Ο Αντρέ Βέιλ (γαλλικά: André Weil, 6 Μαΐου1906 - 6 Αυγούστου1998) ήταν Γάλλοςμαθηματικός, γνωστός για το θεμελιώδες έργο του στη θεωρία των αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία.[15] Ήταν ένας από τους μαθηματικούς με τη μεγαλύτερη επιρροή του εικοστού αιώνα. Η επιρροή του οφείλεται τόσο στις πρωτότυπες συνεισφορές του σε ένα εντυπωσιακά ευρύ φάσμα μαθηματικών θεωριών, όσο και στο σημάδι που άφησε στη μαθηματική πρακτική και το ύφος, μέσω ορισμένων δικών του έργων καθώς και μέσω της ομάδας Μπουρμπακί[16], της οποίας ήταν ένας από τους κύριους ιδρυτές.
Βιογραφία
Ο Αντρέ Βέιλ γεννήθηκε στο Παρίσι από αγνωστικιστές Αλσατούς Εβραίους γονείς που διέφυγαν από την προσάρτηση της Αλσατίας-Λωρραίνης από τη Γερμανική Αυτοκρατορία μετά τον Γαλλοπρωσικό Πόλεμο το 1870-71. Η Σιμόν Βέιλ (φιλόσοφος), η οποία αργότερα θα γινόταν διάσημη φιλόσοφος, ήταν η μικρότερη αδελφή και το μοναδικό αδελφάκι του Βέιλ. Σπούδασε στο Παρίσι, τη Ρώμη και το Γκέτινγκεν και έλαβε το διδακτορικό του το 1928. Κατά τη διάρκεια της παραμονής του στη Γερμανία, ο Βέιλ σύναψε φιλία με τον Καρλ Λούντβιχ Ζίγκελ. Ξεκινώντας το 1930, πέρασε δύο ακαδημαϊκά χρόνια στο Μουσουλμανικό Πανεπιστήμιο του Αλιγκάρ της Ινδίας. Εκτός από τα μαθηματικά, ο Βέιλ είχε δια βίου ενδιαφέροντα για την κλασική ελληνική και λατινική λογοτεχνία, για τον Ινδουισμό και τη σανσκριτική λογοτεχνία: έμαθε μόνος του σανσκριτικά το 1920.[17][18] Μετά από ένα έτος διδασκαλίας στο Πανεπιστήμιο της Αιξ-Μασσαλίας, δίδαξε για έξι χρόνια στο Πανεπιστήμιο του Στρασβούργου. Παντρεύτηκε την Εβελίν ντε Ποσέλ (γεννηθείσα Εβελίν Ζιλέ) το 1937[19].
Ο Βέιλ βρισκόταν στη Φινλανδία όταν ξέσπασε ο Β' Παγκόσμιος Πόλεμος- ταξίδευε στη Σκανδιναβία από τον Απρίλιο του 1939. Η σύζυγός του Εβελίν επέστρεψε στη Γαλλία χωρίς αυτόν. Ο Βέιλ συνελήφθη στη Φινλανδία με την έναρξη του Χειμερινού Πολέμου ως ύποπτος για κατασκοπεία- ωστόσο, οι αναφορές του ότι κινδύνευε η ζωή του αποδείχθηκαν υπερβολικές[20]. Ο Βέιλ επέστρεψε στη Γαλλία μέσω Σουηδίας και Ηνωμένου Βασιλείου και κρατήθηκε στη Χάβρη τον Ιανουάριο του 1940. Κατηγορήθηκε για παράβαση καθήκοντος και φυλακίστηκε στη Χάβρη και στη συνέχεια στη Ρουέν. Κατά την περίοδο Φεβρουαρίου-Μαΐου, στη στρατιωτική φυλακή Μπον-Νουβέλ της Ρουέν, ο Βέιλ δημιούργησε το έργο που του χάριζε τη φήμη του. Δικάστηκε στις 3 Μαΐου 1940. Καταδικασμένος σε πέντε χρόνια, ζήτησε να ενταχθεί σε στρατιωτική μονάδα και του δόθηκε η ευκαιρία να ενταχθεί σε ένα τάγμα στο Χερβούργο. Μετά την πτώση της Γαλλίας τον Ιούνιο του 1940, συναντήθηκε με την οικογένειά του στη Μασσαλία, όπου έφτασε δια θαλάσσης. Στη συνέχεια πήγε στο Κλερμόν-Φεράν, όπου κατάφερε να συναντήσει τη σύζυγό του Εβελίν, η οποία ζούσε στη γερμανοκρατούμενη Γαλλία.
