sous le communisme (στα Γαλλικά). Belin. ISBN 9782701130538. 
  20. ↑ «Mikhaïl Gromov, le génie qui venait du froid» (στα γαλλικά). Le Monde.fr. 2009-03-26. https://www.lemonde.fr/planete/article/2009/03/26/mikhail-gromov-le-genie-qui-venait-du-froid_1172835_3244.html. Ανακτήθηκε στις 2023-03-06. 
  21. ↑ Roberts, Siobhan «Science Lives: Mikhail Gromov». Simons Foundation. 22 Δεκεμβρίου 2014. 
  22. ↑ «Mikhail Leonidovich Gromov». abelprize.no. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 22 Ιανουαρίου 2020. Ανακτήθηκε στις 7 Μαρτίου 2023. 
  23. ↑ 23,0 23,1 «Interview with Mikhail Gromov», Notices of the AMS 57 (3): 391–403, March 2010, https://www.ams.org/notices/201003/rtx100300391p.pdf .
  24. ↑ «Mikhail Gromov». Simons Foundation (στα Αγγλικά). 22 Δεκεμβρίου 2014. Ανακτήθηκε στις 7 Μαρτίου 2023. 
  25. ↑ Gromov, M. L. (1969). "Stable mappings of foliations into manifolds". Mathematics of the USSR-Izvestiya. 33 (4): 671–694. Bibcode:1969IzMat...3..671G. doi:10.1070/im1969v003n04abeh000796. MR 0263103. Zbl 0205.53502.
  26. ↑ Gromov, Mikhael (1986). Partial differential relations. Ergeb. Math. Grenzgeb., 3. Folge. 9. Springer, Cham. ISBN 978-3-540-12177-0. 
  27. ↑ Eliashberg, Yakov Cieliebak, Kai (2012). From Stein to Weinstein and back. Symplectic geometry of affine complex manifolds. American Mathematical Society Colloquium Publications. 59. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/coll/059. ISBN 978-0-8218-8533-8. MR 3012475. 
  28. ↑ Forstnerič, Franc (2017). Stein manifolds and holomorphic mappings. The homotopy principle in complex analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). 56 (Second edition of 2011 original έκδοση). Springer, Cham. doi:10.1007/978-3-319-61058-0. ISBN 978-3-319-61057-3. MR 3700709. 
  29. ↑ Talagrand, Michel A new look at independence. Ann. Probab. 24 (1996), no. 1, 1–34.
  30. ↑ Eells, James, Jr.; Sampson, J. H. Harmonic mappings of Riemannian manifolds. Amer. J. Math. 86 (1964), 109–160.
  31. ↑ Yum Tong Siu. The complex-analyticity of harmonic maps and the strong rigidity of compact Kähler manifolds. Ann. of Math. (2) 112 (1980), no. 1, 73–111.
  32. ↑ Kevin Corlette. Archimedean superrigidity and hyperbolic geometry. Ann. of Math. (2) 135 (1992), no. 1, 165–182.
  33. ↑ Korevaar, Nicholas J.; Schoen, Richard M. Sobolev spaces and harmonic maps for metric space targets. Comm. Anal. Geom. 1 (1993), no. 3-4, 561–659.
  34. ↑ Gromov, Michael; Schoen, Richard (1992). «Harmonic maps into singular spaces and $p$-adic superrigidity for lattices in groups of rank one» (στα γαλλικά). Publications Mathématiques de l'IHÉS 76: 165–246. ISSN 1618-1913. http://www.numdam.org/item/PMIHES_1992__76__165_0/. 
  35. ↑ Gromov Receives Nemmers Prize
  36. ↑ «2009: Mikhail Leonidovich Gromov». www.abelprize.no. 
  37. ↑ Gromov, Mikhael; Lawson, H. Blaine (1980). «The Classification of Simply Connected Manifolds of Positive Scalar Curvature». Annals of Mathematics 111 (3): 423–434. doi:10.2307/1971103. ISSN 0003-486X. https://www.jstor.org/stable/1971103. 
  38. ↑ «Groups of polynomial growth and expanding maps (with an appendix by Jacques Tits -PUBLICATIONS MATHÉMATIQUES DE L'I.H.É.S.» (PDF). 
  39. ↑ «MIKHAEL GROMOV -H. BLAINE LAWSON Positive scalar curvature and the Dirac operator on complete riemannian manifolds» (PDF). 
  40. ↑ «Carnot-Carathéodory metrics as limits of Riemannian ones» (PDF). 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι