Τρίγωνο
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
και
Δ Δ -->
{\displaystyle \mathrm {\Delta } }
σημείο της
B
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
.
Στην γεωμετρία , το θεώρημα Στιούαρτ ή σχέση Στιούαρτ (αναφέρεται και ως θεώρημα Stewart ή σχέση Stewart ) είναι μία σχέση για το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος από την μία κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά. Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
και ένα σημείο
Δ Δ -->
{\displaystyle \mathrm {\Delta } }
της
B
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
. Τότε,[ 1] :122-126 [ 2] :199-201 [ 3] :41-42 [ 4] :2210-225
A
B
2
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
Δ Δ -->
+
A
Γ Γ -->
2
⋅ ⋅ -->
B
Δ Δ -->
=
B
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
(
A
Δ Δ -->
2
+
Γ Γ -->
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
B
Δ Δ -->
)
{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } =\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } )}
.
Το θεώρημα Στιούαρτ είναι μία γενίκευση του πρώτου θεωρήματος διαμέσων και επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους των υψών , των διαμέσων και των διχοτόμων ενός τριγώνου.
Η γενικευμένη σχέση Στιούαρτ δίνει ότι για κάθε σημείο
Δ Δ -->
{\displaystyle \mathrm {\Delta } }
της ευθείας
B
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
(όχι μόνο για το ευθύγραμμο τμήμα), ισχύει ότι
A
B
2
⋅ ⋅ -->
Δ Δ -->
Γ Γ -->
¯ ¯ -->
+
A
Δ Δ -->
2
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
B
¯ ¯ -->
+
A
Γ Γ -->
2
⋅ ⋅ -->
B
Δ Δ -->
¯ ¯ -->
+
Δ Δ -->
Γ Γ -->
¯ ¯ -->
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
B
¯ ¯ -->
⋅ ⋅ -->
B
Δ Δ -->
¯ ¯ -->
=
0
{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {\Delta \Gamma } }}+\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {\Gamma B} }}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {B\Delta } }}+{\overline {\mathrm {\Delta \Gamma } }}\cdot {\overline {\mathrm {\Gamma B} }}\cdot {\overline {\mathrm {B\Delta } }}=0}
.
Το θεώρημα ονομάζεται έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μάθιου Στιούαρτ που δημοσίευσε τη σχέση το 1746.[ 5] :Proposition II
Απόδειξη
Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο
A
Δ Δ -->
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } }
, έχουμε ότι
A
Γ Γ -->
2
=
A
Δ Δ -->
2
+
Δ Δ -->
Γ Γ -->
2
− − -->
2
⋅ ⋅ -->
A
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
Δ Δ -->
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
cos
-->
ϕ ϕ -->
{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta \Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \cos \phi }
.
Αντίστοιχα, στο τρίγωνο
A
B
Δ Δ -->
{\displaystyle \mathrm {AB\Delta } }
, έχουμε ότι
A
B
2
=
A
Δ Δ -->
2
+
Δ Δ -->
B
2
+
2
⋅ ⋅ -->
A
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
Δ Δ -->
B
⋅ ⋅ -->
cos
-->
ϕ ϕ -->
.
{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {A\Delta ^{2}} +\mathrm {\Delta B} ^{2}+2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta B} \cdot \cos \phi .}
Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι
A
B
2
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
Δ Δ -->
+
A
Γ Γ -->
2
⋅ ⋅ -->
B
Δ Δ -->
=
(
A
Δ Δ -->
2
+
Δ Δ -->
B
2
+
2
⋅ ⋅ -->
A
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
Δ Δ -->
B
⋅ ⋅ -->
cos
-->
ϕ ϕ -->
)
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
Δ Δ -->
+
(
A
Δ Δ -->
2
+
Δ Δ -->
Γ Γ -->
2
− − -->
2
⋅ ⋅ -->
A
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
Δ Δ -->
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
cos
-->
ϕ ϕ -->
)
⋅ ⋅ -->
B
Δ Δ -->
=
A
Δ Δ -->
2
⋅ ⋅ -->
(
Γ Γ -->
Δ Δ -->
+
B
Δ Δ -->
)
+
Γ Γ -->
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
B
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
(
Γ Γ -->
Δ Δ -->
+
B
Δ Δ -->
)
=
B
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
(
A
Δ Δ -->
2
+
Γ Γ -->
Δ Δ -->
⋅ ⋅ -->
B
Δ Δ -->
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } &=\left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta B} ^{2}+2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta B} \cdot \cos \phi \right)\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \\&\qquad +\left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta \Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \cos \phi \right)\cdot \mathrm {B\Delta } \\&=\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot (\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {B\Delta } )+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot (\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {B\Delta } )\\&=\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } ),\end{aligned}}}
ολοκληρώνοντας την απόδειξη.
◻ ◻ -->
{\displaystyle \square }
Εφαρμογές
Υπολογισμός διαμέσου
Για τον υπολογισμό του μήκους της διαμέσου, έχουμε ότι
Δ Δ -->
{\displaystyle \mathrm {\Delta } }
είναι το μέσο της διαμέσου δηλαδή
B
Δ Δ -->
=
Γ Γ -->
Δ Δ -->
=
B
Γ Γ -->
2
{\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}}
. Επομένως, η σχέση Στιούαρτ δίνει ότι
A
B
2
⋅ ⋅ -->
B
Γ Γ -->
2
+
A
Γ Γ -->
2
⋅ ⋅ -->
B
Γ Γ -->
2
=
B
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
(
A
Δ Δ -->
2
+
B
Γ Γ -->
2
4
)
.
