Το ευθύγραμμο τμήμα
A
A
′
{\displaystyle {\rm {AA'}}}
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
Στην γεωμετρία , σεβιανή ενός τριγώνου
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει την κορυφή ενός τριγώνου με ένα σημείο της απέναντι του πλευράς.[ 1]
A
A
′
{\displaystyle {\rm {AA'}}}
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
Γνωστές σεβιανές στα τρίγωνα είναι οι διάμεσοι , τα ύψη , οι διχοτόμοι και οι συμμετροδιάμεσοι .
Το όνομα σεβιανή είναι προς τιμήν του Ιταλού μαθηματικού Τζιοβάνι Τσέβα που δημοσίευσε το θεώρημα που φέρει το όνομά του σχετικά με τρεις συντρέχουσες σεβιανές.[ 2]
Τέσσερις γνωστές περιπτώσεις σεβιανών:
Διάμεσος τριγώνου : Συνδέει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.Ύψος τριγώνου : Συνδέει μία κορυφή του τριγώνου με το ίχνος της κάθετης από την κορυφή προς την απέναντι πλευρά.Διχοτόμος τριγώνου : Συνδέει μία κορυφή του τριγώνου με το σημείο τομής της διχοτόμου με την απέναντι πλευρά.Συμμετροδιάμεσος τριγώνου : Η σεβιανή που σχηματίζει την ίδια γωνία με την διάμεσο και μία από της προσκείμενες πλευρές
Τα ευθύγραμμα τμήματα
A
A
′
{\displaystyle {\rm {AA'}}}
B
B
′
{\displaystyle {\rm {BB'}}}
Γ Γ -->
Γ Γ -->
′
{\displaystyle {\rm {\Gamma \Gamma '}}}
Το θεώρημα του Τσέβα δίνει μία αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε τρεις σεβιανές σε ένα τρίγωνο να συντρέχουν. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
A
A
′
{\displaystyle {\rm {AA'}}}
B
B
′
{\displaystyle {\rm {BB'}}}
Γ Γ -->
Γ Γ -->
′
{\displaystyle {\rm {\Gamma \Gamma '}}}
A
′
B
A
′
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
B
′
Γ Γ -->
B
′
A
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
′
A
Γ Γ -->
′
B
=
1
{\displaystyle {\rm {{\frac {A'B}{A'\Gamma }}\cdot {\frac {B'\Gamma }{B'A}}\cdot {\frac {\Gamma 'A}{\Gamma 'B}}=1}}}
Το Θεώρημα Στιούαρτ δίνει έναν τύπο για τον υπολογισμό του μήκους μία σεβιανής. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο
A
B
Γ Γ -->
{\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}
A
A
′
{\displaystyle {\rm {AA'}}}
A
B
2
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
A
′
+
A
Γ Γ -->
2
⋅ ⋅ -->
B
A
′
=
B
Γ Γ -->
⋅ ⋅ -->
(
A
A
′
2
+
Γ Γ -->
A
′
⋅ ⋅ -->
B
A
′
)
{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma A'} +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {BA'} =\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {AA'} ^{2}+\mathrm {\Gamma A'} \cdot \mathrm {BA'} )}
από τον οποίο προκύπτει ότι το μήκος της σεβιανής είναι
A
A
′
=
A
B
2
⋅ ⋅ -->
Γ Γ -->
A
′
+
A
Γ Γ -->
2
⋅ ⋅ -->
B
A
′
B
Γ Γ -->
− − -->
Γ Γ -->
A
′
⋅ ⋅ -->
B
A
′
{\displaystyle \mathrm {AA'} ={\sqrt {{\frac {\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma A'} +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {BA'} }{\mathrm {B\Gamma } }}-\mathrm {\Gamma A'} \cdot \mathrm {BA'} }}}
Βασικές έννοιες Είδη τριγώνου
Βάσει μεγαλύτερης γωνίας Βάσει πλευρών Άλλα
Σημεία τριγώνου
Ευθείες τριγώνου
Κύκλοι τριγώνου
Μετρικές σχέσεις
Αναλογίες Εμβαδόν Μήκη σεβιανών Τριγωνομετρικές Άλλες
Σχετικά θεωρήματα Παράγωγα τρίγωνα
