Στα μαθηματικά και την αφηρημένη άλγεβρα, η θεωρία ομάδων είναι το πεδίο που μελετά τις αλγεβρικές δομές γνωστές ως ομάδες. Η έννοια της ομάδας είναι θεμελιώδης στην αφηρημένη άλγεβρα: Άλλες γνωστές αλγεβρικές δομές, όπως οι δακτύλιοι, τα σώματα, και οι διανυσματικοί χώροι, μπορούν να αντιμετωπιστούν σαν ομάδες που έχουν εφοδιαστεί με επιπρόσθετες πράξεις και αξιώματα. Οι ομάδες συναντώνται επανειλημμένα σε όλο το φάσμα των μαθηματικών, και οι μέθοδοι της θεωρίας ομάδων έχουν επηρεάσει πολλούς τομείς της άλγεβρας. Οι Γραμμικές αλγεβρικές ομάδες και οι ομάδες Lie είναι δύο κλάδοι της θεωρίας ομάδων οι οποίοι έχουν εξελιχθεί αρκετά ώστε να αποτελούν ερευνητικά πεδία από μόνοι τους.

Μία ποικιλία φυσικών συστημάτων, όπως οι κρύσταλλοι και τα άτομα υδρογόνου, μπορούν να μοντελοποιηθούν από συμμετρικές ομάδες. Επομένως, η θεωρία ομάδων και η στενά σχετιζόμενη θεωρία αναπαράστασης έχουν πολλές σημαντικές εφαρμογές στη φυσική, τη χημεία, και την επιστήμη υλικών. Η θεωρία ομάδων είναι επίσης θεμελιώδης στη θεωρία κρυπτογράφησης δημοσίου κλειδιού.

Ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά επιτεύγματα του 20ού αιώνα^[1], είναι η ταξινόμηση των απλών πεπερασμένων ομάδων. Το θεώρημα αυτό αποτελεί συλλογικό έργο, και έχει μέγεθος περισσότερες από 10,000 δημοσιευμένες σελίδες, οι οποίες κατά κύριο λόγο δημοσιεύτηκαν ανάμεσα στο 1960 και το 1980.

Στα μαθηματικά, η ομάδα διευκρινίζεται ως εξής:

• Ένα ζεύγος ${\displaystyle (G,*)}$ με ένα σύνολο ${\displaystyle G}$ και μια δυαδική πράξη ${\displaystyle *\colon G\times G\rightarrow G,(a,b)\mapsto a*b}$ ονομάζεται ομάδα, όταν ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
  • Προσεταιριστική: Για κάθε στοιχείο της ομάδας ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ και ${\displaystyle c}$ ισχύει: ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c).}$
  • Ουδέτερο στοιχείο: Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ${\displaystyle e\in G}$, για το οποίο για κάθε στοιχείο ${\displaystyle a}$ της ομάδας ισχύει: ${\displaystyle a*e=e*a=a}$.
  • Αντίστροφο στοιχείο: Για κάθε στοιχείο ${\displaystyle a}$ της ομάδας υπάρχει ένα στοιχείο ${\displaystyle a^{-1}\in G}$ έτσι ώστε να ισχύει ${\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}$.

Η θεωρία ομάδων έχει τρεις κύριες ιστορικές καταβολές: τη θεωρία αριθμών, τη θεωρία αλγεβρικών εξισώσεων, και τη γεωμετρία. Το αριθμο-θεωρητικό κομμάτι ξεκίνησε αρχικά από τον Λέοναρντ Όιλερ, και στη συνέχεια αναπτύχθηκε από τον Γκάους με τη δουλειά του πάνω στους ισοϋπόλοιπους αριθμούς και στις προσθετικές και πολλαπλασιαστικές ομάδες που σχετίζονται με τα τετραγωνικά σώματα. Τα πρώτα αποτελέσματα σχετικά με τις ομάδες μεταθέσεων βρέθηκαν από τους Λαγκράνζ, Ρουφίνι, και Άμπελ, στην προσπάθεια αναζήτησης γενικών λύσεων για τις πολυωνυμικές εξισώσεις μεγάλου βαθμού. Ο Évariste Galois όμως ήταν εκείνος που επινόησε τον όρο "ομάδα" και καθιέρωσε μία σύνδεση ανάμεσα στην τότε εκκολαπτόμενη θεωρία ομάδων και τη θεωρία σωμάτων, αυτό που σήμερα ονομάζουμε Θεωρία Γκαλουά. Στη γεωμετρία, οι ομάδες αρχικά έγιναν σημαντικές στην προβολική γεωμετρία και, αργότερα, στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Μάλιστα, το πρόγραμμα Erlangen του Felix Klein διακήρυττε ότι η θεωρία ομάδων είναι η οργανωτική αρχή της γεωμετρίας.

Ο Εβαρίστ Γκαλουά, τη δεκαετία του 1830, ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε ομάδες για να προσδιορίσει την επιλυσημότητα των πολυωνυμικών εξισώσεων. Οι Άρθουρ Κέλεϋ και Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ πήγαν την έρευνα ένα βήμα παραπέρα με τη δημιουργία της θεωρίας των ομάδων μεταθέσεων. Η δεύτερη ιστορική καταβολή των ομάδων προέρχεται από τις γεωμετρικές καταστάσεις. Στην προσπάθεια του να χειριστεί τις διάφορες πιθανές γεωμετρίες (όπως την ευκλείδεια, την υπερβολική, ή την προβολική) χρησιμοποιώντας θεωρία ομάδων, ο Felix Klein δημιούργησε το Πρόγραμμα Ερλάγκεν. Ο Σόφους Λι, το 1884, άρχισε να χρησιμοποιεί ομάδες (που τώρα καλούνται ομάδες Lie) που σχετίζονταν με αναλυτικά προβλήματα. Τρίτον, οι ομάδες χρησιμοποιήθηκαν, αρχικά έμμεσα και αργότερα άμεσα, στην αλγεβρική θεωρία αριθμών.

