Гамильтониа́н ( H ^ ^ --> {\displaystyle {\hat {H}}} или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.
Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.
Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.
Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если | ψ ψ --> ( t ) ⟩ {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle } — состояние системы в момент времени t, то
Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то
Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.
По свойству *-гомоморфизма, оператор
унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.
Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.
Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:
и для трёх измерений:
Для частицы в постоянном потенциале V = V0 (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:
В трёх измерениях:
Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как
где угловая частота ω ω --> {\displaystyle \omega } коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению
поэтому гамильтониан имеет вид
Для трёх измерений гамильтониан принимает вид
где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:
Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:
В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени, в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.
Lokasi Pengunjung: 18.118.142.35