Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса
Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость
Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение
Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнение Громеки — Лэмба · Уравнение Бернулли · Интеграл Коши — Лагранжа · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука
Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени.[1]
Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда
где S {\displaystyle \mathbf {S} } — поверхность выделенного объёма, g {\displaystyle \mathbf {g} } — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что d m = ρ ρ --> d V {\displaystyle dm=\rho \,dV} , где ρ ρ --> {\displaystyle \rho } — плотность жидкости в данной точке, получим:
В силу произвольности объёма V {\displaystyle V} подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:
Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:
получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:
∂ ∂ --> v ∂ ∂ --> t + ( v ⋅ ⋅ --> ∇ ∇ --> ) v = g − − --> 1 ρ ρ --> ∇ ∇ --> p , {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =\mathbf {g} -{\frac {1}{\rho }}\nabla p,}
где
Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид
В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по x {\displaystyle x} при постоянной плотности жидкости ρ ρ --> {\displaystyle \rho } получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:
Пусть ρ ρ --> = const {\displaystyle \rho ={\text{const}}} . Используя известную формулу
перепишем соотношение в форме
Беря ротор и учитывая, что
а частные производные коммутируют, получаем, что
∂ ∂ --> ∂ ∂ --> t rot --> v = rot --> [ v rot --> v ] . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} \mathbf {v} =\operatorname {rot} [\mathbf {v} \operatorname {rot} \mathbf {v} ].}
В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции w {\displaystyle w} следующим образом:
Следовательно:
Используя известное соотношение
и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера, получим искомое представление в виде
Русский перевод мемуара Эйлера, в котором впервые опубликованы уравнения движения идеальной жидкости
Lokasi Pengunjung: 18.117.76.94