Στην γεωμετρία, δύο τρίγωνα λέγονται ίσα αν οι πλευρές τους έχουν ίσα μήκη και οι αντίστοιχες γωνίες τους ίσο μέτρο.[Σημείωση 1][1]:33
Πολλά γεωμετρικά θεωρήματα αποδεικνύονται εντοπίζοντας ίσα τρίγωνα στα σχήματα. Για να αποδειχθούν ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα κριτήρια ισότητας τριγώνων, θεωρήματα που μας δίνουν συνθήκες για πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα.
Κριτήρια ισότητας τριγώνων
Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς.
Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας.
Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς.
Ορισμός
Τα τρίγωνα και είναι ίσα με αντιστοιχία κορυφών , και ,[1]: 33 αν τα μήκη των πλευρών τους είναι ίσα
, και ,
και τα μέτρα των γωνιών τους είναι ίσα
, και .
Σημείωση 1: Συνήθως η αντιστοιχία των κορυφών παραλείπεται και όταν λέμε τα και είναι ίσα, εννοούμε με την σειρά που αναγράφονται οι κορυφές.
Σημείωση 2: Όπως αποδεικνύεται και στο κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς παρακάτω, αρκεί μόνο η ισότητα των πλευρών στον ορισμό.
Κριτήρια ισότητας τριγώνων
Τα παρακάτω θεωρήματα χρησιμοποιούνται για να αποδείξουν ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα και συχνά αποκαλούνται ως τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.[2]:17-18[1]: 33 [3]:56-58 Τα δύο πρώτα κριτήρια εμφανίζονται ως Προτάσεις 4 και 8 στο 1ο Βιβλίο στα Στοιχεία του Ευκλείδη.[4]:23,25
Κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς
Κριτήριο (ΠΓΠ) — Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενή τους γωνία ίση με την αντίστοιχή της.
Απόδειξη
Έστω και τρίγωνα στα οποία ισχύει , και . Μετατοπίζουμε το τρίγωνο έτσι ώστε να ταυτιστούν οι ημιευθείες και . Από την ισότητα των γωνιών θα έχουμε και ταύτιση των ημιευθειών και . Από τις ισότητες των πλευρών τότε θα έχουμε ταύτιση του με το και του με το . Συνεπώς τα τρίγωνα είναι ίσα.
Κριτήριο γωνίας-πλευράς-γωνίας
Κριτήριο (ΓΠΓ) — Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν μία πλευρά και δύο προσκείμενες στην πλευρά γωνίες ίσες με τις αντίστοιχές τους.
Απόδειξη
Θεωρούμε δύο τρίγωνα και με , και . Αρκεί να δείξουμε ότι , οπότε σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς θα είναι ίσα.
Θα το δείξουμε με απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε ότι . Θα υπάρχει στην σημείο τέτοιο ώστε . Θεωρούμε την . Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος, θα είναι . Τα και θα είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, συνεπώς θα είναι και , που είναι άτοπο επειδή . Ανάλογη απόδειξη ισχύει και στη περίπτωση που υποθέσουμε ότι .
Σημείωση: Οι δύο γωνίες δεν χρειάζεται να είναι και οι δύο προσκείμενες στην πλευρά, καθώς αν π.χ. και τότε ισχύει επίσης ότι και τα τρίγωνα είναι ίσα.
Κριτήριο πλευράς-πλευράς-πλευράς
Κριτήριο (ΠΠΠ): — Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία.
Απόδειξη
Έστω τρίγωνα και με , και . Αρκεί να δείξουμε ότι , οπότε με το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς τα δύο τρίγωνα θα είναι ίσα.
Φέρνουμε την ημιευθεία έτσι ώστε . Στην θεωρούμε το σημείο για το οποίο . Θεωρούμε επίσης τα ευθύγραμμα τμήματα και . Τα τρίγωνα και είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, έτσι θα έχουν και . Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή, συνεπώς έχουμε και . Συνεπώς έχουμε .
Σχετικά με το κριτήριο πλευράς-πλευράς-γωνίας
Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση που δεν είναι η περιεχόμενη τους γωνία, τότε τα τρίγωνα δεν είναι κατά ανάγκη ίσα.
Για παράδειγμα, θεωρούμε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο με αμβλεία γωνία την , και το σημείο στην προέκταση της ώστε το . Τότε τα τρίγωνα και έχουν δύο ίσες πλευρές (την κοινή και ) και μία μη-περιεχόμενη γωνία κοινή (την ), αλλά ισχύει ότι , άρα τα τρίγωνα δεν είναι ίσα.