Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса
Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость
Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение
Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнение Громеки — Лэмба · Уравнение Бернулли · Интеграл Коши — Лагранжа · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука
Зако́н Берну́лли[1] (также уравне́ние Берну́лли[2][3], теоре́ма Берну́лли[4][5] или интегра́л Берну́лли[2][6][7]) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением. Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости[2] (то есть без вязкости и теплопроводности).
Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли[K 1]. В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году[11] для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году[12].
Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии. Закон Бернулли утверждает, что величина ρ ρ --> v 2 / 2 + ρ ρ --> g h + p {\displaystyle \rho v^{2}/2+\rho gh+p} сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:
Здесь
Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике Д. В. Сивухина[13]. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями A 1 {\displaystyle A_{1}} и A 2 {\displaystyle A_{2}} , действует сила F 1 = p 1 A 1 {\displaystyle F_{1}=p_{1}A_{1}} , а справа — противоположного направления сила F 2 = − − --> p 2 A 2 {\displaystyle F_{2}=-p_{2}A_{2}} . Скорость v {\displaystyle v} и давление p {\displaystyle p} в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t} левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние s 1 = v 1 Δ Δ --> t {\displaystyle s_{1}=v_{1}\Delta t} , а правая — на расстояние s 2 = v 2 Δ Δ --> t {\displaystyle s_{2}=v_{2}\Delta t} . Работа, совершённая силами давления, равна:
В начале интервала времени Δ Δ --> t {\displaystyle \Delta t} объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями A 1 {\displaystyle A_{1}} и A 2 {\displaystyle A_{2}} , состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: Δ Δ --> m = Δ Δ --> t v 1 A 1 ρ ρ --> 1 = Δ Δ --> t v 2 A 2 ρ ρ --> 2 . {\displaystyle \Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.} Поэтому работа сил, выражение для которой можно преобразовать к виду: Δ Δ --> W = Δ Δ --> m ( p 1 ρ ρ --> 1 − − --> p 2 ρ ρ --> 2 ) , {\displaystyle \Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right),} равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента Δ Δ --> E 2 {\displaystyle \Delta E_{2}} и левого голубого элемента Δ Δ --> E 1 {\displaystyle \Delta E_{1}} .
Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить ρ ρ --> 1 = ρ ρ --> 2 = ρ ρ --> {\displaystyle \rho _{1}=\rho _{2}=\rho } и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться кинетической и потенциальной энергией: Δ Δ --> E 1 = Δ Δ --> m ( v 1 2 2 + g h 1 ) , {\displaystyle \Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),} Δ Δ --> E 2 = Δ Δ --> m ( v 2 2 2 + g h 2 ) . {\displaystyle \Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).} После этого равенство Δ Δ --> W = Δ Δ --> E 2 − − --> Δ Δ --> E 1 {\displaystyle \Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1}} даёт: p 1 + ρ ρ --> g h 1 + ρ ρ --> v 1 2 2 = p 2 + ρ ρ --> g h 2 + ρ ρ --> v 2 2 2 {\displaystyle p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}} , или p + ρ ρ --> g h + ρ ρ --> v 2 2 = c o n s t {\displaystyle p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}} .
Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением[2]. Могут также использоваться термины «весовое давление» ρ ρ --> g h {\displaystyle \rho gh} , «статическое давление» p {\displaystyle p} и «динамическое давление» ρ ρ --> v 2 / 2 {\displaystyle \rho v^{2}/2} . По словам Д. В. Сивухина[13], нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.
Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии[14]).
В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:
где
Отсюда: v = 2 g h {\displaystyle v={\sqrt {2gh}}} . Это — формула Торричелли. Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h {\displaystyle h} . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде[15].
Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука[16].
Вдоль горизонтальной трубы координата z {\displaystyle z} постоянна и уравнение Бернулли принимает вид ρ ρ --> v 2 2 + p = const {\displaystyle {\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}} . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури[17] и струйного насоса[1].
Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером «Олимпик»)[18].
Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики. Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на «удельный вес» ρ ρ --> g {\displaystyle \rho g} :
где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:
Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «гидравлические потери напора»[19].
Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости[K 2][K 3]. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: ρ ρ --> = ρ ρ --> ( p ) {\displaystyle \rho =\rho (p)} , что позволяет ввести функцию давления[22] P = ∫ ∫ --> d p ρ ρ --> ( p ) . {\displaystyle {\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}.} В этих предположениях величина
постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом g h {\displaystyle gh} заменяется на потенциал массовой силы φ φ --> {\displaystyle \varphi } .
Уравнение Громеки — Лэмба[23][24] (квадратные скобки обозначают векторное произведение) имеет вид:
В силу сделанных предположений ∂ ∂ --> v → → --> ∂ ∂ --> t = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=0,} grad --> p ρ ρ --> = grad --> P {\displaystyle {\frac {\operatorname {grad} p}{\rho }}=\operatorname {grad} {\cal {P}}} и F → → --> = − − --> grad --> φ φ --> {\displaystyle {\vec {F}}=-\operatorname {grad} \varphi } (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен φ φ --> = g h {\displaystyle \varphi =g\,h} ), так что уравнение Громеки — Лэмба принимает вид:
Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор l → → --> = v → → --> v , {\displaystyle {\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},} касательный к линии тока, даёт:
так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> l {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}} , а векторное произведение перпендикулярно направлению скорости. Следовательно, вдоль линии тока v 2 2 + φ φ --> + P = c o n s t . {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}=\mathrm {const} .} Такое соотношение справедливо и для вихревой линии, касательный вектор к которой в каждой точке направлен по r o t v → → --> . {\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {v}}.}
Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости v → → --> = grad --> ψ ψ --> {\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {grad} \psi } , интеграл Бернулли в виде ∂ ∂ --> ψ ψ --> ∂ ∂ --> t + ( grad --> ψ ψ --> ) 2 2 + g h + P = c o n s t {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\left(\operatorname {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const} } [K 4] сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения[25].
Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон[26]
то уравнение Бернулли выражается так[27] (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):
С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за p 0 , ρ ρ --> 0 , {\displaystyle p_{0},\ \rho _{0},} тогда скорость истечения выражается через внешнее давление p {\displaystyle p} по формуле Сен-Венана — Ванцеля[28]:
Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости
где w {\displaystyle w} — энтальпия единицы массы, φ φ --> {\displaystyle \varphi } — гравитационный потенциал (равный g z {\displaystyle gz} для однородной силы тяжести), s {\displaystyle s} — энтропия единицы массы.
1. Уравнение Эйлера для стационарного ( ∂ ∂ --> v → → --> / ∂ ∂ --> t = 0 {\displaystyle \partial {\vec {v}}/\partial t=0} ) движения идеальной жидкости в поле силы тяжести[29] имеет вид
где ускорение силы тяжести можно выразить через гравитационный потенциал g → → --> = − − --> ∇ ∇ --> φ φ --> {\displaystyle {\vec {g}}=-\nabla \varphi } (для однородного поля φ φ --> = g h {\displaystyle \varphi =gh} ), точка между векторами в круглых скобках означает их скалярное произведение.
2. Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор l → → --> = v → → --> v , {\displaystyle {\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},} касательный к линии тока даёт
так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению ∂ ∂ --> ∂ ∂ --> l . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}.}
3. Термодинамическое дифференциальное соотношение
где w {\displaystyle w} — энтальпии единицы массы, T {\displaystyle T} — температура и s {\displaystyle s} — энтропия единицы массы, даёт
В стационарном течении идеальной жидкости все частицы, движущиеся вдоль данной линии тока, имеют одинаковую энтропию[30] ( ∂ ∂ --> s / ∂ ∂ --> l = 0 {\displaystyle \partial s/\partial l=0} ), поэтому вдоль линии тока:
Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье, представляющие удельную энтальпию (по оси ординат) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар (изотерм). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии ( s = const {\displaystyle s={\text{const}}} ). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скорости[31].
Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится[32]. Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио, наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.
Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений[33]), в магнитной гидродинамике[34], феррогидродинамике[35]. В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света c {\displaystyle c} , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных[36] удельной энтальпии и удельной энтропии[37].
Lokasi Pengunjung: 3.147.43.74