Κύκλος

 Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. Μπορείτε να βοηθήσετε προσθέτοντας την κατάλληλη τεκμηρίωση. Υλικό που είναι ατεκμηρίωτο μπορεί να αμφισβητηθεί και να αφαιρεθεί.
Η σήμανση τοποθετήθηκε στις 31/08/2019.
Για άλλες χρήσεις, δείτε: Κύκλος (αποσαφήνιση).
Σχήμα 1: Κύκλος με κέντρο και ακτίνα .

Στην γεωμετρία, κύκλος[1] ή περιφέρεια με κέντρο και ακτίνα , είναι το γεωμετρικό σχήμα που απαρτίζεται από τα σημεία του επιπέδου που ισαπέχουν από το απόσταση , και συμβολίζονται ως . Με εναλλακτική διατύπωση, ο κύκλος ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο.

Σχήμα 2: Το εσωτερικό και το εξωτερικό του κύκλου.

Κάθε σημείο του επιπέδου του κύκλου για το οποίο ισχύει , λέγεται εσωτερικό σημείο του κύκλου. Αντίστοιχα κάθε σημείο του επιπέδου για το οποίο λέγεται εξωτερικό σημείο του κύκλου. Το σύνολο των εσωτερικών σημείων του κύκλου ονομάζεται εσωτερικό του κύκλου και ο κύκλος μαζί με το εσωτερικό του λέγεται κυκλικός δίσκος. Στο σχήμα 2 το εξωτερικό του κύκλου δηλώνεται με το ελαφρό γκρίζο ενώ το εσωτερικό με το έντονο γκρίζο.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία ενός κύκλου λέγεται χορδή του κύκλου. Όταν αυτή περιέχει το κέντρο του, λέγεται διάμετρος και τα άκρα της χαρακτηρίζονται αντιδιαμετρικά.

Κατά τον Ευκλείδη (Στοιχεία, βιβλίο πρώτο),[2]

"Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὁς σημείου τῶν εντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεία τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον".

Στον παραπάνω ορισμός ο Ευκλείδης ταυτίζει τον κύκλο με τον δίσκο. Για αυτό το λόγο εμφανίζεται ο όρος περιφέρεια. Με άλλα λόγια οι λέξεις περιφέρεια και κύκλος περίεγραφαν στην αρχαιότητα αυτά που σε σημερινή ορολογία λέμε κύκλος και δίσκος αντίστοιχα.

Τόξα και επίκεντρες γωνίες

Σχήμα 3: Επίκεντρη γωνία , το αντίστοιχο τόξο της και ο κυκλικός της τομέας.

Μία γωνία λέγεται επίκεντρη όταν η κορυφή της είναι το κέντρο ενός κύκλου. Κάθε γωνία μπορούμε να την καταστήσουμε επίκεντρη θεωρώντας έναν κύκλο (αυθαίρετης ακτίνας) γύρω από την κορυφή της.

Έστω ένας κύκλος και μια επίκεντρη γωνία που τέμνει τον κύκλο στα και . Τόξο είναι το σύνολο των σημείων του κύκλου που βρίσκονται εντός της γωνίας. Κάθε ζεύγος σημείων πάνω σε κύκλο ορίζει δύο επίκεντρες γωνίες, άρα και δύο τόξα. Αν η χορδή είναι διάμετρος τότε τα τόξα αυτά λέγονται ημικύκλια. Στην αντίθετη περίπτωση το ένα τόξο λέγεται μείζον και το άλλο έλασσον· μείζον είναι το τόξο της οποίας η επίκεντρη γωνία δεν είναι κυρτή.

Στο σχήμα 3, αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας θα λέμε το έλασσον τόξο . Λέμε επίσης ότι η γωνία βαίνει στο τόξο , και ότι το τόξο φαίνεται υπό γωνία .

Εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο λέγεται η γωνία που έχει τη κορυφή της σε κύκλο και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο αυτό.

Κυκλικός τομέας λέγεται κάθε γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από τα κοινά σημεία ενός κυκλικού δίσκου και μίας επίκεντρης γωνίας του, όπως είναι το γραμμοσκιασμένο σύνολο του σχήματος 3.

