PROFILPELAJAR.COM

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Μενελάου δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για τρία σημεία στις πλευρές ενός τριγώνου να είναι συνευθειακά.

Πιο συγκεκριμένα, αν μία ευθεία τέμνει τις πλευρές ${\rm {AB}}$ , ${\rm {\Gamma A}}$ , ${\rm {B\Gamma }}$ του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ αντίστοιχα (που είναι διαφορετικά από τα ${\rm {A,B,\Gamma }}$ ), τότε^[1]^:161-168^[2]

{\frac {\overline {\rm {A\Delta }}}{\overline {\rm {\Delta B}}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {BZ}}}{\overline {\rm {Z\Gamma }}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {\Gamma E}}}{\overline {\rm {EA}}}}=-1.

Η εξίσωση χρησιμοποιεί προσανατολισμένα μήκη, δηλ. το μήκος ${\rm {\overline {AB}}}$ είναι θετικό ή αρνητικό αν το ${\rm {A}}$ είναι στα αριστερά ή στα δεξιά του ${\rm {B}}$ σύμφωνα με κάποιον σταθερό προσανατολισμό της ευθείας. Για παράδειγμα, το ${\rm {A\Delta /AB}}$ έχει θετική τιμή αν το ${\rm {\Delta }}$ είναι μεταξύ του ${\rm {A}}$ και του $B$ και αρνητική διαφορετικά.

Ισχύει επίσης το αντίστροφο, δηλαδή αν για τα σημεία ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ των πλευρών ${\rm {AB}}$ , ${\rm {\Gamma A}}$ , ${\rm {B\Gamma }}$ (ή των προεκτάσεων τους) ισχύει ότι

{\frac {\overline {\rm {A\Delta }}}{\overline {\rm {\Delta B}}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {BZ}}}{\overline {\rm {Z\Gamma }}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {\Gamma E}}}{\overline {\rm {EA}}}}=-1

,

τότε τα ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ είναι συνευθειακά.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Μενέλαο τον Αλεξανδρέα, στου οποίου το έργο Σφαιρικά γίνεται η παλαιότερη γνωστή αναφορά. Το θεώρημα είναι στενά συνδεδεμένο με το θεώρημα Τσέβα.^[3]^[4]^[5]^[6]

Απόδειξη

Απόδειξη

Έστω ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ και μία ευθεία $\varepsilon$ που τέμνει τις πλευρές ${\rm {AB}}$ , ${\rm {\Gamma A}}$ , ${\rm {B\Gamma }}$ του τριγώνου (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ αντίστοιχα. Από το αξίωμα του Πας, είτε δύο από τα ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ είναι εσωτερικά των πλευρών είτε κανένα. Επομένως, το πρόσημο του γινομένου των τριών λόγων είναι $-1$ και μένει να δείξουμε ότι

{\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {\Delta B}}}\cdot {\frac {\rm {BZ}}{\rm {Z\Gamma }}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma E}}{\rm {EA}}}=1.

Θεωρούμε τις προβολές ${\rm {P_{A},P_{B},P_{\Gamma }}}$ των τριών κορυφών ${\rm {A,B,\Gamma }}$ στην ευθεία $\varepsilon$ . Έπειτα, τα τρίγωνα ${\rm {AP_{A}\Delta }}$ και ${\rm {BP_{B}\Delta }}$ έχουν μία γωνία ορθή και ${\widehat {\rm {B\Delta P_{B}}}}={\widehat {\rm {A\Delta P_{A}}}}$ (ως κατακορυφήν γωνίες), άρα είναι όμοια. Επομένως,

${\frac {\rm {AP_{A}}}{\rm {BP_{B}}}}={\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}$ .

(1)

Έπειτα, τα τρίγωνα ${\rm {AP_{A}E}}$ και ${\rm {\Gamma P_{\Gamma }E}}$ έχουν μία γωνία ορθή και ${\widehat {\rm {AEP_{A}}}}={\widehat {\rm {\Gamma EP_{\Gamma }}}}$ (ως κατακορυφήν γωνίες), άρα είναι όμοια. Συνεπώς,

${\frac {\rm {\Gamma P_{\Gamma }}}{\rm {AP_{A}}}}={\frac {\rm {AE}}{\rm {\Gamma E}}}$ .

(2)

Αντίστοιχα, τα ${\rm {BP_{B}Z}}$ και ${\rm {\Gamma P_{\Gamma }Z}}$ έχουν την ${\hat {\rm {Z}}}$ κοινή και τις ${\rm {BP_{B}Z,\Gamma P_{\Gamma }Z}}$ ορθές, άρα είναι όμοια και

${\frac {\rm {BP_{B}}}{\rm {\Gamma P_{\Gamma }}}}={\frac {\rm {BZ}}{\rm {\Gamma Z}}}$ .

