Один з найкращих воротарів в історії світового футболу, опитуванням IFFHS займає 20 місце серед найкращих воротарів XX століття. Він двічі, у 1989 і 1991 роках, визнавався найкращим воротарем року за версією IFFHS. У 1990 році Дзенга був визнаний УЄФА найкращим голкіпером Європи, ФІФА найкращим голкіпером чемпіонату світу, на якому він встановив рекордну серію без пропущених м'ячів. Приз IFFHS, сувенірний м'яч, прикрашений діамантами, вартістю 160 млрд лір, був проданий Дзенгою на аукціоні, а отримані гроші були віддані на потреби благодійності. Дзенга — кавалер ордена за заслуги перед Італійською Республікою.
У дорослому футболі дебютував 1978 року виступами на умовах оренди за команду клубу «Салернітана», в якій провів один сезон, взявши участь лише у 3 матчах чемпіонату.
Згодом з 1979 по 1982 рік також як орендований гравець виступав у складі команд клубів «Савона» та «Самбенедеттезе».
Своєю грою за останню команду привернув увагу представників тренерського штабу головної команди «Інтернаціонале», до складу якої приєднався 1982 року. Відіграв за «нераззуррі» наступні дванадцять сезонів своєї ігрової кар'єри. Більшість часу, проведеного у складі «Інтернаціонале», був основним голкіпером команди. Відзначався надзвичайно високою надійністю, пропускаючи в іграх чемпіонату в середньому менше одного голу за матч. За цей час виборов титул чемпіона Італії, ставав володарем Суперкубка Італії з футболу, володарем Кубка УЄФА (двічі).
Завершив професійну ігрову кар'єру в американському клубі «Нью-Інгленд Революшн», за команду якого виступав протягом 1997—1999 років, у тому числі як граючий тренер.
Виступи за збірні
Протягом 1984—1986 років залучався до складу молодіжної збірної Італії. На молодіжному рівні зіграв у 15 офіційних матчах, пропустив 15 голів.
З 2011 року очолював тренерський штаб команди «Аль-Наср» (Дубай), де провів два роки, після чого очолив іншу еміратську команду «Аль-Джазіра».
11 червня2015 року Дзенга був призначений головним тренером клубу «Сампдорія»[1][2][3]. Контракт був підписаний на 1 рік[4]. Проте під керівництвом свого колишнього зіркового воротаря «Сампдорія» провела лише 12 ігор, в яких здобула по чотири перемоги, нічиїх і поразки. Керівництво клубу визнало такі результати незадовільними і 26 листопада 2015 року розірвало контракт із тренером.
Наприкінці того ж місяця Дзенга повернувся до ОАЕ, очоливши свою четверту команду з цієї країни — «Аль-Шааб». Утім пропрацював із нею лише декілька місяців —21 лютого 2016 року його контракт із клубом було передчасно завершено за згодою сторін.
30 липня 2016 року уклав контракт з «Вулвергемптон Вондерерс», згідно якого мав тренувати англійську команду протягом сезону 2016/17. Проте вже 25 жовтня того ж року був звільнений з позиції головного тренера клубу через незадовільні результати — під його керівництвом «вовки» здобули лише 4 перемоги у 14 іграх Чемпіоншипу і перебували на 18-й позиції у другому за силою англійському дивізіоні.
У грудні 2017 року продовжив тренерську кар'єру на батьківщині, ставши головним тренером одного з аутсайдерів Серії A«Кротоне». Залишив команду по завершенні сезону, за результатами якого вона не зберегла місце у найвищому італійському дивізіоні.
11 жовтня 2018 року почав працювати з друголіговою «Венецією», з якої був звільнений наступного березня після серії з п'яти ігор, в яких команда чотири рази програла.
У березні 2020 року очолив тренерський штаб «Кальярі». Мав тренувати сардинську команду до літа 2021 року, проте у серпні того ж 2020 року був замінений на Еусебіо Ді Франческо.