Στη γεωμετρία, η διχοτόμος ευθεία ή απλώς διχοτόμος μιας γωνίας στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.^{[1]:52[2]:79-89[3][4]}

Σε ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας ${\displaystyle \angle \mathrm {BA\Gamma } }$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$ που διχοτομεί την ${\displaystyle \angle \mathrm {BA\Gamma } }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Delta } }$ είναι το σημείο της ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$. Αντίστοιχα ορίζονται οι διχοτόμοι των κορυφών ${\displaystyle \mathrm {B} }$ και ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$. Οι διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με ${\displaystyle \delta _{\rm {A}},\delta _{\rm {B}},\delta _{\rm {\Gamma }}}$ ή ${\displaystyle \delta _{\alpha },\delta _{\beta },\delta _{\gamma }}$ αντίστοιχα.

Το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ η διχοτόμος ${\displaystyle \mathrm {A\Delta } }$ ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά ${\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }$ σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών, δηλαδή,^[4]: 95

${\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.}$

Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.^{[2]: 80 [3]: 35-36}

Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:^{[3]: 39 [4]: 125}

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}^{2}=\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}$, ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}^{2}=\gamma \alpha \cdot \left(1-{\frac {\beta ^{2}}{(\gamma +\alpha )^{2}}}\right)\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}^{2}=\alpha \beta \cdot \left(1-{\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right)}$.

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής:^{[5]:265-266[3]: 69 [6]:128}

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\frac {2\beta \gamma }{\beta +\gamma }}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}},}$ ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}={\frac {2\gamma \alpha }{\gamma +\alpha }}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {2\alpha \beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}$,

και επίσης

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\frac {\alpha \cdot \sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}\cdot \cos {\frac {\rm {B-\Gamma }}{2}}}}}$, ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}={\frac {\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma -A}}{2}}}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {\gamma \cdot \sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \cos {\frac {\rm {A-B}}{2}}}}}$.

Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με ${\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } }$ ισχύει ότι ${\displaystyle \delta _{\rm {\Gamma }}<\delta _{\rm {B}}}$, και αντίστροφα.^[2]: 83

Ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το σχήμα στο πλάι δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχούν στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με ${\displaystyle \delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}',\delta _{\rm {\Gamma }}'}$ ή ${\displaystyle \delta _{\alpha }',\delta _{\beta }',\delta _{\gamma }'}$ αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος ${\displaystyle \delta _{\rm {A}}'}$ είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο ${\displaystyle \delta _{\rm {A}}}$.

Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ η εξωτερική διχοτόμος ${\displaystyle \mathrm {A\Delta '} }$ ενός τριγώνου ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με ${\displaystyle \mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma } }$ ικανοποιεί^[4]: 95-96

${\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.}$

Σε ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ οι εξωτερικές διχοτόμοι ${\displaystyle \delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}'}$ και η εσωτερική διχοτόμος ${\displaystyle \delta _{\rm {\Gamma }}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου.^[2]: 80-81 Ονομάζεται το παράκεντρο ${\displaystyle \mathrm {J} _{\mathrm {\Gamma } }}$ του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται παρεγγεγραμμένος. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα ${\displaystyle {\rm {J_{B}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {J_{\Gamma }}}}$.

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:^{[3]: 40 [4]: 125-126}

${\displaystyle (\delta _{\rm {A}}')^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right)}$, ${\displaystyle \quad (\delta _{\rm {B}}')^{2}=\gamma \alpha \cdot \left({\frac {\beta ^{2}}{(\gamma -\alpha )^{2}}}-1\right)\quad }$ και ${\displaystyle (\delta _{\rm {\Gamma }}')^{2}=\alpha \beta \cdot \left({\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha -\beta )^{2}}}-1\right)}$.

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις^{[5]: 266-267 [3]: 70}

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}'={\frac {2\beta \gamma }{|\beta -\gamma |}}\cdot \sin {\frac {\rm {A}}{2}}}$, ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {2\gamma \alpha }{|\gamma -\alpha |}}\cdot \sin {\frac {\rm {B}}{2}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {2\alpha \beta }{|\alpha -\beta |}}\cdot \sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}$.

και επίσης

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}'={\frac {\alpha \cdot \sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}\cdot \sin {\frac {\rm {B-\Gamma }}{2}}}}}$, ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}\cdot \sin {\frac {\rm {\Gamma -A}}{2}}}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {\gamma \cdot \sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\frac {\rm {A-B}}{2}}}}}$.

Η διχοτόμος μίας γωνίας μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

1. Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής ${\displaystyle \mathrm {O} }$ των δύο πλευρών της γωνίας.
2. Θεωρούμε ${\displaystyle \mathrm {T} _{1}}$ και ${\displaystyle \mathrm {T} _{2}}$ τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας.
3. Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα ${\displaystyle \mathrm {T} _{1}}$ και ${\displaystyle \mathrm {T} _{2}}$ και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το ${\displaystyle \mathrm {O} }$.
4. Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.

Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις:

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad {\text{ και }}\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0.}$

Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}={\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}},}$

και

${\displaystyle {\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}=-{\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}.}$

Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.

• Ν. Μαρκάκης (1982). «Παραλληλία και καθετότητα στη διχοτόμο». Ευκλείδης Β΄ (3): 160-164. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3135. 

• Constantia, Mary (1964). «Dr. Hopkins' proof of the angle bisector problem». The Mathematics Teacher 57 (8): 539-541. https://www.jstor.org/stable/27957138. 
• Touval, Ayana (2011). «Teaching the Perpendicular Bisector: A Kinesthetic Approach». The Mathematics Teacher 105 (4): 269-273. doi:10.5951/mathteacher.105.4.0269. https://www.jstor.org/stable/10.5951/mathteacher.105.4.0269. 
• Smith, T. Knape (Φεβρουαρίου 1969). «184. Angle bisector theorems». The Mathematical Gazette 53 (383): 58–59. doi:10.2307/3613462. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1969-02_53_383/page/58. 
• Abu-Saymeh, Sadi; Al-Momani, Yaqeen; Hajja, Mowaffaq; Hayajneh, Mostafa (Νοεμβρίου 2021). «Long medians and long angle bisectors». The Mathematical Gazette 105 (564): 397–409. doi:10.1017/mag.2021.106. 
• Mironescu, Petru; Panaitopol, Laurentiu (Ιανουαρίου 1994). «The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths». The American Mathematical Monthly 101 (1): 58–60. doi:10.1080/00029890.1994.11996906. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1994-01_101_1/page/58. 

• Γωνία
• Τρίγωνο
• Θεώρημα διχοτόμου
• Έγκεντρο τριγώνου
• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Ύψος τριγώνου