(3)

Πολλαπλασιάζοντας τις (1), (2) και (3) κατά μέλη έχουμε ότι

{\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {\Delta B}}}\cdot {\frac {\rm {BZ}}{\rm {Z\Gamma }}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma E}}{\rm {EA}}}={\frac {\rm {AP_{A}}}{\rm {BP_{B}}}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma P_{\Gamma }}}{\rm {AP_{A}}}}\cdot {\frac {\rm {BP_{B}}}{\rm {\Gamma P_{\Gamma }}}}=1.

Απόδειξη αντιστρόφου

Απόδειξη

Το αντίστροφο προκύπτει χρησιμοποιώντας το ευθύ θεώρημα. Έστω τρία σημεία ${\rm {\Delta ,E,Z}}$ των πλευρών ${\rm {AB,\Gamma ,B\Gamma }}$ (ή των προεκτάσεων τους) που ικανοποιούν

{\frac {\overline {\rm {A\Delta }}}{\overline {\rm {\Delta B}}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {BZ}}}{\overline {\rm {Z\Gamma }}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {\Gamma E}}}{\overline {\rm {EA}}}}=-1.

Έστω $Z'$ η τομή του φορέα της ${\rm {\Delta E}}$ με την ${\rm {B\Gamma }}$ . Τότε από το ευθύ έχουμε ότι

{\frac {\overline {\rm {A\Delta }}}{\overline {\rm {\Delta B}}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {BZ'}}}{\overline {\rm {Z'\Gamma }}}}\cdot {\frac {\overline {\rm {\Gamma E}}}{\overline {\rm {EA}}}}=-1.

Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει ότι

{\frac {\overline {\rm {BZ'}}}{\overline {\rm {Z'\Gamma }}}}={\frac {\overline {\rm {BZ}}}{\overline {\rm {Z\Gamma }}}}

.

Σε ένα ευθύγραμμο τμήμα υπάρχει μοναδικό σημείο με δοσμένο λόγο και επομένως τα ${\rm {Z}}$ και ${\rm {Z'}}$ ταυτίζονται.

Ιστορία

Η πιο παλιά γνωστή αναφορά του θεωρήματος είναι στο έργο Σφαιρικά του Μενελάου.^[7] Εκεί εμφανίζεται η εκδοχή του θεωρήματος στο επίπεδο ως λήμμα, για την απόδειξη της εκδοχής του θεωρήματος στη σφαίρα.

Στο έργο Μαθηματική σύνταξις, ο Κλαύδιος Πτολεμαίος εφαρμόζει το θεώρημα σε πολλές περιπτώσεις της σφαιρικής γεωμετρίας. Κατά τη χρυσή εποχή του Ισλάμ (8ος-14ος αι.) οι Μουσουλμάνοι λόγιοι αφιέρωσαν έναν αριθμό από έργα, που σχετίζονται με τη σπουδή του θεωρήματος του Πτολεμαίου και αναφέρονται ως η πρόταση η σχετική με τις τέμνουσες (shakl al-qatta). Το πλήρες τετράπλευρο εκαλείτο το σχήμα των τεμνουσών στην ορολογία τους. Στο έργο Τα κλειδιά της Αστρονομίας ο Αλ-Μπιρουνί έχει έναν κατάλογο αυτών των εργασιών, που μπορεί να ταξινομηθούν είτε ως σπουδές σαν μέρος των σχολίων στην Αλμαγέστη του Πτολεμαίου (όπως είναι οι εργασίες του αλ-Ναϋρίζι και του αλ-Καζίν, οι οποίες δείχνουν ειδικές περιπτώσεις του θεωρήματος του Μενελάου, όπως ο νόμος των ημιτόνων), είτε ως ανεξάρτητες εργασίες όπως:

Η Μελέτη στη μορφή των τεμνουσών (Risala fi shakl al-qatta) του Ταμπίτ ιμπν Κουρρά.
Το έργο Βγάζοντας το πέπλο του μυστηρίου από τη μορφή των τεμνουσών (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta.^{[Σημείωση 1]} Η χαμένη αυτή μελέτη αναφέρεται από τον Αλ-Τουσί και τον Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τουσί.
Εργασία του αλ-Σίτζι.
Το έργο Tahdhib του Αμπού Νασρ ιμπν Ιράκ.