Οι διαφορετικότητα αυτών των πρώτων καταβολών συντέλεσε στην εμφάνιση διαφορετικών εννοιών για τις ομάδες. Η θεωρία ομάδων άρχισε να ενοποιείται γύρω στο 1880.Από τότε, το αντίκτυπο της θεωρίας ομάδων πάνω στα μαθηματικά διευρύνεται συνεχώς, συμβάλλοντας στη δημιουργία και την ανάπτυξη της αφηρημένης άλγεβρας στις αρχές του 20^ου αιώνα, στη θεωρία αναπαράστασης, και σε πολλά ακόμα σημαίνοντα ερευνητικά πεδία. Η ταξινόμηση των απλών πεπερασμένων ομάδων είναι ένα τεραστίου όγκου έργο το οποίο άρχισε από τα μέσα του 20ου αιώνα, και κατηγοριοποιεί όλες τις απλές πεπερασμένες ομάδες.

Το εύρος των ομάδων που μελετάται έχει επεκταθεί σημαντικά, από τις πεπερασμένες ομάδες μεταθέσεων και ειδικά παραδείγματα ομάδων πινάκων, σε αφηρημένες ομάδες οι οποίες μπορούν να αναπαρασταθούν από τους γεννήτορες και τις σχέσεις τους.

Η πρώτη κλάση ομάδων που υπέστει συστηματική μελέτη ήταν οι ομάδες μεταθέσεων. Δοθέντος ενός τυχαίου συνόλου X, τότε το σύνολο G που είναι μία συλλογή των ένα–προς–ένα και επί απεικονίσεων από το X στον εαυτό του (γνωστές ως μεταθέσεις) το οποίο είναι κλειστό ως προς τη σύνθεση και την αντιστροφή, αποτελεί μία ομάδα η οποία δρα πάνω στο X. Όταν το X αποτελείται από n στοιχεία και το G από όλες τις μεταθέσεις, τότε το G είναι η συμμετρική ομάδα S_n . Γενικά κάθε ομάδα μεταθέσεων G είναι υποομάδα της συμμετρικής ομάδας του X. Μία πρώτη ερμηνεία σύμφωνη με τον Cayley παρουσίαζε κάθε ομάδα ως μία ομάδα μεταθέσεων, δρώντας στον εαυτό της (X = G) μέσω της αριστερής κανονικής αναπαράστασης.

Σε αρκετές περιπτώσεις η δομή μίας ομάδας μεταθέσεων, μπορεί να μελετηθεί χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της δράσης της στο αντίστοιχο σύνολο. Για παράδειγμα με αυτόν τον τρόπο μπορεί κάποιος να δείξει ότι για n ≥ 5 η εναλλάσσουσα ομάδα A_n είναι απλή, δηλαδή δεν περιέχει καμία γνήσια κανονική υποομάδα. Το γεγονός αυτό παίζει σημαντικότατο ρόλο στην απόδειξη της αδυναμίας επίλυσης με ριζικά των γενικών αλγεβρικών εξισώσεων με βαθμό n' ≥ 5 .

Η επόμενη σημαντική κλάση ομάδων δίνεται από τις ομάδες πινάκων, ή γραμμικές ομάδες. Εδώ η G είναι ένα σύνολο που αποτελείται από αντιστρέψιμους πίνακες δοσμένης τάξης n πάνω από ένα σώμα K, το οποίο είναι κλειστό ως προς το γινόμενο και την αντιστροφή. Μία τέτοια ομάδα δρα στον n-διάστατο διανυσματικό χώρο Kⁿ μέσω γραμμικών μετασχηματισμών. Αυτή η δράση κάνει τις ομάδες πινάκων εννοιολογικά παρόμοιες με τις ομάδες μεταθέσεων, και η γεωμετρία της δράσης μπορεί να αξιοποιηθεί για τον προσδιορισμό των ιδιοτήτων της ομάδας G.

Οι ομάδες μεταθέσεων και οι ομάδες πινάκων είναι ειδικές περιπτώσεις ομάδων μετασχηματισμών, δηλαδή ομάδων που δρουν σε ένα συγκεκριμένο χώρο X διατηρώντας όμως την ενυπάρχουσα δομή. Στην περίπτωση της ομάδας μεταθέσεων το X είναι ένα σύνολο, ενώ στην περίπτωση των ομάδων πινάκων το X είναι ένας διανυσματικός χώρος. Η ιδέα της ομάδας μετασχηματισμών είναι στενά συνδεδεμένη με την έννοια της συμμετρικής ομάδας: οι ομάδες μετασχηματισμών συχνά αποτελούνται από όλους εκείνους τους μετασχηματισμούς που διατηρούν αναλλοίωτη μία συγκεκριμένη δομή.

Η θεωρία των ομάδων μετασχηματισμών δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ της θεωρίας ομάδων και της διαφορικής γεωμετρίας. Μία μεγάλη γραμμή έρευνας, που αρχίζει από τον Lie και τον Klein, εξετάζει τη δράση των ομάδων σε πολλαπλότητες μέσω ομοιομορφισμών και διαφορομορφισμών. Οι ομάδες καθαυτές μπορεί να είναι είτε διακριτές είτε συνεχείς.

