Τα ευθύγραμμα τμήματα
A
A
′
{\displaystyle {\rm {AA'}}}
B
B
′
{\displaystyle {\rm {BB'}}}
Γ Γ -->
Γ Γ -->
′
{\displaystyle {\rm {\Gamma \Gamma '}}}
Στη γεωμετρία , το θεώρημα του Τσέβα (αναφέρεται συχνά ως θεώρημα του Ceva ) δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για τρία ευθύγραμμα που ενώνουν τις κορυφές ενός τριγώνου με τις απέναντι πλευρές τους, να συντρέχουν.
Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
A
′
{\displaystyle {\rm {AA'}}}
B
B
′
{\displaystyle {\rm {BB'}}}
Γ Γ -->
Γ Γ -->
′
{\displaystyle \Gamma \Gamma '}
A
′
,
B
′
,
Γ Γ -->
′
{\displaystyle {\rm {A',B',\Gamma '}}}
B
Γ Γ -->
,
A
Γ Γ -->
,
A
B
{\displaystyle {\rm {B\Gamma ,A\Gamma ,AB}}}
ανν [ 1] :169-180
A
′
B
A
′
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
B
′
Γ Γ -->
B
′
A
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
′
A
Γ Γ -->
′
B
=
1.
{\displaystyle {\rm {{\frac {A'B}{A'\Gamma }}\cdot {\frac {B'\Gamma }{B'A}}\cdot {\frac {\Gamma 'A}{\Gamma 'B}}=1.}}}
Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον μαθηματικό Τζιοβάνι Τσέβα και είναι στενά συνδεδεμένο με το θεώρημα του Μενελάου .[ 2] [ 3] [ 4] [ 5]
Έστω
P
{\displaystyle {\rm {P}}}
A
B
A
′
{\displaystyle {\rm {ABA'}}}
A
Γ Γ -->
A
′
{\displaystyle {\rm {A\Gamma A'}}}
B
A
′
{\displaystyle {\rm {BA'}}}
Γ Γ -->
A
′
{\displaystyle {\rm {\Gamma A'}}}
εμβαδών τους είναι ίσος με τον λόγο των βάσεων, δηλαδή
E
A
B
A
′
E
A
Γ Γ -->
A
′
=
B
A
′
Γ Γ -->
A
′
{\displaystyle {\frac {{\rm {E}}_{\rm {ABA'}}}{{\rm {E}}_{\rm {A\Gamma A'}}}}={\frac {\rm {BA'}}{\rm {\Gamma A'}}}}
Αντίστοιχα, για τα τρίγωνα
P
B
A
′
{\displaystyle {\rm {PBA'}}}
P
Γ Γ -->
A
′
{\displaystyle {\rm {P\Gamma A'}}}
B
A
′
{\displaystyle {\rm {BA'}}}
Γ Γ -->
A
′
{\displaystyle {\rm {\Gamma A'}}}
E
P
B
A
′
E
P
Γ Γ -->
A
′
=
B
A
′
Γ Γ -->
A
′
{\displaystyle {\frac {{\rm {E}}_{\rm {PBA'}}}{{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma A'}}}}={\frac {\rm {BA'}}{\rm {\Gamma A'}}}}
Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι
B
A
′
Γ Γ -->
A
′
=
E
A
B
A
′
E
A
Γ Γ -->
A
′
=
E
P
B
A
′
E
P
Γ Γ -->
A
′
=
E
A
B
A
′
− − -->
E
P
B
A
′
E
A
Γ Γ -->
A
′
− − -->
E
P
Γ Γ -->
A
′
{\displaystyle {\frac {\rm {BA'}}{\rm {\Gamma A'}}}={\frac {{\rm {E}}_{\rm {ABA'}}}{{\rm {E}}_{\rm {A\Gamma A'}}}}={\frac {{\rm {E}}_{\rm {PBA'}}}{{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma A'}}}}={\frac {{\rm {E}}_{\rm {ABA'}}-{\rm {E}}_{\rm {PBA'}}}{{\rm {E}}_{\rm {A\Gamma A'}}-{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma A'}}}}}
