Представление Гейзенберга — один из способов описания квантовомеханических явлений, в котором эволюция системы описывается уравнением Гейзенберга и определяется только развитием операторов во времени, причём вектор состояния от времени не зависит.
Согласно постулатам квантовой механики каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряжённый оператор A ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {A}}} , а чистое состояние описывается вектором из гильбертова пространства | Ψ Ψ --> ⟩ ⟩ --> {\displaystyle |\Psi \rangle } . В представлении Гейзенберга вектор состояния от времени не зависит, а эволюция системы описывается уравнением:
d d t A ^ ^ --> H ( t ) = i ℏ ℏ --> [ H ^ ^ --> , A ^ ^ --> H ( t ) ] + ∂ ∂ --> A ^ ^ --> H ∂ ∂ --> t , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {A}}_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}_{H}(t)]+{\frac {\partial {\hat {A}}_{H}}{\partial t}},}
где частная производная означает явную зависимость физической величины от времени.
Пусть A ^ ^ --> ( t ) {\displaystyle {\hat {A}}(t)} - оператор в представлении Шрёдингера, а A ^ ^ --> H ( t ) {\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)} - оператор в представлении Гейзенберга. Тогда переход от одного представления к другому определяется унитарным преобразованием:
A ^ ^ --> H ( t ) = S ^ ^ --> ( t 0 , t ) A ^ ^ --> ( t ) S ^ ^ --> ( t , t 0 ) , {\displaystyle {\hat {A}}_{H}(t)={\hat {S}}(t_{0},t){\hat {A}}(t){\hat {S}}(t,t_{0}),}
где S ^ ^ --> ( t , t 0 ) {\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})} - оператор эволюции:
где T , T ¯ ¯ --> {\displaystyle T,{\overline {T}}} - операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени. В частности, если оператор Гамильтона не зависит от времени, то
и унитарное преобразование принимает вид:
Вектор состояния, в представлении Шрёдингера, удовлетворяет уравнению Шрёдингера:
где H ^ ^ --> ( t ) {\displaystyle {\hat {H}}(t)} - оператор Гамильтона.
Введем оператор эволюции S ^ ^ --> ( t , t 0 ) {\displaystyle {\hat {S}}(t,t_{0})} , который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:
Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:
где I ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {I}}} - единичный оператор. В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:
Теперь рассмотрим среднее значение оператора A ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {A}}} некоторой наблюдаемой величины:
Таким образом, оператор A ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {A}}} в представлении Гейзенберга определяется формулой:
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то
Продифференцируем формулу ( 4 ) {\displaystyle (4)} по времени и используем уравнение ( 3 ) {\displaystyle (3)} , тогда получим уравнение движения операторa A ^ ^ --> ( t ) {\displaystyle {\hat {A}}(t)} в Гейзенберговском представлении:
где частная производная обозначает явную зависимость оператора A ^ ^ --> ( t ) {\displaystyle {\hat {A}}(t)} от времени.
Оператор Гамильтона квантового гармонического осциллятора в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:
Так как операторы рождения и уничтожения не зависят от времени в представлении Шрёдингера, то уравнение ( 5 ) {\displaystyle (5)} перепишется в виде
где были использованы (анти)коммутационные соотношения для операторов уничтожения и рождения [ a ^ ^ --> , a ^ ^ --> † † --> ] ∓ ∓ --> = 1. {\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]_{\mp }=1.}
Представление Гейзенберга используется в релятивистской теории, а также в задачах статистической физики.
Lokasi Pengunjung: 3.15.6.54