Στα πρώτα στάδια εξέλιξης της θεωρίας ομάδων, οι περισσότερες ομάδες θεωρούνταν πως ήταν «καθορισμένες», και ότι μπορούσαν να δημιουργηθούν μέσα από αριθμούς, μεταθέσεις, ή πίνακες. Δεν ήταν παρά μόνο στα τέλη του 19^ου αιώνα η στιγμή που άρχισε να δημιουργείται η ιδέα μιας αφηρημένης ομάδας ως σύνολο με πράξεις που ικανοποιεί ένα συγκεκριμένο αξιωματικό σύστημα. Ένας τυπικός τρόπος για να προσδιορίσεις μια αφηρημένη ομάδα είναι μέσω της αναπαράστασης της από τους γεννήτορες και τις σχέσεις της,

${\displaystyle G=\langle S|R\rangle .}$

Μία σημαντική πηγή των αφηρημένων ομάδων προέρχεται από την κατασκευή της ομάδας πηλίκου, G/H, μίας ομάδας G και μιας κανονικής υποομάδας της H. Οι ομάδες κλάσεων των σωμάτων αλγεβρικών αριθμών ήταν ένα από τα πρώτα παραδείγματα ομάδας πηλίκου, που εμφανίζει μεγάλο ενδιαφέρων στη θεωρία αριθμών. Αν μία ομάδα G είναι ομάδα μεταθέσεων ενός συνόλου X, τότε η ομάδα πηλίκο G/H δεν δρα πλέον πάνω στο X· όμως η ιδέα της αφηρημένης ομάδας μας επιτρέπει να μην ανησυχούμε σχετικά με αυτήν την απόκλιση.

Η αλλαγή της οπτικής γωνίας από τις καθορισμένες στις αφηρημένες ομάδες ήταν φυσικό να μας κάνει να υποθέσουμε ότι οι ιδιότητες των ομάδων είναι ανεξάρτητες από την εκάστοτε θεώρηση, ή όπως λέμε σήμερα αμετάβλητες κάτω από ισομορφισμό, καθώς επίσης και οι κατηγορίες των ομάδων με μία συγκεκριμένη ιδιότητα: πεπερασμένες ομάδες, περιοδικές ομάδες, απλές ομάδες, επιλύσιμες ομάδες, κ.ο.κ. Συνεπώς, αντί να ερευνούμε τις ιδιότητες μιας συγκεκριμένης ομάδας, προσπαθούμε να εντοπίσουμε κανόνες που εφαρμόζονται σε μία ολόκληρη κατηγορία ομάδων. Η νέα αυτή μεθοδολογία ήταν υψίστης σημασίας για την εξέλιξη των μαθηματικών: προανήγγειλε τη δημιουργία της αφηρημένης άλγεβρας στα έργα των Χίλμπερτ, Άρτιν, Έμμυ Ναίτερ, και άλλων μαθηματικών της σχολής τους. 

Σημαντικός εμπλουτισμός της έννοιας της ομάδας επέρχεται αν η G εφοδιαστεί με μία επιπρόσθετη δομή, ειδικότερα, με έναν τοπολογικό χώρο, μία διαφορίσιμη πολλαπλότητα, ή μια αλγεβρική πολλαπλότητα. Αν οι πράξεις της ομάδας είναι m (πολλαπλασιασμός) και i (αντιστροφή),

${\displaystyle m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},}$

είναι συμβατές με αυτήν τη δομή, δηλαδή αν είναι συνεχείς, ομαλές ή κανονικές (με την έννοια της αλγεβρικής γεωμετρίας) απεικονίσεις, τότε η μετατρέπεται σε τοπολογική ομάδα, σε ομάδα Lie, ή σε αλγεβρική ομάδα αντίστοιχα.

Η ύπαρξη επιπλέον δομών σχετίζει αυτούς τους τύπους ομάδων με άλλους μαθηματικούς κλάδους, όπου υπάρχουν περισσότερα μαθηματικά εργαλεία για τη μελέτη τους. Οι τοπολογικές ομάδες συγκροτούν ένα φυσικό τομέα της αφηρημένης αρμονικής ανάλυσης, ενώ οι ομάδες Lie (συχνά αντιμετωπίζονται ως ομάδες μετασχηματισμών) είναι οι πυρήνες της διαφορικής γεωμετρίας και της μοναδιαίας θεωρίας αναπαράστασης. Ορισμένα προβλήματα ταξινόμησης για τα οποία δεν υπάρχει γενική λύση, μπορούν να προσεγγιστούν και να λυθούν για συγκεκριμένες υποκατηγορίες ομάδων. Έτσι, οι συμπαγείς συνεκτικές Lie ομάδες έχουν πλήρως ταξινομηθεί. Υπάρχει μία χρήσιμη σχέση μεταξύ άπειρων αφηρημένων ομάδων και τοπολογικών ομάδων: οποτεδήποτε μια ομάδα Γ μπορεί να θεωρηθεί ως πλέγμα σε μία τοπολογική ομάδα G, η γεωμετρία και η ανάλυση που αφορά το G δίνει σημαντικά αποτελέσματα για την Γ. Μία σχετικά πρόσφατη θεωρία στη θεωρία πεπερασμένων ομάδων κάνει χρήση των συνδέσεων τους με τις τοπολογικές ομάδες (profinite ομάδες): για παράδειγμα, αν μια απλή p-αδική αναλυτική ομάδα G έχει μία οικογένεια πηλίκων τα οποία είναι πεπερασμένες p-ομάδες διαφόρων τάξεων, και οι ιδιότητες της G μεταφράζονται σε ιδιότητες των πεπερασμένων πηλίκων της.

