Метод Эйлера — простейший численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности. Он основан на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией — так называемой ломаной Эйлера.

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x,y),}$

${\displaystyle y_{|_{x=x_{0}}}=y_{0},}$

где функция ${\displaystyle f}$ определена на некоторой области ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$. Решение ищется на полуинтервале ${\displaystyle (x_{0},b]}$. На этом промежутке введём узлы ${\displaystyle x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b.}$ Приближенное решение в узлах ${\displaystyle x_{i}}$, которое обозначим через ${\displaystyle y_{i}}$, определяется по формуле

${\displaystyle y_{i}=y_{i-1}+(x_{i}-x_{i-1})f(x_{i-1},y_{i-1}),\quad i=1,2,3,\dots ,n.}$

Эти формулы непосредственно обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Погрешность на шаге, или локальная погрешность, — это разность между численным решением после одного шага вычисления ${\displaystyle y_{i}}$ и точным решением в точке ${\displaystyle x_{i}=x_{i-1}+h}$. Численное решение задаётся формулой

${\displaystyle y_{i}=y_{i-1}+hf(x_{i-1},y_{i-1}).\quad }$

Точное решение можно разложить в ряд Тейлора:

${\displaystyle y(x_{i-1}+h)=y(x_{i-1})+hy'(x_{i-1})+O(h^{2}).}$

Локальную ошибку ${\displaystyle L}$ получаем, вычитая из второго равенства первое:

${\displaystyle L=y(x_{i-1}+h)-y_{i}=O(h^{2}).}$

Это справедливо, если ${\displaystyle y}$ имеет непрерывную вторую производную^[2]. Другим достаточным условием справедливости этой оценки, из которого вытекает предыдущее и которое обычно может быть легко проверено, является непрерывная дифференцируемость ${\displaystyle f(x,y)}$ по обоим аргументам^[3].

Погрешность в целом, глобальная или накопленная погрешность — это погрешность в последней точке произвольного конечного отрезка интегрирования уравнения. Для вычисления решения в этой точке требуется ${\displaystyle S/h}$ шагов, где ${\displaystyle S}$  — длина отрезка. Поэтому глобальная погрешность метода ${\displaystyle G=O(h^{2}S/h)=O(h)}$.

Таким образом, метод Эйлера является методом первого порядка — имеет погрешность на шаге ${\displaystyle O(h^{2})}$ и погрешность в целом ${\displaystyle O(h)}$^[3].

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит своё применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Повысить точность и устойчивость вычисления решения можно с помощью явного метода Эйлера следующего вида.

Прогноз:

${\displaystyle {\tilde {y}}_{i}=y_{i-1}+(x_{i}-x_{i-1})f(x_{i-1},y_{i-1})}$.

Коррекция:

${\displaystyle y_{i}=y_{i-1}+(x_{i}-x_{i-1}){\frac {f(x_{i-1},y_{i-1})+f(x_{i},{\tilde {y}}_{i})}{2}}}$.

Для повышения точности корректирующую итерацию можно повторить, подставляя ${\displaystyle {\tilde {y}}_{i}=y_{i}}$ .

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо как минимум дважды вычислять ${\displaystyle f(x,y)}$. Метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).

Другой способ повысить точность метода заключается в использовании не одного, а нескольких вычисленных ранее значений функции:

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\tfrac {3}{2}}hf(x_{i},y_{i})-{\tfrac {1}{2}}hf(x_{i-1},y_{i-1}).}$

Это линейный многошаговый метод.

Реализация на языке Си для функции${\displaystyle f(x,y)=6x^{2}+5xy}$.

#include <stdio.h>  // printf()
#include <stdlib.h> // EXIT_SUCCESS
// функция первой производной
double f( double const x, double const y ) { return 6 * x * x + 5 * x * y; }
// точка входа
int main()
{
	double	const	h = .01;    // размер шага
	double			x = 1;      // x_0
	double			y = 1;      // y_0
	int             n = 10;     // количество итераций
    // итерации по методу Эйлера
    for ( ; n--; y += h * f( x, y ), x += h );
	// печать результата
	printf( "x:\t%-5.7lf\ny:\t%-5.7lf", x, y );
    // выход
    return EXIT_SUCCESS;
}

Реализация на языке Python 3.7:

# n - количество итераций, h - шаг, (x, y) - начальная точка
def Euler(n = 10, h = 0.01, x = 1, y = 1):
    for i in range(n):
        y += h * function(x, y)
        x += h
    return x, y # решение

def function(x, y):
    return 6 * x**2 + 5 * x * y # функция первой производной

print(Euler())

Реализация на языке Lua:

n, h, x, y = 10, 0.01, 1, 1 -- количество итераций, шаг, координаты начальной точки
function f (x, y) return 6*x^2+5*x*y end -- функция первой производной
for i = 1, n do
  x, y = x + h, y + h * f(x, y)
end
print('x: '..x..' y: '..y)

• Метод Рунге — Кутты

• Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. — М.: ГИТТЛ. 1956. [1]
• Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука. 1986.