Τον Ιανουάριο του 1941, ο Βέιλ και η οικογένειά του αναχώρησαν από τη Μασσαλία για τη Νέα Υόρκη. Πέρασε το υπόλοιπο του πολέμου στις Ηνωμένες Πολιτείες, όπου στηρίχθηκε από το Ίδρυμα Ροκφέλερ και το Ίδρυμα Γκούγκενχαϊμ. Για δύο χρόνια δίδασκε μαθηματικά σε προπτυχιακό επίπεδο στο Πανεπιστήμιο Lehigh, όπου δεν τον εκτιμούσαν, δούλευε υπερβολικά και πληρωνόταν άσχημα, αν και δεν είχε να ανησυχεί για το ενδεχόμενο να επιστρατευτεί, σε αντίθεση με τους Αμερικανούς φοιτητές του. Παραιτήθηκε από το Lehigh και μετακόμισε στη Βραζιλία, όπου δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Σάο Πάολο από το 1945 έως το 1947, συνεργαζόμενος με τον Όσκαρ Ζαρίσκι. Ο Βέιλ και η σύζυγός του απέκτησαν δύο κόρες, τη Συλβί (γεννημένη το 1942) και τη Νικολέτ (γεννημένη το 1946)[19].
Στη συνέχεια επέστρεψε στις Ηνωμένες Πολιτείες και δίδαξε στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο από το 1947 έως το 1958, πριν μετακομίσει στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών, όπου θα περάσει το υπόλοιπο της καριέρας του. Υπήρξε ομιλητής ολομέλειας στο ICM το 1950 στο Κέιμπριτζ της Μασαχουσέτης[21], το 1954 στο Άμστερνταμ[9] και το 1978 στο Ελσίνκι.[22] Ο Βέιλ εξελέγη ξένο μέλος της Βασιλικής Εταιρείας το 1966. Το 1979 μοιράστηκε το δεύτερο βραβείο Βολφ στα Μαθηματικά με τον Ζαν Λερέ.
Έρευνα
Ο Βέιλ συνέβαλε σημαντικά σε διάφορους τομείς, με σημαντικότερη την ανακάλυψη βαθιών συνδέσεων μεταξύ της αλγεβρικής γεωμετρίας και της θεωρίας αριθμών. Το έργο αυτό ξεκίνησε από τη διδακτορική του εργασία που οδήγησε στο θεώρημα των Μόρντελ-Βέιλ (1928, και εφαρμόστηκε σύντομα στο θεώρημα του Ζίγκελ για τα ολοκληρωτικά σημεία).[23] Το θεώρημα του Μόρντελ είχε μια ad hoc απόδειξη[24]. ο Βέιλ ξεκίνησε το διαχωρισμό του επιχειρήματος της άπειρης καθόδου σε δύο τύπους δομικής προσέγγισης, μέσω συναρτήσεων ύψους για τη διαστασιολόγηση ορθολογικών σημείων και μέσω της συνομολογίας Γκαλουά, η οποία δεν θα κατηγοριοποιούνταν ως τέτοια για άλλες δύο δεκαετίες. Και οι δύο πτυχές του έργου του Βέιλ εξελίχθηκαν σταθερά σε ουσιαστικές θεωρίες.
Μεταξύ των σημαντικότερων επιτευγμάτων του ήταν η απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν τη δεκαετία του 1940 για τις ζ-συναρτήσεις των καμπυλών πάνω από πεπερασμένα πεδία[25] και η επακόλουθη θεμελίωση κατάλληλων βάσεων για την αλγεβρική γεωμετρία για την υποστήριξη αυτού του αποτελέσματος (από το 1942 έως το 1946, πιο εντατικά). Οι λεγόμενες εικασίες Βέιλ είχαν τεράστια επιρροή από το 1950 περίπου- οι ισχυρισμοί αυτοί αποδείχθηκαν αργότερα από τους Μπερνάρ Ντουόρκ,[26]Αλεξάντερ Γκροτέντιεκ,[27][28][29]Μάικλ Άρτιν και, τέλος, από τον Πιερ Ντελίν, ο οποίος ολοκλήρωσε το πιο δύσκολο βήμα το 1973[30][31][32][33][34]
.
Ο Βέιλ εισήγαγε τον δακτύλιο adele[35] στα τέλη της δεκαετίας του 1930, ακολουθώντας το παράδειγμα του Κλοντ Σεβάλλεϊ με τα ideles[36], και έδωσε μια απόδειξη του θεωρήματος Riemann-Roch με αυτά (μια εκδοχή του εμφανίστηκε στο βιβλίο του Βασική Θεωρία Αριθμών το 1967).[37] Το θεώρημα Riemann-Roch του 1938 για τον "διαιρέτη μήτρας" (vector bundle (διανυσματική δέσμη)) ήταν μια πολύ πρώιμη πρόβλεψη μεταγενέστερων ιδεών όπως οι χώροι moduli των δεσμών. Η εικασία Βέιλ για τους αριθμούς Ταμαγκάουα[38] αποδείχθηκε ανθεκτική για πολλά χρόνια. Τελικά η αδελοϊκή προσέγγιση έγινε βασική στη θεωρία αυτομορφικών απεικονίσεων. Πήρε μια άλλη αξιόπιστη εικασία του Βέιλ, γύρω στο 1967, η οποία αργότερα κάτω από την πίεση του Serge Lang (αντίστοιχα του Serre) έγινε γνωστή ως εικασία Τανιγιάμα-Σιμούρα (αντίστοιχα εικασία Τανιγιάμα-Βέιλ), βασισμένη σε ένα πρόχειρα διατυπωμένο ερώτημα του Τανιγιάμα στο συνέδριο Nikkō το 1955. Η στάση του απέναντι στις εικασίες ήταν ότι δεν πρέπει να αποδίδεται ελαφρά τη καρδία μια εικασία ως εικασία, και στην περίπτωση του Τανιγιάμα, τα στοιχεία υπήρχαν μόνο μετά από εκτεταμένη υπολογιστική εργασία που πραγματοποιήθηκε από τα τέλη της δεκαετίας του 1960[39].