Κατά τη διάρκεια του εικοστού αιώνα, μαθηματικοί διερεύνησαν κάποιες πτυχές της θεωρίας των πεπερασμένων ομάδων σε μεγάλο βάθος, ειδικά την τοπική θεωρία των πεπερασμένων ομάδων και τη θεωρία των επιλύσιμων και μηδενοδύναμων ομάδων. Σαν συνέπεια, επιτεύχθηκε η πλήρης ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων, που σημαίνει ότι όλες αυτές οι απλές ομάδες από τις οποίες δομούνται οι πεπερασμένες ομάδες είναι γνωστές.

Κατά τη διάρκεια του δεύτερου μισού του εικοστού αιώνα, μαθηματικοί όπως ο Chevalley και ο Steinberg αύξησαν επίσης την κατανόηση μας για τα πεπερασμένα ανάλογα και τις κλασικές ομάδες, και άλλες σχετικές ομάδες. Μια τέτοια οικογένεια ομάδων είναι η οικογένεια των γενικών γραμμικών ομάδων πάνω σε πεπερασμένα σώματα. Οι πεπερασμένες ομάδες συχνά εμφανίζονται όταν θεωρείται συμμετρία μαθηματικών ή φυσικών αντικειμένων, όταν τα αντικείμενα αυτά εκφράζουν ένα πεπερασμένο αριθμό, διατηρούμενης της δομής, μετασχηματισμών. Η θεωρία των Lie ομάδων, οι οποίες μπορεί να θεωρηθεί ότι ασχολούνται με "συνεχή συμμετρία", επηρεάζονται έντονα από τις ομάδες Weyl. Αυτές είναι πεπερασμένες ομάδες παραγόμενες από κατοπτρισμούς που δρουν σε έναν πεπερασμένης διάστασης Ευκλείδειο χώρο. Με αυτόν τον τρόπο οι ιδιότητες των πεπερασμένων ομάδων μπορούν να παίξουν σημαντικό ρόλο σε αντικείμενα όπως είναι η θεωρητική φυσική και η χημεία.

Λέγοντας ότι μια ομάδα G δρα σε ένα σύνολο X σημαίνει ότι κάθε στοιχείο της G προσδιορίζει μια αμφιμονοσήμαντη και επί απεικόνιση στο σύνολο X με τρόπο συμβατό με τη δομή της ομάδας. Όταν το X έχει πio σύνθετη δομή, είναι βοηθητικό να περιορίσουμε την έννοια αυτή περαιτέρω: μια αναπαράσταση της G σε έναν διανυσματικό χώρο V είναι μια ομάδα ομομορφισμών:

ρ : G → GL(V),

όπου η GL(V) αποτελείται απο τους αντιστρέψιμους γραμμικούς μετασχηματισμούς του V. Με άλλα λόγια, σε κάθε στοιχείο g της ομάδας αντιστοιχεί ένας αυτομορφισμός ρ(g) τέτοιος ώστε να ισχύει ρ(g) ∘ ρ(h) = ρ(gh), για κάθε στοιχείο h που ανήκει στην G.

Αυτός ο ορισμός μπορεί να γίνει κατανοητός ως προς δύο κατευθύνσεις, καθένας από τους οποίους οδηγεί σε νέα πεδία των μαθηματικών.^[2] Από τη μια πλευρά, μπορεί να μας δώσει νέες πληροφορίες για την ομάδα G: συχνά, η δράση της ομάδας στην G είναι δοσμένη αφηρημένα, όμως μέσω του ρ, αντιστοιχίζεται στον πολλαπλασιασμό πινάκων, που είναι σαφής.^[3] Απο την άλλη πλευρά, όταν για ένα σύνθετο αντικείμενο δίνεται μια καλά κατανοητή δράση ομάδας, αυτό απλοποιεί τη μελέτη των αντικειμένων που αναζητούμε. Για παράδειγμα, αν η G είναι πεπερασμένη, είναι γνωστό ότι ο διανυσματικός χώρος V που αναφέραμε παραπάνω αναλύεται σε πρώτους παράγοντες. Αυτούς τους παράγοντες είναι πολύ πιο εύκολο να τους διαχειριστούμε από ότι ολόκληρο τον V (από λήμμα Schur).

Δοθείσας μιας ομάδας G, η θεωρία αναπαράστασης ρωτά ποια αναπαράσταση της G υπάρχει. Υπάρχουν αρκετές ρυθμίσεις, και οι μέθοδοι οι οποίες χρησιμοποιούνται και τα αποτελέσματα τα οποία λαμβάνουμε είναι διαφορετικά σε κάθε περίπτωση: η θεωρία αναπαράστασης πεπερασμένων ομάδων και οι αναπαραστάσεις των Lie ομάδων είναι δυο βασικές υποκατηγορίες αυτής της θεωρίας. Το σύνολο των αναπαραστάσεων διέπεται από τους χαρακτήρες της ομάδας. Για παράδειγμα, τα πολυώνυμα του Fourier μπορούν να ερμηνευτούν ως οι χαρακτήρες της U(1), η ομάδα των μιγαδικών αριθμών με απόλυτη τιμή 1, δρουν στον L^2-χώρο των περιοδικών συναρτήσεων.

