Метод конечных разностей — численный метод решения дифференциальных уравнений, основанный на замене производных разностными схемами. Является сеточным методом.

Для решения эллиптической задачи методом конечных разностей на расчётной области строится сетка, затем выбирается разностная схема и для каждого узла сетки записывается разностное уравнение (аналог исходного уравнения, но с использованием разностной схемы), затем производится учёт краевых условий (для краевых условий второго и третьего рода так же строится некоторая разностная схема). Получается система линейных алгебраических уравнений, решая которую в ответе получают приближенные значения решения в узлах.
Главной проблемой метода является построение правильной разностной схемы, которая будет сходиться к решению. Построение схемы выполняется исходя из свойств исходного дифференциального оператора.

Другой метод решения эллиптических задач — метод конечных элементов, имеет как преимущества, так и недостатки перед методом конечных разностей.

Пусть дана одномерная эллиптическая задача:

Построим сетку с постоянным шагом ${\displaystyle h={\frac {1}{4}}}$. Для аппроксимации выберем трёхточечный шаблон, то есть для аппроксимации производной в точке ${\displaystyle x_{i}}$ будем использовать точки ${\displaystyle \left\{x_{i-1},x_{i},x_{i+1}\right\}}$. Тогда разностное уравнение будет выглядеть следующим образом:

Учитывая краевые условия, система линейных уравнений вида ${\displaystyle Au=b}$ , для нахождения решения, будет выглядеть следующим образом:

Решение задач методом конечных разностей, когда процесс изменяется во времени, представляет собой итерационный процесс — на каждой итерации мы находим решение на новом временном слое. Для решения таких задач используются явные, неявные схемы и предиктор-корректор (пара из специально подобранных явной и неявной схемы). Явные схемы и схемы предиктор-корректор просто пересчитывают значение, используя информацию с предыдущих временных слоёв, использование неявной схемы приводит к решению уравнения (или системы уравнений).
Для параболических и гиперболических уравнений часто прибегают к смешиванию методов — производные по времени аппроксимируют с помощью разностной схемы, а оператор по пространству аппроксимируется с помощью конечноэлементной постановки^[1].

Пусть дано уравнение ${\displaystyle {\frac {du}{dt}}=u}$ с начальным условием ${\displaystyle u(0)=1}$. Для решения воспользуемся следующими разностными схемами:

• Явная схема Эйлера ${\displaystyle {\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{t=t_{i}}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{h}}}$. Разностное уравнение: ${\displaystyle u_{i+1}={\frac {1}{1-h}}u_{i}}$.
• Неявная схема Эйлера ${\displaystyle {\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{t=t_{i}}={\frac {u_{i+1}-u_{i}}{h}}}$. Разностное уравнение: ${\displaystyle u_{i+1}=(1+h)u_{i}}$.

С шагом ${\displaystyle h=0.25}$. Точным решением является экспонента: ${\displaystyle u=e^{t}}$

Результат вычисления для нескольких первых шагов
Значение t	Точное решение	Явная схема Эйлера	Неявная схема Эйлера
${\displaystyle 0.25}$	${\displaystyle 1.28...}$	${\displaystyle 1.25}$	${\displaystyle 1.33...}$
${\displaystyle 0.50}$	${\displaystyle 1.64...}$	${\displaystyle 1.56...}$	${\displaystyle 1.77...}$
${\displaystyle 0.75}$	${\displaystyle 2.11...}$	${\displaystyle 1.95...}$	${\displaystyle 2.36...}$

При уменьшении шага точность метода увеличивается. Поскольку исходное уравнение — это линейное дифференциальное уравнение, то и для неявной схемы тоже получилось линейное уравнение, из которого можно выразить (что и было сделано) решение.

Этот пример демонстрирует, как совмещаются конечноэлементные постановки и разностные схемы. Пусть дано параболическое уравнение:

Для аппроксимации по времени, используя неявную схему Эйлера, получим:

Поскольку значение на предыдущем слое уже известно, то, при перенесении его в правую часть, получается эллиптическое уравнение относительно ${\displaystyle u^{i+1}}$:

Для решения данного уравнения можно применить метод Галёркина, тогда полученная СЛАУ будет иметь следующий вид:

${\displaystyle \left(G+{\frac {1}{\tau }}M\right)x^{i+1}=b^{i+1}+{\frac {1}{\tau }}Mx^{i}}$.

Здесь: ${\displaystyle G}$ — матрица жесткости, ${\displaystyle M}$ — матрица массы, ${\displaystyle b}$ — вектор, связный с правой частью исходного уравнения, ${\displaystyle x^{i}}$ — вектор весов базисных функций на слое с номером ${\displaystyle i}$.

Однако, решение по пространству можно искать также и с помощью разностной схемы, аналогично показанному выше примеру.

• Метод конечных разностей во временной области
• Интерполяция/Экстраполяция

• Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — Москва: Наука, 1978. — 592 с.
• Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. — Москва: Мир, 1978. — 461 с.

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (20 октября 2024)