{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot {\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot {\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}=\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}}).}
Απλοποιώντας, λαμβάνουμε ότι
A
B
2
2
+
A
Γ Γ -->
2
2
=
A
Δ Δ -->
2
+
B
Γ Γ -->
2
4
,
{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}+{\tfrac {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{2}}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}},}
και τελικώς ότι
A
Δ Δ -->
=
− − -->
B
Γ Γ -->
2
4
+
A
B
2
2
+
A
Γ Γ -->
2
2
{\displaystyle \mathrm {A\Delta } ={\sqrt {-{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}}+{\tfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}+{\tfrac {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{2}}}}}
.
Υπολογισμός εσωτερικής διχοτόμου
Για τον υπολογισμό του μήκους της εσωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι
B
Δ Δ -->
=
α α -->
γ γ -->
β β -->
+
γ γ -->
{\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}}
και
Γ Γ -->
Δ Δ -->
=
α α -->
β β -->
β β -->
+
γ γ -->
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}}
από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου . Εφαρμόζοντας την σχέση Στιούαρτ, λαμβάνουμε ότι
γ γ -->
2
⋅ ⋅ -->
α α -->
β β -->
β β -->
+
γ γ -->
+
β β -->
2
⋅ ⋅ -->
α α -->
γ γ -->
β β -->
+
γ γ -->
=
α α -->
⋅ ⋅ -->
(
A
Δ Δ -->
2
+
α α -->
2
β β -->
γ γ -->
(
β β -->
+
γ γ -->
)
2
)
{\displaystyle \gamma ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}+\beta ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}=\alpha \cdot \left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\alpha ^{2}\beta \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}
.
Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι
δ δ -->
A
2
=
A
Δ Δ -->
2
=
β β -->
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
(
1
− − -->
α α -->
2
(
β β -->
+
γ γ -->
)
2
)
.
{\displaystyle \delta _{A}^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right).}
Υπολογισμός εξωτερικής διχοτόμου
Για τον υπολογισμό του μήκους της εξωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι
B
Δ Δ -->
=
α α -->
γ γ -->
β β -->
− − -->
γ γ -->
{\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\tfrac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}}
και
Γ Γ -->
Δ Δ -->
=
α α -->
β β -->
β β -->
− − -->
γ γ -->
{\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}}
από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου . Εφαρμόζοντας την γενικευμένη σχέση Στιούαρτ, λαμβάνουμε ότι
γ γ -->
2
⋅ ⋅ -->
α α -->
β β -->
β β -->
− − -->
γ γ -->
− − -->
A
Δ Δ -->
2
⋅ ⋅ -->
α α -->
+
β β -->
2
⋅ ⋅ -->
α α -->
γ γ -->
β β -->
+
γ γ -->
+
α α -->
⋅ ⋅ -->
α α -->
2
β β -->
γ γ -->
(
β β -->
+
γ γ -->
)
2
=
0
{\displaystyle \gamma ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}-\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot \alpha +\beta ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}+\alpha \cdot {\tfrac {\alpha ^{2}\beta \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}=0}
.
Αναδιατάσσοντας και απλοπλοιώντας, λαμβάνουμε ότι
(
δ δ -->
A
′
)
2
=
A
Δ Δ -->
2
=
β β -->
γ γ -->
⋅ ⋅ -->
(
α α -->
2
(
β β -->
− − -->
γ γ -->
)
2
− − -->
1
)
.
{\displaystyle (\delta _{A}')^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right).}
Γενικεύσεις
Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος[ 6] [ 7] και αναδρομές στην ιστορία του θεωρήματος και των παραλλαγών του.[ 8]
Περαιτέρω ανάγνωση
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Ελληνικά άρθρα
Φραγκουλόπουλος Γ.; Αντωνίου Δ. (1991). «Η "επέκταση" των Μετρικών Σχέσεων». Ευκλείδης Β΄ (2): 26-29.
Ξενόγλωσσα άρθρα
Δείτε επίσης
Παραπομπές
↑ Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία . Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος . Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά . Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0 .
↑ Stewart, Matthew (1746). Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics . Edinburgh: Sands, Murray and Cochran.
↑ Morris, Richard (1928). «Stewart's theorem with applications» . The Mathematics Teacher 21 (8): 465-478. https://www.jstor.org/stable/27951072 .
↑ Fabricius-Bjerre, Fr (1971). «Generalizations of Stewart's formula» . Nordisk Matematisk Tidskrift 19 (4): 109-119. https://www.jstor.org/stable/24525102 .
↑ Mackay, J. S. (Φεβρουαρίου 1891). «Matthew Stewart's Theorem». Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 10 : 90–94. doi :https://doi.org/10.1017/S0013091500031072 .
Βασικές έννοιες Είδη τριγώνου
Βάσει μεγαλύτερης γωνίας Βάσει πλευρών Άλλα
Σημεία τριγώνου
Ευθείες τριγώνου
Κύκλοι τριγώνου
Μετρικές σχέσεις
Αναλογίες Εμβαδόν Μήκη σεβιανών Τριγωνομετρικές σχέσεις Άλλες
Σχετικά θεωρήματα Παράγωγα τρίγωνα