Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения[1], обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.
Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей Ψ Ψ --> [ σ σ --> ] {\displaystyle \Psi [\sigma ]} . Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:[2]
где H ( x ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(x)} — плотность гамильтониана
x = ( x 0 , x ) {\displaystyle x=(x^{0},\mathbf {x} )} — координата в пространстве Минковского R 1 , 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}} . Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:[3]
Пространственноподобные гиперповерхности σ σ --> {\displaystyle \sigma } определяются трёхмерным многообразием в R 1 , 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}} , которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке x ∈ ∈ --> σ σ --> {\displaystyle x\in \sigma } гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор
являющийся времениподобным
Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени.[3] Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности σ σ --> {\displaystyle \sigma } координатами x {\displaystyle \mathbf {x} } трёхмерного пространства R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , тогда точки x ∈ ∈ --> σ σ --> {\displaystyle x\in \sigma } могут быть представлены в виде x = ( x 0 ( x ) , x ) {\displaystyle x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )} . Таким образом, каждая точка x ∈ ∈ --> R 3 {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}} имеет собственную переменную времени x 0 = x 0 ( x ) {\displaystyle x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )} .
Рассмотрим точку x ∈ ∈ --> σ σ --> {\displaystyle x\in \sigma } и варьированную гиперповерхность σ σ --> + δ δ --> σ σ --> {\displaystyle \sigma +\delta \sigma } , отличную от σ σ --> {\displaystyle \sigma } лишь в некоторой окрестности O x {\displaystyle O_{x}} точки x {\displaystyle x} . Через Ω Ω --> ( x ) {\displaystyle \Omega (x)} обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между σ σ --> {\displaystyle \sigma } и σ σ --> + δ δ --> σ σ --> {\displaystyle \sigma +\delta \sigma } . Тогда функциональная производная δ δ --> δ δ --> σ σ --> ( x ) {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \sigma (x)}}} произвольного функционала F [ σ σ --> ] {\displaystyle F[\sigma ]} , приставляющем собой отображение из множества гиперповерхностей в вещественные числа, определяется[4] следующим образом[5]
Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как[6]
где U ( σ σ --> , σ σ --> 0 ) {\displaystyle U(\sigma ,\sigma _{0})} — унитарный оператор эволюции, имеющий вид
где T e x p {\displaystyle \mathrm {Texp} } — упорядоченная по времени экспонента. ρ ρ --> ( σ σ --> 0 ) {\displaystyle \rho (\sigma _{0})} — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности σ σ --> 0 {\displaystyle \sigma _{0}} . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как
где Ψ Ψ --> ( σ σ --> 0 ) {\displaystyle \Psi (\sigma _{0})} — начальная волновая функция.
Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости[6], требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности σ σ --> {\displaystyle \sigma } :
Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана H ( x ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(x)} . Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов
Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:
Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.
Расслоение пространства R 1 , 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}} определяется[7] гладким однопараметрическим семейством
состоящим из пространноподобных гиперповерхностей σ σ --> ( τ τ --> ) {\displaystyle \sigma (\tau )} с тем свойством, что каждая точка x ∈ ∈ --> R 1 , 3 {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{1,3}} принадлежит одной и только одной гиперповерхности σ σ --> ( τ τ --> ) {\displaystyle \sigma (\tau )} :
Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке x {\displaystyle x} как σ σ --> x {\displaystyle \sigma _{x}} . Фиксированное расслоение F {\displaystyle {\mathcal {F}}} порождает семейство векторов-состояний
Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме
Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью σ σ --> 0 = σ σ --> ( 0 ) {\displaystyle \sigma _{0}=\sigma (0)} и гиперповерхностью σ σ --> ( τ τ --> ) {\displaystyle \sigma (\tau )} семейства, которое всецело лежит в будущем σ σ --> 0 {\displaystyle \sigma _{0}} .
Пусть гиперповерхности σ σ --> ( τ τ --> ) {\displaystyle \sigma (\tau )} могут быть определены неявным выражением
где f ~ ~ --> ( x , τ τ --> ) {\displaystyle {\tilde {f}}(x,\tau )} — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали
Для удобство нормируем функцию f ( x , τ τ --> ) = 0 {\displaystyle f(x,\tau )=0} определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали
Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний
где интегрирование выполняется по гиперповерхности σ σ --> ( τ τ --> ) ∈ ∈ --> F {\displaystyle \sigma (\tau )\in {\mathcal {F}}} . Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом
уравнение движения для векторов-состояния примет вид
Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность,[1] связанная с тем, что в формализме квантовой механики[8] время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.
Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность σ σ --> {\displaystyle \sigma } .
Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.
Lokasi Pengunjung: 3.142.195.132