Μια Lie ομάδα είναι μια ομάδα η οποία είναι επίσης διαφορίσιμη πολλαπλότητα, με την ιδιότητα ότι οι λειτουργίες της ομάδας είναι συμβιβαστή με την ομαλή δομή. Οι Lie ομάδες πήραν το όνομα τους από τον Sophus Lie, ο οποίος έθεσε τα θεμέλια της θεωρίας των συνεχών μετασχηματισμών των ομάδων. Ο όρος ομάδες του Lie εμφανίστηκε πρώτη φορά στη Γαλλία το 1893 στη διπλωματική εργασία του φοιτητή του Arthur Tresse, στη σελίδα 3.^[4]

Οι ομάδες Lie αποτελούν την καλύτερα ανεπτυγμένη θεωρία των συνεχών συμμετριών των μαθηματικών αντικειμένων και δομών, και αυτό τις κάνει απαραίτητα εργαλεία σε πολλούς τομείς των σύγχρονων μαθηματικών, όπως και για τη μοντέρνα θεωρητική φυσική. Παρέχουν ένα φυσικό πλαίσιο για την ανάλυση των συνεχών συμμετριών των διαφορικών εξισώσεων (διαφορική θεωρία Galois), με αρκετά όμοιο τρόπο με αυτόν που οι ομάδες μεταθέσεων χρησιμοποιούνται στη θεωρία Galois για την ανάλυση διακριτών συμμετριών των αλγεβρικών εξισώσεων. Μια επέκταση της Θεωρίας Galois για την περίπτωση των ομάδων των συνεχών συμμετριών ήταν ένα από τα βασικά κίνητρα του Lie.

Οι ομάδες μπορούν να περιγραφούν με διάφορους τρόπους. Οι πεπερασμένες ομάδες μπορούν να περιγραφούν αν καταγράψουμε τις ομάδες πινάκων που αποτελούνται από όλους τους πιθανούς πολλαπλασιασμούς g • h. Ένας πιο ολοκληρωμένος τρόπος για να προσδιορίσουμε μια ομάδα είναι από τους γεννήτορες της, που ονομάζονται και αναπαράσταση της ομάδας. Δοθέντος οποιουδήποτε συνόλου F με γεννήτορες {g_i}_i ∈ I, η ελεύθερη ομάδα έχει γεννήτορες στοιχεία του F πάνω στην ομάδα G. Ο πυρήνας της απεικόνισης ονομάζεται υποομάδα σχέσεων, η οποία παράγεται από ένα υποσύνολο D. Η αναπαράσταση συνήθως δηλώνεται με〈F | D 〉. Για παράδειγμα, η ομάδα Z = 〈a | 〉μπορεί να παραχθεί από ένα στοιχείο a (ίσο με +1 ή -1), επειδή n · 1 είναι πάντα διάφορο του μηδενός εκτός κι αν το n είναι μηδέν. Μια γραμμή που αποτελείται από γεννήτορες και τα αντίστροφα στοιχεία τους ονομάζεται λέξη.

Η συνδυαστική θεωρία ομάδων μελετά τις ομάδες από την οπτική των γεννητόρων και των σχέσεων.^[5] Είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν έχουμε πεπερασμένες ή πεπερασμένα παραγώμενες ομάδες. Το πεδίο αυτό κάνει χρήση των συνδέσεων των γράφων μέσω των βασικών ομάδων τους. Για παράδειγμα, μπορούμε να δείξουμε ότι κάθε υποομάδα μιας ελεύθερης ομάδας είναι ελεύθερη.

Υπάρχουν αρκετά ερωτήματα που προκύπτουν όταν μια ομάδα δίνεται από την αναπαράσταση της. Το πρόβλημα της λέξης ρωτά αν δυο λέξεις είναι το ίδιο στοιχείο μιας ομάδας. Συσχετίζοντας το πρόβλημα αυτό με τις μηχανές Turing, μπορεί κάποιος να δείξει ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος που να το επιλύει. Ένα ακόμα άλυτο πρόβλημα αλγορίθμων είναι το πρόβλημα της ομάδας ισομορφισμών, το οποίο ρωτά αν δυο ομάδες που δίνονται από διαφορετικές αναπαραστάσεις είναι ισόμορφες. Για παράδειγμα η προσθετική ομάδα Z των ακεραίων μπορεί επίσης να παρασταθεί από την

〈x, y| xyxyx = e〉;

Μπορεί να μην είναι προφανές ότι αυτές οι δυο είναι ισόμορφες.^[6]

Η γεωμετρική θεωρία ομάδων αντιμετωπίζει αυτά τα προβλήματα από τη σκοπιά της γεωμετρίας, είτε θεωρώντας τις ομάδες ως γεωμετρικά αντικείμενα, είτε βρίσκοντας κατάλληλα αντικείμενα στα οποία δρα η ομάδα.^[7] Η πρώτη ιδέα γίνεται ακριβής μέσω του γράφου του Cayley, του οποίου οι κορυφές αντιστοιχούν σε στοιχεία της ομαδάς και οι ακμές σε πολλαπλασιασμό απο δεξιά μέσα στην ομάδα. Αν δοθούν δυο στοιχεία, κατασκευάζεται η μετρική που δίνεται από το μήκος της ελάχιστης απόστασης μεταξύ των στοιχείων. Ένα θεώρημα των Milnor και Svarc αναφέρει ότι όταν δίνεται μια μετρική που δρα σε ένα μετρικό χώρο X, για παράδειγμα μια συμπαγής πολλαπλότητα, τότε η G είναι ψευδο-ισομετρική (δηλαδή φαίνεται όμοια από απόσταση) με τον χώρο X.