Άλλα σημαντικά αποτελέσματα αφορούσαν τη δυαδικότητα Ποντριάγκιν και τη διαφορική γεωμετρία[40]. Εισήγαγε την έννοια του ομοιόμορφου χώρου στη γενική τοπολογία, ως υποπροϊόν της συνεργασίας του με τον Νικολά Μπουρμπακί[16] (του οποίου ήταν ιδρυτής). Το έργο του πάνω στη θεωρία των διαφραγμάτων δεν εμφανίζεται σχεδόν καθόλου στα δημοσιευμένα έγγραφά του, αλλά η αλληλογραφία του με τον Ανρί Καρτάν στα τέλη της δεκαετίας του 1940, η οποία αναδημοσιεύεται στα συγκεντρωτικά του έγγραφα, αποδείχθηκε ιδιαίτερα επιδραστική. Επέλεξε επίσης το σύμβολο ∅, το οποίο προέρχεται από το γράμμα Ø του νορβηγικού αλφαβήτου (το οποίο μόνο ο ίδιος από την ομάδα Μπουρμπάκι γνώριζε), για να αναπαραστήσει το κενό σύνολο[41].
Ο Βέιλ έκανε επίσης μια πολύ σημαντική συνεισφορά στη γεωμετρία του Ριμάν στην πρώτη του δημοσίευση το 1926, όταν έδειξε ότι η κλασική ισοπεριμετρική ανισότητα ισχύει σε μη θετικά καμπύλες επιφάνειες. Έτσι καθιερώθηκε η δισδιάστατη περίπτωση αυτού που αργότερα έγινε γνωστό ως εικασία Καρτάν-Χανταμάρ.
Ανακάλυψε ότι η λεγόμενη αναπαράσταση Βέιλ, η οποία είχε προηγουμένως εισαχθεί στην κβαντομηχανική από τον Ίρβινγκ Σίγκαλ και τον Ντέιβιντ Σέιλ, έδινε ένα σύγχρονο πλαίσιο για την κατανόηση της κλασικής θεωρίας των τετραγωνικών μορφών[42]. Αυτό ήταν επίσης η αρχή μιας ουσιαστικής εξέλιξης από άλλους, συνδέοντας τη θεωρία αναπαράστασης και τις συναρτήσεις θήτα.
Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent (1948)
Variétés abéliennes et courbes algébriques (1948)[48]
Introduction à l'étude des variétés kählériennes (1958)
Discontinuous subgroups of classical groups (1958) Chicago lecture notes
Weil, André (1967), Basic number theory., Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 144, Springer-Verlag New York, Inc., New York, ISBN3-540-58655-5[49]
Dirichlet Series and Automorphic Forms, Lezioni Fermiane (1971) Lecture Notes in Mathematics, vol. 189[50]
Essais historiques sur la théorie des nombres (1975)
↑Weil, A. «History of mathematics: How and why»(PDF). In: Proceedings of International Congress of Mathematicians, (Helsinki, 1978). 1. σελίδες 227–236. Αρχειοθετήθηκε(PDF) από το πρωτότυπο στις 9 Οκτωβρίου 2022.
↑A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281–315, reprinted in vol 1 of his collected papers ISBN 0-387-90330-5
.
↑L.J. Mordell, On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees, Proc Cam. Phil. Soc. 21, (1922) p. 179
↑Grothendieck, Alexander Groupes de monodromie en géométrie algébrique, I: Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1967–1969 (SGA 7 I), Lecture Notes in Mathematics, 288, Springer-Verlag, 1972, doi:10.1007/BFb0068688, ISBN978-3-540-05987-5
↑Weil, André (1967), Basic number theory., Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 144, Springer-Verlag New York, Inc., New York, ISBN3-540-58655-5
↑Ore, Oystein (1936). «Book Review: Arithmétique et Géométrie sur les Variétés Algébriques». Bulletin of the American Mathematical Society42 (9): 618–619. doi:10.1090/S0002-9904-1936-06368-8.
↑Humphreys, James E. «Review of Adeles and Algebraic Groups by A. Weil». Linear & Multilinear Algebra14 (1): 111–112. 1983. doi:10.1080/03081088308817546.