Από το σχήμα
E
A
B
A
′
− − -->
E
P
B
A
′
=
E
A
B
P
{\displaystyle {\rm {E}}_{\rm {ABA'}}-{\rm {E}}_{\rm {PBA'}}={\rm {E}}_{\rm {ABP}}}
E
A
Γ Γ -->
A
′
− − -->
E
P
Γ Γ -->
A
′
=
E
A
Γ Γ -->
P
{\displaystyle {\rm {E}}_{\rm {A\Gamma A'}}-{\rm {E}}_{\rm {P\Gamma A'}}={\rm {E}}_{\rm {A\Gamma P}}}
B
A
′
Γ Γ -->
A
′
=
E
A
B
P
E
A
Γ Γ -->
P
{\displaystyle {\frac {\rm {BA'}}{\rm {\Gamma A'}}}={\frac {{\rm {E}}_{\rm {ABP}}}{{\rm {E}}_{\rm {A\Gamma P}}}}}
Κυκλικά για τις άλλες δύο κορυφές, λαμβάνουμε ότι
Γ Γ -->
B
′
A
B
′
=
E
B
Γ Γ -->
P
E
A
B
P
{\displaystyle {\frac {\rm {\Gamma B'}}{\rm {AB'}}}={\frac {{\rm {E}}_{\rm {B\Gamma P}}}{{\rm {E}}_{\rm {ABP}}}}\quad }
A
Γ Γ -->
′
B
Γ Γ -->
′
=
E
A
Γ Γ -->
P
E
B
Γ Γ -->
P
{\displaystyle \quad {\frac {\rm {A\Gamma '}}{\rm {B\Gamma '}}}={\frac {{\rm {E}}_{\rm {A\Gamma P}}}{{\rm {E}}_{\rm {B\Gamma P}}}}}
Πολλαπλασιάζοντας αυτές τις σχέσεις, καταλήγουμε στο ζητούμενο
B
A
′
Γ Γ -->
A
′
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
B
′
A
B
′
⋅ ⋅ -->
A
Γ Γ -->
′
B
Γ Γ -->
′
=
E
A
B
P
E
A
Γ Γ -->
P
⋅ ⋅ -->
E
B
Γ Γ -->
P
E
A
B
P
⋅ ⋅ -->
E
A
Γ Γ -->
P
E
B
Γ Γ -->
P
{\displaystyle {\frac {\rm {BA'}}{\rm {\Gamma A'}}}\cdot {\frac {\rm {\Gamma B'}}{\rm {AB'}}}\cdot {\frac {\rm {A\Gamma '}}{\rm {B\Gamma '}}}={\frac {{\rm {E}}_{\rm {ABP}}}{{\rm {E}}_{\rm {A\Gamma P}}}}\cdot {\frac {{\rm {E}}_{\rm {B\Gamma P}}}{{\rm {E}}_{\rm {ABP}}}}\cdot {\frac {{\rm {E}}_{\rm {A\Gamma P}}}{{\rm {E}}_{\rm {B\Gamma P}}}}}
Το θεώρημα του Τσέβα χρησιμοποιείται συχνά για να αποδείξει ότι τρεις σεβιανές ενός τριγώνου συντρέχουν: οι διάμεσοι συντρέχουν στο βαρύκεντρο, οι διχοτόμοι στο έγκεντρο, τα ύψη στο ορθόκεντρο, και άλλα.
Έστω
M
A
,
M
B
,
M
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {M_{A}} ,\mathrm {M_{B}} ,\mathrm {M_{\Gamma }} }
B
M
A
=
Γ Γ -->
M
A
{\displaystyle {\rm {BM_{A}=\Gamma M_{A}}}}
A
M
B
=
Γ Γ -->
M
B
{\displaystyle {\rm {AM_{B}=\Gamma M_{B}}}}
B
M
A
=
Γ Γ -->
M
A
{\displaystyle {\rm {BM_{A}=\Gamma M_{A}}}}
A
M
B
Γ Γ -->
M
B
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
M
A
B
M
A
⋅ ⋅ -->
B
M
Γ Γ -->
A
M
Γ Γ -->
=
1.
{\displaystyle {\rm {{\frac {AM_{B}}{\Gamma M_{B}}}\cdot {\frac {\Gamma M_{A}}{BM_{A}}}\cdot {\frac {BM_{\Gamma }}{AM_{\Gamma }}}=1.}}}
Επομένως, οι τρεις διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο (το βαρύκεντρο ).
Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου έχουμε για τις διχοτόμους
A
Δ Δ -->
A
{\displaystyle {\rm {A\Delta _{A}}}}
B
Δ Δ -->
B
{\displaystyle {\rm {B\Delta _{B}}}}
Γ Γ -->
Δ Δ -->
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta _{\Gamma }}}}
A
B
A
Γ Γ -->
=
B
Δ Δ -->
A
Γ Γ -->
Δ Δ -->
A
,
B
A
B
Γ Γ -->
=
A
Δ Δ -->
B
Γ Γ -->
Δ Δ -->
B
{\displaystyle {\rm {{\frac {AB}{A\Gamma }}={\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}},\quad {\rm {{\frac {BA}{B\Gamma }}={\frac {A\Delta _{B}}{\Gamma \Delta _{B}}}\quad }}}}}
Γ Γ -->
A
Γ Γ -->
B
=
A
Δ Δ -->
Γ Γ -->
B
Δ Δ -->
Γ Γ -->
.
{\displaystyle \quad {\rm {{\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}={\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}.}}}
Επομένως, έχουμε ότι
B
Δ Δ -->
A
Γ Γ -->
Δ Δ -->
A
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
Δ Δ -->
B
A
Δ Δ -->
B
⋅ ⋅ -->
A
Δ Δ -->
Γ Γ -->
B
Δ Δ -->
Γ Γ -->
=
A
B
A
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
B
Γ Γ -->
B
A
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
A
Γ Γ -->
B
=
1
{\displaystyle {\rm {{\frac {B\Delta _{A}}{\Gamma \Delta _{A}}}\cdot {\frac {\Gamma \Delta _{B}}{A\Delta _{B}}}\cdot {\frac {A\Delta _{\Gamma }}{B\Delta _{\Gamma }}}={\frac {AB}{A\Gamma }}\cdot {\frac {B\Gamma }{BA}}\cdot {\frac {\Gamma A}{\Gamma B}}=1}}}
και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα καταλήγουμε ότι οι τρεις διχοτόμοι διέρχονται από το ίδο σημείο (το έγκεντρο ).
Τα τρίγωνα
A
H
B
B
{\displaystyle \mathrm {AH_{B}B} }
A
H
Γ Γ -->
Γ Γ -->
{\displaystyle \mathrm {AH_{\Gamma }\Gamma } }
όμοια καθώς έχουν μία ορθή και την
A
^ ^ -->
{\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}}
A
B
A
Γ Γ -->
=
A
H
B
A
H
Γ Γ -->
{\displaystyle {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {AH_{B}} }{\mathrm {AH_{\Gamma }} }}}
Αντίστοιχα,
B
A
B
Γ Γ -->
=
B
H
A
B
H
Γ Γ -->
{\displaystyle {\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {B\Gamma } }}={\frac {\mathrm {BH_{A}} }{\mathrm {BH_{\Gamma }} }}\quad }
Γ Γ -->
B
Γ Γ -->
A
=
Γ Γ -->
H
B
Γ Γ -->
H
A
{\displaystyle \quad {\frac {\mathrm {\Gamma B} }{\mathrm {\Gamma A} }}={\frac {\mathrm {\Gamma H_{B}} }{\mathrm {\Gamma H_{A}} }}}
Επομένως,
A
H
B
H
B
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
B
H
Γ Γ -->
H
Γ Γ -->
A
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
H
A
H
A
B
=
A
Γ Γ -->
A
B
⋅ ⋅ -->
B
A
B
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
B
Γ Γ -->
A
=
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {AH_{B}} }{\mathrm {H_{B}\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {BH_{\Gamma }} }{\mathrm {H_{\Gamma }A} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma H_{A}} }{\mathrm {H_{A}B} }}={\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {BA} }{\mathrm {B\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma B} }{\mathrm {\Gamma A} }}=1}
και από το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα, προκύπτει ότι τα τρία ύψη συντρέχουν (στο σημείο που ονομάζεται ορθόκεντρο ).
Το αντίστροφο θεώρημα του Τσέβα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ύπαρξη του σημείου Νάγκελ καθώς και την ύπαρξη του σημείου Gergonne .
Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος του Τσέβα για τετράπλευρα [ 6] [ 7] πολύγωνα [ 8] [ 9] [ 10]
Srinivasan, A. K. (Φεβρουαρίου 1950). «2118. On Menelaus' Theorem, Ceva's Theorem and the harmonic property of a quadrilateral» . The Mathematical Gazette 34 (307): 51–52. doi :10.2307/3610888 . https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1950-02_34_307/page/51 . Dickinson, D. R. (Δεκεμβρίου 1964). «121. The Theorems of Ceva and Menelaus and the Principle of Duality» . The Mathematical Gazette 48 (366): 427–429. doi :10.2307/3611708 . https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1964-12_48_366/page/427 . Wernicke, Paul (Νοεμβρίου 1927). «The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension» . The American Mathematical Monthly 34 (9): 468. doi :10.2307/2300222 . https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1927-11_34_9/page/468 . Su, Stephen; Lee, Cheng Shyong (8 Αυγούστου 2018). «Simultaneous Generalizations of the Theorems of Menelaus, Ceva, Routh, and Klamkin/Liu». Mathematics Magazine 91 (4): 294–303. doi :10.1080/0025570X.2018.1495435 Hoehn, Larry (Ιουνίου 1989). «73.21 A simple generalisation of Ceva’s theorem» . The Mathematical Gazette 73 (464): 126–127. doi :10.2307/3619672 . https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1989-06_73_464/page/126 . Hoehn, Larry (Ιουλίου 2005). «89.49 A Ceva-type theorem for the cyclic quadrilateral» . The Mathematical Gazette 89 (515): 282–283. doi :10.1017/S0025557200177848 . https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2005-07_89_515/page/282 . Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (Νοεμβρίου 1996). «A new Ceva-type theorem» . The Mathematical Gazette 80 (489): 492–500. doi :10.2307/3618512 . https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1996-11_80_489/page/492 .
↑ Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά . Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0 . ↑ Pollard, John M. (Ιουλίου 2000). «84.30 Ceva = (Menelaus) 2» . The Mathematical Gazette 84 (500): 268–271. doi :10.2307/3621658 . https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2000-07_84_500/page/268 . ↑ Benıtez, Julio (2007). «A Unified Proof of Ceva and Menelaus’ Theorems Using Projective Geometry» . Journal for Geometry and Graphics 11 (1): 39-44. https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg11/j11h1beni.pdf . ↑ Green, H. G. (Μαΐου 1957). «On the Theorems of Ceva and Menelaus» . The American Mathematical Monthly 64 (5): 354. doi :10.2307/2309603 . https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1957-05_64_5/page/354 . ↑ Klamkin, Murray S.; Liu, Andy (1 Φεβρουαρίου 1992). «Simultaneous Generalizations of the Theorems of Ceva and Menelaus» . Mathematics Magazine 65 (1): 48. doi :10.2307/2691362 . https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1992-02_65_1/page/48 . ↑ Hoehn, Larry (Ιουλίου 2005). «89.49 A Ceva-type theorem for the cyclic quadrilateral» . The Mathematical Gazette 89 (515): 282–283. doi :10.1017/S0025557200177848 . https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2005-07_89_515/page/282 . ↑ Srinivasan, A. K. (Φεβρουαρίου 1950). «2118. On Menelaus' Theorem, Ceva's Theorem and the harmonic property of a quadrilateral» . The Mathematical Gazette 34 (307): 51–52. doi :10.2307/3610888 . https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1950-02_34_307/page/51 . ↑ Contreras, José N. (Απριλίου 2015). «Discovering, Applying, and Extending Ceva's Theorem». The Mathematics Teacher 108 (8): 632–637. doi :10.5951/mathteacher.108.8.0632 ↑ Wernicke, Paul (Νοεμβρίου 1927). «The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension» . The American Mathematical Monthly 34 (9): 468. doi :10.2307/2300222 . https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1927-11_34_9/page/468 . ↑ Landy, Steven (Δεκεμβρίου 1988). «A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions» . The American Mathematical Monthly 95 (10): 936. doi :10.2307/2322390 . https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1988-12_95_10/page/936 .
Βασικές έννοιες Είδη τριγώνου
Βάσει μεγαλύτερης γωνίας Βάσει πλευρών Άλλα
Σημεία τριγώνου
Ευθείες τριγώνου
Κύκλοι τριγώνου
Μετρικές σχέσεις
Αναλογίες Εμβαδόν Μήκη σεβιανών Τριγωνομετρικές Άλλες
Σχετικά θεωρήματα Παράγωγα τρίγωνα
