Пусть ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, ${\displaystyle Y=(Y,d)}$ — метрическое пространство, ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y,\ n=1,2,\dots }$ — последовательность функций. Говорят, что последовательность ${\displaystyle f_{n}}$ равномерно сходится^[1] к функции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой номер ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$, что для всех номеров ${\displaystyle n>N_{\varepsilon }}$ и всех точек ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon }$

Обычно обозначается ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$.

Это условие равносильно тому, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in X}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0.}$

• Если ${\displaystyle Y}$ — линейное нормированное пространство и последовательности отображений ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g_{n}\colon X\to Y}$, ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ равномерно сходятся на множестве ${\displaystyle X}$, то последовательности ${\displaystyle \{f_{n}+g_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{\alpha f_{n}\}}$ при любых ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ также равномерно сходятся на ${\displaystyle X}$.

• Для вещественнозначных функций (или, более общо, если ${\displaystyle Y}$ — линейное нормированное кольцо), последовательность отображений ${\displaystyle f_{n}\colon X\to \mathbb {R} }$, равномерно сходится на множестве ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} }$ ограниченное отображение, то последовательность ${\displaystyle \{gf_{n}\}}$ также равномерно сходится на ${\displaystyle X}$.

• Если ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, ${\displaystyle Y}$ — метрическое пространство и последовательность непрерывных в точке ${\displaystyle x_{0}\in X}$ отображений ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y}$ равномерно сходится на множестве ${\displaystyle X}$ к отображению ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, то это отображение также непрерывно в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

• Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций ${\displaystyle f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ равномерно сходится на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ к функции ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$, то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого ${\displaystyle x\in [a,b]}$ имеет место равенство
      ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt}$
  и сходимость последовательности функций
      ${\displaystyle x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt}$
  на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ к функции
      ${\displaystyle x\mapsto \int \limits _{a}^{x}f(t)dt}$
  равномерна.

• Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функций ${\displaystyle f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$, сходится в некоторой точке ${\displaystyle x_{0}}$, a последовательность их производных равномерно сходится на ${\displaystyle [a,b]}$, то последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ также равномерно сходится на ${\displaystyle [a,b]}$, её предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией.

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
• Колмогоров А. Н., Фомин С . В. Элементы теории функций и функционального анализа. 5-е изд., М., 1981.
• Келли Дж. Л. Общая топология. 2-е изд., М., 1951.
• Медведев Ф. А. К истории понятия равномерной сходимости рядов. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1974. — № 19. — С. 75-93.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Оформить список литературы. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.