Sfenocoroană augmentată
În geometrie sfenocoroana augmentată este unul dintre poliedrele Johnson , (J 87 ).[ 1] [ 2] poliedrelor platonice sau arhimedice . Având 17 fețe , este un heptadecaedru .
Este construit prin adăugarea unei piramide pătrate , (J 1 ), pe una din fețele pătrate ale unei sfenocoroane , (J 86 ). Este singurul poliedru Johnson care este obținut prin operații de „tăiere și lipire” în care componentele nu sunt toate prisme , antiprisme sau părți de poliedre platonice sau arhimedice .
Johnson folosește prefixul sfeno- pentru a se referi la un complex asemănător unei pene format din două lunule pătrat cu triunghiuri echilaterale atașate pe laturile opuse). De asemenea, sufixul -coroană se referă la un complex în formă de coroană, format din 8 triunghiuri echilaterale. Unirea ambelor complexe produce sfenocoroana.[ 2]
Coordonate carteziene
Pentru a calcula coordonatele carteziene pentru sfenocorona augmentată, se poate începe prin a calcula coordonatele sfenocoronei. Fie k ≈ 0,85273 cea mai mică rădăcină pozitivă a polinomului de gradul 4
60
x
4
− − -->
48
x
3
− − -->
100
x
2
+
56
x
+
23.
{\displaystyle 60x^{4}-48x^{3}-100x^{2}+56x+23.}
Atunci, coordonatele carteziene ale unei sfenocorone cu lungimea laturilor 2 sunt date de reuniunea orbitelor punctelor
(
0
,
1
,
2
1
− − -->
k
2
)
,
(
2
k
,
1
,
0
)
,
(
0
,
1
+
3
− − -->
4
k
2
1
− − -->
k
2
,
1
− − -->
2
k
2
1
− − -->
k
2
)
,
(
1
,
0
,
− − -->
2
+
4
k
− − -->
4
k
2
)
{\displaystyle \left(0,1,2{\sqrt {1-k^{2}}}\right),\,(2k,1,0),\left(0,1+{\frac {\sqrt {3-4k^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}}}},{\frac {1-2k^{2}}{\sqrt {1-k^{2}}}}\right),\,\left(1,0,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right)}
sub acțiunea grupului generat de reflexiile față de planele xz și yz .[ 3] centroidului (d versorului normal al uneia dintre fețele pătrate dă poziția ultimului vârf ca fiind
(
k
+
2
− − -->
2
k
2
,
0
,
k
+
2
− − -->
2
k
2
)
.
{\displaystyle \left(k+{\sqrt {2-2k^{2}}},0,k+{\sqrt {2-2k^{2}}}\right).}
Următoarele formule pentru arie , A și volum , V sunt stabilite pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a :[ 1]
A
=
(
1
+
4
3
)
a
2
≈ ≈ -->
7
,
928203
a
2
,
{\displaystyle A=\left(1+4{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 7,928203~a^{2},}
V
=
(
1
2
1
+
3
3
2
+
13
+
3
6
+
1
3
2
)
a
3
≈ ≈ -->
1
,
751054
a
3
.
{\displaystyle V=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {1+3{\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {13+3{\sqrt {6}}}}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1,751054~a^{3}.}
Note
^ a b c d e en Stephen Wolfram , "Augmented sphenocorona " from Wolfram Alpha . Retrieved March 3, 2023.
^ a b en Johnson, Norman W. (1966 ), „Convex polyhedra with regular faces”, Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi :10.4153/cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , Zbl 0132.14603
^ en Timofeenko, A. V. (2009 ). „The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra”. Journal of Mathematical Science . 162 (5): 718. doi :10.1007/s10958-009-9655-0 .
Piramide, cupole și rotonde modificate
Piramide modificate Bipiramide Cupole modificate Bicupole șiRotonde modificate Cupolerotonde
