Στην γεωμετρία, το θεώρημα Στιούαρτ ή σχέση Στιούαρτ (αναφέρεται και ως θεώρημα Stewart ή σχέση Stewart) είναι μία σχέση για το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος από την μία κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά. Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ και ένα σημείο ${\displaystyle \mathrm {\Delta } }$ της ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$. Τότε,^{[1]:122-126[2]:199-201[3]:41-42[4]:2210-225}

${\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } =\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } )}$.

Το θεώρημα Στιούαρτ είναι μία γενίκευση του πρώτου θεωρήματος διαμέσων και επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους των υψών, των διαμέσων και των διχοτόμων ενός τριγώνου.

Η γενικευμένη σχέση Στιούαρτ δίνει ότι για κάθε σημείο ${\displaystyle \mathrm {\Delta } }$ της ευθείας ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$ (όχι μόνο για το ευθύγραμμο τμήμα), ισχύει ότι

${\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {\Delta \Gamma } }}+\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {\Gamma B} }}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {B\Delta } }}+{\overline {\mathrm {\Delta \Gamma } }}\cdot {\overline {\mathrm {\Gamma B} }}\cdot {\overline {\mathrm {B\Delta } }}=0}$.

Το θεώρημα ονομάζεται έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μάθιου Στιούαρτ που δημοσίευσε τη σχέση το 1746.^{[5]:Proposition II}

Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } }$, έχουμε ότι

${\displaystyle \mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta \Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \cos \phi }$.

Αντίστοιχα, στο τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Delta } }$, έχουμε ότι

${\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {A\Delta ^{2}} +\mathrm {\Delta B} ^{2}+2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta B} \cdot \cos \phi .}$

Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } &=\left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta B} ^{2}+2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta B} \cdot \cos \phi \right)\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \\&\qquad +\left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta \Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \cos \phi \right)\cdot \mathrm {B\Delta } \\&=\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot (\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {B\Delta } )+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot (\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {B\Delta } )\\&=\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } ),\end{aligned}}}$

ολοκληρώνοντας την απόδειξη. ${\displaystyle \square }$

Για τον υπολογισμό του μήκους της διαμέσου, έχουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {\Delta } }$ είναι το μέσο της διαμέσου δηλαδή ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}}$. Επομένως, η σχέση Στιούαρτ δίνει ότι

${\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot {\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot {\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}=\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}}).}$

Απλοποιώντας, λαμβάνουμε ότι

${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}+{\tfrac {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{2}}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}},}$

και τελικώς ότι

${\displaystyle \mathrm {A\Delta } ={\sqrt {-{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}}+{\tfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}+{\tfrac {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{2}}}}}$.

Για τον υπολογισμό του μήκους της εσωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}}$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}}$ από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την σχέση Στιούαρτ, λαμβάνουμε ότι

${\displaystyle \gamma ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}+\beta ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}=\alpha \cdot \left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\alpha ^{2}\beta \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}$.

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι

${\displaystyle \delta _{A}^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right).}$

Για τον υπολογισμό του μήκους της εξωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι ${\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\tfrac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}}$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}}$ από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την γενικευμένη σχέση Στιούαρτ, λαμβάνουμε ότι

${\displaystyle \gamma ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}-\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot \alpha +\beta ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}+\alpha \cdot {\tfrac {\alpha ^{2}\beta \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}=0}$.

Αναδιατάσσοντας και απλοπλοιώντας, λαμβάνουμε ότι

${\displaystyle (\delta _{A}')^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right).}$

Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος^[6][7] και αναδρομές στην ιστορία του θεωρήματος και των παραλλαγών του.^[8]

• Θεώρημα Στιούαρτ Διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα και εφαρμογές.
• Απόδειξη με διανύσματα
• Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα Στιούαρτ

• Φραγκουλόπουλος Γ.; Αντωνίου Δ. (1991). «Η "επέκταση" των Μετρικών Σχέσεων». Ευκλείδης Β΄ (2): 26-29. 

• Brown, Peter G. (Μαρτίου 2011). «Rays in a right triangle». The Mathematical Gazette 95 (532): 126–127. doi:10.1017/S0025557200002552. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2011-03_95_532/page/126. 
• Morris, Richard (1928). «Stewart's theorem with applications». The Mathematics Teacher 21 (8): 465-478. https://www.jstor.org/stable/27951072. 

• Πρώτο θεώρημα διαμέσων
• Νόμος των συνημιτόνων