Уравнение Клейна — Гордона (иногда Клейна — Гордона — Фока, Клейна — Фока[1][2], Шрёдингера — Гордона[3]) — релятивистская версия уравнения Шрёдингера:
или (с использованием единиц, где ℏ ℏ --> = c = 1 {\displaystyle \hbar =c=1} , ◻ ◻ --> {\displaystyle \square \ } — оператор Д’Аламбера):
Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (таких как поле Хиггса). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами[4]. Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.
Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:
Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.
Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.
Положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой ± ± --> m c 2 / ℏ ℏ --> {\displaystyle \pm mc^{2}/\hbar } , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой m {\displaystyle m} частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.
Уравнение, названное именами Оскара Клейна и Вальтера Гордона, первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить в это уравнение спин электрона. Шрёдингер сделал упрощение уравнения и нашёл «своё» уравнение.
В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок[5][6] написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости, и независимо вывел это уравнение. И Клейн[7] (его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.
Статья Гордона (начало 1926) была посвящена эффекту Комптона[8].
(Здесь использованы единицы, где ℏ ℏ --> = c = 1 {\displaystyle \hbar =c=1} ).
Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:
где p ^ ^ --> = − − --> i ∇ ∇ --> {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\mathbf {\nabla } } — оператор импульса; оператор же E ^ ^ --> = i ∂ ∂ --> t {\displaystyle {\hat {E}}=i\partial _{t}} будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.
Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).
Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО):
Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии[9], получаем:
что в ковариантной форме запишется так:
где ◻ ◻ --> = ∇ ∇ --> 2 − − --> ∂ ∂ --> t 2 {\displaystyle \square \ =\nabla ^{2}-\partial _{t}^{2}} — оператор Д’Аламбера.
Искать решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы
можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:
подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на k {\displaystyle \mathbf {k} } и ω ω --> {\displaystyle \omega } :
Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:
Найденное соотношение k {\displaystyle k} и ω ω --> {\displaystyle \omega } тогда (снова) даёт уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:
Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона — Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).
Для безмассовых частиц мы можем положить m = 0 {\displaystyle m=0} в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:
Использовав формулу групповой скорости v g r = ∂ ∂ --> ω ω --> / ∂ ∂ --> k {\displaystyle \mathbf {v} _{gr}=\partial \omega /\partial \mathbf {k} \ } , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе того же результата можно добиться, просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой; но в случае уравнения Клейна — Гордона — Фока мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде[10] (очевиден только квадрат гамильтониана).
Lokasi Pengunjung: 18.117.138.205