Θεώρημα αντιστοιχίας τόξου-επίκεντρης

Θεώρημα — Σε έναν κύκλο, ίσες επίκεντρες γωνίες βαίνουν σε ίσα τόξα. Αντίστροφα, σε ένα κύκλο ίσα τόξα φαίνονται υπό ίσες επίκεντρες γωνίες.

Σύγκριση τόξων και πράξεις

  • Σε έναν κύκλο, θα λέμε ότι ένα τόξο είναι μεγαλύτερο ή ίσο ή μικρότερο από ένα άλλο όταν η επίκεντρη γωνία του πρώτου είναι μεγαλύτερη ή ίση ή μικρότερη από την επίκεντρη γωνία του άλλου.
  • Μέσο ενός τόξου είναι ένα σημείο στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε τα τόξα και να είναι ίσα. Κάθε τόξο έχει ένα μόνο μέσο.
  • Οι πράξεις στα τόξα (προσθαφαίρεση τόξου με τόξο και πολλαπλασιασμός - διαίρεση τόξου με αριθμό) ορίζονται με βάση τις επίκεντρες γωνίες όπου αντιστοιχούν. Σε κάθε περίπτωση, το τόξο-αποτέλεσμα της πράξης είναι το τόξο που αντιστοιχεί στην επίκεντρη γωνία-αποτέλεσμα της αντίστοιχης πράξης.
  • Λέγοντας μέτρηση ενός τόξου εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα μοναδιαίο τόξο του ίδιου κύκλου. Αν ισχύει , τότε λέμε ότι το μήκος του τόξου ως προς το τόξο είναι . Συνηθισμένη μονάδα μέτρησης εδώ είναι το τόξο που ισούται με το ένα τριακοσιοστό εξηκοστό του κύκλου. Το μήκος του μοναδιαίου αυτού τόξου λέμε ότι ισούται με μία μοίρα και συμβολίζουμε 1°.
  • Επειδή, σύμφωνα με το θεώρημα αντιστοιχίας, ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες επίκεντρες γωνίες, μπορούμε να αναγάγουμε τη μέτρηση των γωνιών στη μέτρηση των τόξων. Έτσι όταν λέμε άνοιγμα γωνίας μπορούμε εναλλακτικά να εννοούμε το μήκος του αντίστοιχου τόξου της, αν αυτή θεωρηθεί ως επίκεντρη. Στη μέτρηση σε μοίρες λοιπόν, το άνοιγμα της μοναδιαίας γωνίας θα ισούται με 1°, της πλήρους γωνίας με 360°, της ευθείας γωνίας με 180°, και της ορθής με 90°.

Άλλες ιδιότητες

  • Σε ίσα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν ίσες χορδές και αντίστροφα.
  • Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου προς μία χορδή του, διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο.
  • Δύο χορδές κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα.
,
όπου η μαθηματική σταθερά.
  • Η διάμετρος του κύκλου:
.
  • Το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου δίνεται από τον τύπο:
.
  • Ο κύκλος είναι το σχήμα του επιπέδου με το μεγαλύτερο εμβαδόν για δεδομένη περίμετρο.

Αναλυτική γεωμετρία του κύκλου

Η εξίσωση, σε Καρτεσιανές συντεταγμένες, του κύκλου με κέντρο και ακτίνα είναι:

.

Όταν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων τότε η εξίσωση του κύκλου έχει τη μορφή :

.

Η εξίσωση

,

όταν , αναπαριστά έναν κύκλο με κέντρο το σημείο και ακτίνα .

Εξίσωση εφαπτομένης

Η εφαπτομένη του κύκλου αυτού σε ένα σημείο έχει εξίσωση της μορφής :

.

Παραμετρική εξίσωση

Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου είναι:

,

με παράμετρο το , για .

Πολικές συντεταγμένες

Η εξίσωση ενός κύκλου σε πολικές συντεταγμένες με κέντρο το είναι:

Δείτε επίσης

Παραπομπές

  1. ↑ «Circle - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 28 Αυγούστου 2024. 
  2. ↑ Ευκλείδης. Στοιχεία Α'.