Όταν δίνεται ένα δομημένο αντικείμενο οποιουδήποτε είδους, συμμετρία είναι η απεικόνιση του αντικειμένου στον εαυτό του που έχει σαν αποτέλεσμα τη διατήρηση τη δομής. Αυτό συμβαίνει σε πολλές περιπτώσεις, παραδείγματος χάρη:

1. Αν X είναι ένα σύνολο χωρίς επιπλέον δομή, μια συμμετρία είναι μια αμφιμονοσήμαντη και επί συνάρτηση από το σύνολο στον εαυτό του, που δίνει έναυσμα για τη δημιουργία των ομάδων μεταθέσεων.
2. Αν X είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο με τη μετρική του ή σε οποιονδήποτε άλλο μετρικό χώρο, μια συμμετρία είναι μια αμφιμονοσήμαντη και επί συνάρτηση από το σύνολο στον εαυτό του που διατηρεί την απόσταση ανάμεσα σε κάθε ζεύγος σημείων (μια ισομετρία). Η αντίστοιχη ομάδα ονομάζεται ομάδα ισομετρίας του X.
3. Αν αντίθετα οι γωνίες διατηρούνται, τότε μιλάμε για σύμμορφες απεικονίσεις. Οι σύμμορφες απεικονίσεις δίνουν για παράδειγμα έναυσμα στις ομάδες του Klein.
4. Οι συμμετρίες δεν περιορίζονται μόνο στα γεωμετρικά αντικείμενα, αλλά περιλαμβάνουν επίσης και αλγεβρικά αντικείμενα. Παραδείγματος χάρη, η εξίσωση

${\displaystyle x^{2}-3=0}$

έχει δυο λύσεις τις ${\displaystyle +{\sqrt {3}}}$, και ${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$. Σε αυτή την περίπτωση, η ομάδα που αντικαθιστά τις 2 ρίζες μεταξύ τους, είναι η ομάδα Galois που αντιστοιχεί στην εξίσωση.

Τα αξιώματα μιας ομάδας καθορίζουν τις βασικές πτυχές της συμμετρίας. Οι συμμετρίες διαμορφώνουν την ομάδα:είναι κλειστές, καθώς αν πάρουμε το συμμετρικό ενός αντικειμένου και στη συνέχεια εφαρμόσουμε μια άλλη συμμετρία το αποτέλεσμα θα είναι και πάλι το ίδιο. Η ταυτοτική απεικόνιση που κρατά ένα αντικείμενο σταθερό είναι πάντα μια συμμετρία. Η ύπαρξη αντιστρόφων είναι σίγουρη παίρνοντας την αντίστροφη συμμετρία και η προσεταιριστικότητα προέρχεται από το γεγονός ότι οι συμμετρίες είναι συναρτήσεις στον χώρο, και η σύνθεση συναρτήσεων είναι προσεταιριστική.

Το θεώρημα του Frucht αναφέρει ότι κάθε ομάδα είναι η ομάδα συμμετρίας κάποιου γράφου. Οπότε κάθε αφηρημένη ομάδα είναι στην ουσία οι συμμετρίες ενός ρητού αντικειμένου.

Η έννοια "διατήρηση της δομής" ενός αντικειμένου μπορεί να γίνει πιο ακριβής όταν εργαζόμαστε σε κατηγορίες. Απεικονίσεις που διατηρούν τη δομή λέγονται μορφισμοί, και η ομάδα συμμετρίας είναι είναι η ομάδα αυτομορφισμών του αντικειμένου.

Οι εφαρμογές της θεωρίας ομάδων είναι άφθονες. Σχεδόν όλες οι κατασκευές στη θεωρητική άλγεβρα είναι ειδικές περιπτώσεις των ομάδων. Οι δακτύλιοι, για παράδειγμα, μπορούν να θεωρηθούν σαν αβελιανές ομάδες (με αντίστοιχη πράξη την πρόσθεση) μαζί με μια δεύτερη πράξη (την αντίστοιχη πράξη τον πολλαπλασιασμό). Άρα τα θεωρητικά επιχειρήματα των ομάδων αποτελούν τη βάση για μεγάλα κομμάτια της θεωρίας αυτών των οντοτήτων.

Η θεωρία Galois χρησιμοποιεί τις ομάδες για να περιγράψει τις συμμετρίες των ριζών των πολυωνύμων (ή πιο συγκεκριμένα τους αυτομορφισμούς της άλγεβρας που παράγονται από αυτές τις ρίζες).Το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois παρέχει μια σύνδεση ανάμεσα στις αλγεβρικές επεκτάσεις σωμάτων στη θεωρία ομάδων. Δίνει ένα αποτελεσματικό κριτήριο για την επιλυσιμότητα των πολυωνυμικών εξισώσεων σε σχέση με την επιλυσιμότητα της αντίστοιχης ομάδας Galois. Για παράδειγμα η S₅ η συμμετρική ομάδα με 5 στοιχεία δεν είναι επιλύσιμη το οποίο υπονοεί ότι γενικά η εξίσωση πέμπτου βαθμού δεν μπορεί να λυθεί με ριζικά όπως λύνονται εξισώσεις μικρότερου βαθμού. Η θεωρία όντας μια από τις ιστορικές ρίζες της θεωρίας ομάδων, είναι ακόμα αποδοτικά εφαρμοσμένη για να αποδώσει νέα αποτελέσματα σε περιοχές όπως στη θεωρία για σώματα κλάσεων.

