Уравнение теплопроводности — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и ее изменение во времени.
В пространстве с произвольной системой координат r = ( r 1 , … … --> , r n ) {\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},\ldots ,r_{n})} уравнение теплопроводности имеет вид
∂ ∂ --> u ∂ ∂ --> t − − --> a 2 Δ Δ --> u = f ( r , t ) , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f(\mathbf {r} ,t),}
где a {\displaystyle a} — положительная константа (число a 2 {\displaystyle a^{2}} является коэффициентом температуропроводности), Δ Δ --> = ∇ ∇ --> 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} — оператор Лапласа и f ( r , t ) {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)} — функция тепловых источников[1]. Искомая функция u = u ( r , t ) {\displaystyle u=u(\mathbf {r} ,t)} задает температуру в точке с координатами r {\displaystyle \mathbf {r} } в момент времени t {\displaystyle t} .
Данное уравнение можно объяснить следующим образом. Скорость изменения температуры во времени пропорциональна кривизне распределения температуры по пространству (второй производной). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" температуры в теле (чем более острые "горбы"), тем быстрее в этих местах идёт выравнивание температуры.
В пространстве с декартовыми координатами x = ( x 1 , … … --> , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})} уравнение теплопроводности принимает вид
∂ ∂ --> u ∂ ∂ --> t − − --> a 2 ( ∂ ∂ --> 2 u ∂ ∂ --> x 1 2 + ∂ ∂ --> 2 u ∂ ∂ --> x 2 2 + ⋯ ⋯ --> + ∂ ∂ --> 2 u ∂ ∂ --> x n 2 ) = f ( x , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}\right)=f(x,t).}
Уравнение теплопроводности называется однородным, если f ( x , t ) ≡ ≡ --> 0 {\displaystyle f(x,t)\equiv 0} , т.е. внутри системы нет источников и "стоков" тепла.
Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:
где φ φ --> ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} — начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция u = u ( x , t ) {\displaystyle u=u(x,t)} является непрерывной и ограниченной при t ⩾ ⩾ --> 0 {\displaystyle t\geqslant 0} и всех значениях аргумента x {\displaystyle x} .
Для однородной задачи Коши имеют место следующие свойства[2]:
Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности:
В этом случае интеграл Пуассона имеет вид[5]:
+ ∫ ∫ --> 0 t ∫ ∫ --> R n 1 ( 2 a π π --> ( t − − --> s ) ) n exp --> ( − − --> | x − − --> y | 2 4 a 2 ( t − − --> s ) ) f ( y , s ) d y d s . {\displaystyle +\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (t-s)}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}(t-s)}}{\biggr )}\,f(y,s)\,dy\,ds.}
Для случая одной пространственной переменной x (задача о нагревании или охлаждении стержня) уравнение теплопроводности принимает вид
Для этого уравнения можно ставить и решать различные краевые задачи, один из методов решения которых предложен французским математиком Фурье и носит его имя[6]
Рассмотрим следующую задачу:
Требуется найти функцию u ( x , t ) {\displaystyle u(x,\;t)} для ∀ ∀ --> ( x , t ) : 0 ⩽ ⩽ --> x ⩽ ⩽ --> l , 0 ⩽ ⩽ --> t ⩽ ⩽ --> T {\displaystyle \forall (x,\;t):0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T} .
Представим искомую функцию в виде произведения
Затем предполагаемую форму решения подставим в исходное уравнение, получим
Разделим выражение на a 2 X ( x ) T ( t ) {\displaystyle a^{2}X(x)T(t)} :
Так как в левой части уравнения у нас находится функция зависящая только от t {\displaystyle t} , а в правой — только от x {\displaystyle x} , то, фиксируя любое значение x {\displaystyle x} в правой части, получаем, что для любого t {\displaystyle t} значение левой части уравнения постоянно. Таким же образом можно убедиться, что и правая часть постоянна, то есть равна некой константе − − --> λ λ --> {\displaystyle -\lambda } (минус взят для удобства). Таким образом, мы получаем два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения:
Обратим внимание на граничные условия исходной задачи и подставим в них предполагаемый вид уравнения, получим:
откуда X ( 0 ) = X ( l ) = 0 {\displaystyle X(0)=X(l)=0} ( T ( t ) ≠ ≠ --> 0 {\displaystyle T(t)\neq 0} , так как в противном случае мы имели бы решение u ( x , t ) = 0 {\displaystyle u(x,\;t)=0} , а мы ищем только нетривиальные решения).
С учетом полученных граничных условий мы получаем задачу Штурма — Лиувилля:
Её решение сводится к решению линейного дифференциального уравнения и рассмотрению трёх случаев:
C учетом найденных λ λ --> {\displaystyle \lambda } , выведем общее решение линейного дифференциального уравнения
Должен получиться ответ
Теперь всё готово для того, чтобы записать решение исходной задачи:
В результате у нас получилось бесконечное количество частных решений уравнения. Все эти частные решения линейно независимы, то есть линейная комбинация любого количества решений равна нулю, только если все коэффициенты при них равны нулю. Поэтому логично предположить, что суммируя все частные решения по n {\displaystyle n} от единицы до бесконечности, мы получим общее решение исходной задачи.
Осталось определить значение константы C {\displaystyle C} (зависящей от n {\displaystyle n} ) из начального условия
Для того, чтобы определить значение C n {\displaystyle C_{n}} , необходимо разложить функцию φ φ --> ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} в ряд Фурье:
Получаем:
Откуда общее решение:
В курсе математической физики доказывается, что полученный ряд удовлетворяет всем условиям данной задачи, то есть функция u ( x , t ) {\displaystyle u(x,\;t)} дифференцируема (и ряд сходится равномерно), удовлетворяет уравнению в области определения и непрерывна в точках границы этой области.
Рассмотрим следующую задачу для неоднородного уравнения:
Пусть
Тогда, пользуясь очевидным соотношением X n ″ ( x ) = − − --> ( π π --> n l ) 2 X n ( x ) {\displaystyle X''_{n}(x)=-\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}X_{n}(x)} , перепишем исходное уравнение как:
Решим последнее линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянной. Сначала найдём общее решение однородного линейного уравнения
В общем решении заменим постоянную D n {\displaystyle D_{n}} на переменную D n ( t ) {\displaystyle D_{n}(t)} и подставим в исходное уравнение.
Из начального условия получаем:
С учетом условия для T {\displaystyle T} , получаем
Так как
то F n ( t ) {\displaystyle F_{n}(t)} , очевидно, является коэффициентом ряда Фурье, и равен
В результате, общая формула такова:
Во многих случаях удаётся решить неоднородное уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми и начальным условиями
с помощью методов, описанных выше и следующего несложного приёма. Представим искомую функцию в виде суммы:
Найдём функцию U ( x , t ) {\displaystyle U(x,\;t)} :
Таким образом, исходная задача свелась к следующей:
После того, как мы найдём функцию u ~ ~ --> ( x , t ) {\displaystyle {\tilde {u}}(x,\;t)} , искомую функцию найдём по формуле
{{citation}}
|address=
|location=
Lokasi Pengunjung: 18.118.93.198