PROFILPELAJAR.COM

Descriere
Sfenomegacoroană

(model 3D)
Tip	poliedru Johnson J₈₇ – J₈₈ – J₈₉
Fețe	18 (16 triunghiuri echilaterale, 2 pătrate)^[1]
Laturi (muchii)	28^[1]
Vârfuri	12^[1]
χ	2
Configurația vârfului	2 (3⁴); 2 (3².4²); 4 (3⁵); 4 (3⁴.4)
Grup de simetrie	C_2v , [2], [*22], ordin 4
Arie	≈ 8,928 a² (a = latura)
Volum	≈ 1,948 a³ (a = latura)
Poliedru dual	–
Proprietăți	Convex
Desfășurată

În geometrie sfenomegacoroana este unul dintre poliedrele Johnson, (J₈₈).^[1]^[2] Este unul dintre poliedrele elementare Johnson care nu se pot obține prin „tăiere și lipire” ale poliedrelor platonice sau arhimedice. Având 18 fețe, este un octadecaedru.

Construcție

Este construit prin adăugarea unei piramide pătrate, (J₁), pe una din fețele pătrate ale unei sfenocoroane, (J₈₆). Este singurul poliedru Johnson care este obținut prin operații de „tăiere și lipire” în care componentele nu sunt toate prisme, antiprisme sau părți de poliedre platonice sau arhimedice.

Johnson folosește prefixul sfeno- pentru a se referi la un complex asemănător unei pene format din două lunule adiacente (o lunulă fiind un pătrat cu triunghiuri echilaterale atașate pe laturile opuse). De asemenea, sufixul -megacoroană se referă la un complex în formă de coroană format din 12 triunghiuri, în contrast cu complexul mai mic, format din 8 triunghiuri, din sfenocoroană. Unirea ambelor complexe produce sfenomegacoroana.^[2]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Pentru a calcula coordonatele carteziene pentru sfenomegacoronă, fie $k$ ≈ 0,59463 cea mai mică rădăcină pozitivă a polinomului de gradul 16

{\begin{aligned}&1680~x^{16}-4800~x^{15}-3712~x^{14}+17216~x^{13}\\&\quad +1568~x^{12}-24576~x^{11}+2464~x^{10}+17248~x^{9}\\&\quad -3384~x^{8}-5584~x^{7}+2000~x^{6}+240~x^{5}\\&\quad -776~x^{4}+304~x^{3}+200~x^{2}-56~x-23.\end{aligned}}

Atunci, coordonatele carteziene ale unei sfenomegacoroane cu lungimea laturilor 2 sunt date de reuniunea orbitelor punctelor

{\begin{aligned}&\left(0,1,2{\sqrt {1-k^{2}}}\right),\,(2k,1,0),\,\left(0,{\frac {\sqrt {3-4k^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}}}}+1,{\frac {1-2k^{2}}{\sqrt {1-k^{2}}}}\right),\\&\left(1,0,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right),\,\left(0,{\frac {{\sqrt {3-4k^{2}}}\left(2k^{2}-1\right)}{\left(k^{2}-1\right){\sqrt {1-k^{2}}}}}+1,{\frac {2k^{4}-1}{\left(1-k^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)\end{aligned}}

sub acțiunea grupului generat de reflexiile față de planele $xz$ și $yz$ .^[3]

Arie și volum

Următoarele formule pentru arie, $A$ ^[1] și volum, $V$ sunt stabilite pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

A=2(1+2{\sqrt {3}})\,a^{2}\approx 8,928203~a^{2},

Pentru volum se calculează $\xi$ ca rădăcina minimă pozitivă a polinomului de gradul 32:^[4]

521578814501447328359509917696

x

³²

− 985204427391622731345740955648

x

³⁰

− 16645447351681991898880656015360

x

²⁸

+ 79710816694053483249372512649216

x

²⁶

− 152195045391070538203422101864448

x

²⁴

+ 156280253448056209478031589244928

x

²²

− 96188116617075838858708654227456

x

²⁰

+ 30636368373570166303441645731840

x

¹⁸

+ 5828527077458909552923002273792

x

¹⁶

− 8060049780765551057159394951168

x

¹⁴

+ 1018074792115156107372011716608

x

¹²

+ 35220131544370794950945931264

x

¹⁰

+ 327511698517355918956755959808

x

⁸

− 116978732884218191486738706432

x

⁶

+ 10231563774949176791703149568

x

⁴

− 366323949299263261553952192

x

²

+ 3071435678740442112675625 ,

cu care volumul este:

V=\xi \,a^{3}\approx 1,948108~a^{3}.

Note

^ ^a ^b ^c ^d ^e en Stephen Wolfram, "Sphenomegacorona" from Wolfram Alpha. Retrieved March 4, 2023.
^ ^a ^b en Johnson, Norman W. (1966), „Convex polyhedra with regular faces”, Canadian Journal of Mathematics, 18: 169–200, doi:10.4153/cjm-1966-021-8, MR 0185507, Zbl 0132.14603
^ en Timofeenko, A. V. (2009). „The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra”. Journal of Mathematical Science. 162 (5): 718. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.
^ Șirul A334114 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)