Η αλγεβρική τοπολογία είναι ένας άλλος τομέας που εμφανώς συνδέει τις ομάδες με αντικείμενα για τα οποία ενδιαφέρεται η θεωρία. Υπάρχουν ομάδες που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν κυρίως τις αναλλοίωτες των τοπολογικών χώρων. Αποκαλούνται "αναλλοίωτες" επειδή είναι ορισμένες με τέτοιο τρόπο ώστε δεν μπορούν να αλλάξουν εάν ο χώρος υποστεί κάποιες αλλαγές. Για παράδειγμα, η θεμελιώδης ομάδα " μετράει'' ποιες πορείες στο χώρο είναι ουσιαστικά διαφορετικές. Η εικασία του Poincare, αποδείχτηκε το 2002/2003 από τον Γρηγόρη Πέρελμαν, είναι μια περίφημη εφαρμογή αυτής της ιδέας. Η επιρροή όμως δεν είναι μονής κατεύθυνσης. Για παράδειγμα, η αλγεβρική τοπολογία χρησιμοποίησε τους χώρους Eilenberg–MacLane, οι οποίοι είναι χώροι που καθορίζονται από ομοτοπικές ομάδες. Παρόμοια, η αλγεβρική Κ-Θεωρία βασίζεται με κάποιο τρόπο στους ταξινομημένους χώρους των ομάδων. Τελικά το όνομα της υποομάδας στρέψης μιας άπειρης ομάδας δείχνει την κληρονομιά της τοπολογίας στη θεωρία ομάδων.

Η αλγεβρική γεωμετρία και η κρυπτογραφία επίσης χρησιμοποιούν τη θεωρία ομάδων με πολλούς τρόπους. Οι αβελιανές πολλαπλότητες παρουσιάστηκαν παραπάνω. Η παρουσία των πράξεων στις ομάδες προσδίδει επιπλέον πληροφορίες οι οποίες κάνουν αυτές τις πολλαπλότητες ιδιαίτερα προσιτές. Αυτές επίσης συχνά χρησιμοποιούνται σαν ένα τεστ για τις νέες εικασίες^[8]. Η μονοδιάστατη περίπτωση και συγκεκριμένα οι ελλειπτικές καμπύλες μελετήθηκαν λεπτομερώς. Είναι και οι δύο θεωρητικά και πρακτικά ενδιαφέρουσες.^[9] Πολύ μεγάλες ομάδες πρώτης τάξης κατασκευασμένες από την κρυπτογραφία Ελλειπτικών καμπυλών εξυπηρετούν σαν δημόσια κλειδιά κρυπτογράφησης. Κρυπτογραφικές μέθοδοι τέτοιου είδους επωφελούνται απο την προσαρμοστικότητα των γεωμετρικών αντικειμένων, συνεπώς οι δομές των ομάδων μαζί με τις πολύπλοκες δομές αυτών των ομάδων κάνουν τον διακριτό λογάριθμο πολύ δύσκολο να υπολογιστεί.Ένα από τα ευκολότερα πρωτόκολλα κρυπτογράφησης, το κρυπτοσύστημα του Καίσαρα, ίσως μπορεί να ερμηνευτεί σαν μια (πολύ εύκολη) πράξη ομάδας. Αντίθετα, οι toric πολλαπλότητες είναι αλγεβρικές πολλαπλότητες που επιδρούν σε μια σπείρα. Οι δακτυλοειδείς εμβυθίσεις πρόσφατα έχουν οδηγήσει σε πρόοδο της αλγεβρικής γεωμετρίας και συγκεκριμένα στην επίλυση των σημείων ανωμαλίας.^[10]

Η θεωρία αλγεβρικών αριθμών είνα μια ειδική περίπτωση της θεωρίας ομάδων, με τέτοιο τρόπο ώστε να ακολούθει τους κανόνες της τελευταίας. Για παράδειγμα ο τύπος του Euler

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\\\end{aligned}}\!}$

αποδίδει το γεγονός ότι κάθε ακέραιος αναλύεται με μοναδικό τρόπο σε πρώτους αριθμούς. Η αποτυχία αυτού του επιχειρήματος για περισσότερο γενικούς δακτυλίους ανέρχεται στις ομάδες κλάσεων και τους κανονικούς πρώτους, το οποίο παρουσιάστηκε στην αντιμετώπιση του Kummer για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά.

Η ανάλυση των ομάδων Lie και κυρίως άλλων ομάδων αποκαλούνται αρμονική ανάλυση. Οι μετρήσεις του Haar που είναι για τα αναλλοίωτα ολοκληρώματα κάτω από την επίδραση της ομάδας Lie είναι χρήσιμες για τα μοτίβα αναγνώρισης και άλλες τεχνικές επεξεργασίας εικόνας.^[11]

Στη συνδυαστική, η έννοια της ομάδας μεταθετών και η ιδέα της δράσης ομάδας χρησιμοποιούνται σύχνα για να απλοποιήσουν το μέτρημα ενός συνόλου αντικειμένων;βλέπε πιο συγκεκριμένα το λήμμα του Burnside

Η παρουσία της 12-περιοδικότητας στον κύκλο των πεντάδων, αποδεικνύουν τις εφαρμογές της θεωρίας της στοιχειώδους ομάδας στη θεωρία μουσικών συνόλων.

Στη φυσική, οι ομάδες είναι πολύ σημαντικές επειδή περιγράφουν τις συμμετρίες στις οποίες οι νόμοι της φυσικής δείχνουν να υπακούουν. Σύμφωνα με το θεώρημα της Noether κάθε συνεχής συμμετρία ενός φυσικού συστήματος ανταποκρίνεται στον νόμο διατήρησης του συστήματος. Οι φυσικοί ενδιαφέρονται πολύ για την αναπαράσταση των ομάδων και κυρίως των ομάδων Lie,αφού οι αναπαραστάσεις τους συχνά δείχνουν τον δρόμο για πιθανές θεωρίες φυσικής.Παραδείγματα της χρήσης των ομάδων στη φυσική ειναι το μοντελο Standard, η θεωρία gauge,η ομάδα Lorentz και η ομάδα Poincaré.

Στη χημεία και στην επιστήμη υλικών, οι ομάδες χρησιμοποιούνται για να ταξινομήσουν τις δομές των κρυστάλλων, τα κανονικά πολύεδρα και τις συμμετρίες των μορίων. Οι ορισμένες σημειακές ομάδες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να προσδιορίσουν φυσικές ιδιότητες (όπως η πολικότητα και η chirality), φασματοσκοπικές ιδιότητες ( ιδιαίτερα χρήσιμες για τη φασματοσκοπία του Raman και την υπέρυθρη φασματοσκοπία, και για να κατασκευαστούν οι μοριακές τροχιές.

Η μοριακή συμμετρία είναι υπεύθυνη για πολλές φυσικές και φασματοσκοπικές ιδιότητες των χημικών ενώσεων και παρέχει πληροφορίες αναφορικά με το πως προκύπτουν οι χημικές αντιδράσεις. Έτσι ώστε για να οριστεί μια σημειακή ομάδα για οποιοδήποτε δοσμένο μόριο, είναι απαραίτητο να βρεθεί το σύνολο των συμμετρικών πράξεων που υπάρχουν σ'αυτό.Η πράξη συμμετρίας είναι μια πράξη όπως η περιστροφή γύρω από έναν άξονα ή η ανάκλαση μέσω ενός επίπεδου καθρέφτη.Με άλλα λόγια, είναι μια πράξη που μετακινεί το μόριο έτσι ώστε να είναι αδιαχώριστο από την αρχική του διάταξη. Στη θεωρία ομάδων, η περιστροφή γύρω από τους άξονες και τους επίπεδους καθρέφτες ονομάζονται "συμμετρικά στοιχεία". Αυτά τα στοιχεία μπορούν να είναι ένα σημείο,μια γραμμή ή ένα επίπεδο ανάλογα με το ποια συμμετρική πράξη διενεργείται. Οι συμμετρικές πράξεις ενός μορίου καθορίζουν την ειδική σημειακή ομάδα γι'αυτό το μόριο.

Στη χημεία υπάρχουν πέντε σημαντικές πράξεις συμμετρίας.Η ταυτοτική πράξη (Ε) η οποία αφήνει το μόριο όπως είναι. Αυτό είναι ισότιμο με κάθε αριθμό της πλήρους περιστροφής γύρω από τους άξονες.Αυτή είναι μια συμμετρία για όλα τα μόρια, ενώ η συμμετρική ομάδα ενός chiral μορίου αποτελείται μόνο από την ταυτοτική πράξη. Η περιστροφή γύρω από έναν άξονα (C_n) αποτελείται από ένα περιστρεφόμενο μόριο γύρω από έναν συγκεκριμένο άξονα υπό μια συγκεκριμένη γωνία. Για παράδειγμα εάν ένα μόριο του νερού περιστραφεί 180° γύρω από έναν άξονα που περνάει μέσα από το άτομο οξυγόνου και μεταξύ των ατόμων του υδρογόνου είναι η ίδια διάταξη με την οποία άρχισε. Στην περίπτωση του n = 2, εφαρμόζεται 2 φορές και παράγει την ταυτοτική πράξη. Άλλες πράξεις συμμετρίας είναι : η αντανάκλαση, α αντιστροφή και η γενικευμένη περιστροφή (περιστροφή ακολουθούμενη από την αντανάκλαση).^[12]

• Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, 126 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8 
• Carter, Nathan C. (2009), Visual group theory, Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-757-1, http://web.bentley.edu/empl/c/ncarter/vgt/ 
• Cannon, John J. (1969), «Computers in group theory: A survey», Communications of the Association for Computing Machinery 12: 3–12, doi:10.1145/362835.362837 
• Frucht, R. (1939), «Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe», Compositio Mathematica 6: 239–50, ISSN 0010-437X, http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=CM_1939__6__239_0, ανακτήθηκε στις 2015-05-29 
• Golubitsky, Martin; Stewart, Ian (2006), «Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism», Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 43 (03): 305–364, doi:10.1090/S0273-0979-06-01108-6  Shows the advantage of generalising from group to groupoid.
• Judson, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: Theory and Applications, http://abstract.ups.edu  An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source GFDL license.
• Kleiner, Israel (1986), «The evolution of group theory: a brief survey», Mathematics Magazine 59 (4): 195–215, doi:10.2307/2690312, ISSN 0025-570X 
• La Harpe, Pierre de (2000), Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-31721-2 
• Livio, M. (2005), The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Simon & Schuster, ISBN 0-7432-5820-7  Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to symmetries in physics and other sciences.
• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290 
• Ronan M., 2006. Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBN 0-19-280722-6. For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
• Rotman, Joseph (1994), An introduction to the theory of groups, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8  A standard contemporary reference.
• Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. (2001), Combinatorial group theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41158-1 
• Scott, W. R. (1987), Group Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3  Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8 
• Πρότυπο:Weibel IHA

• Group Theory in a Nutshell for Physicists, A. Zee - ISBN 9780691162690[1]

• History of the abstract group concept
• Higher dimensional group theory This presents a view of group theory as level one of a theory which extends in all dimensions, and has applications in homotopy theory and to higher dimensional nonabelian methods for local-to-global problems.
• Plus teacher and student package: Group Theory This package brings together all the articles on group theory from Plus, the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge, exploring applications and recent breakthroughs, and giving explicit definitions and examples of groups.
• US Naval Academy group theory guide A general introduction to group theory with exercises written by Tony Gaglione.