数学のおもに線型代数学および函数解析学における行列の平方根(ぎょうれつのへいほうこん、英: square root of a matrix)は、数に対する通常の平方根の概念を行列に対して拡張するものである。すなわち、行列 B が行列 A の平方根であるとは、行列の積に関して B2 = BB が A に等しいときに言う。
2 × 2 行列が、相異なる二つの非零固有値を持つならば、それは四つの平方根を持つ(より一般に、相異なる n 個の非零固有値を持つ n × n 行列は 2n 個の平方根を持つ)。実際に、そのような仮定を満たす行列 A は A の固有ベクトルを列ベクトルに持つ行列 V とそれに対応する固有値を対角成分に持つ対角行列D を用いて A = VDV−1 と固有値分解できるから、A の平方根は VD½V−1 で与えられることがわかる。ただし、D½ は D の任意の平方根で、それは D の対角成分の任意の平方根を同じ位置の対角成分として持つ対角行列であり、その選び方は 2n 通りある。同じ理由で、上で述べた「半正定値行列の主平方根がただ一つに定まる」ことも言える—半正定値行列[注 4]A の全ての非負固有値の主平方根を対角成分に持つ対角行列を D½ とする行列 VD½V−1 はただ一つしかない。
適当な冪零行列N を用いて I + N の形に書ける行列の平方根 (I + N)½ は、二項級数に対する汎函数計算で求められる。同様に、行列の指数函数exp, 対数函数log が既知ならば、 exp(½⋅log(A)) を A の(主)平方根とすることができる(収束性に注意せよ)。
対角化可能行列A に対し、適当な行列 V と対角行列 D が存在して A = VDV−1 と書ける。これは A が Cn を張る n 個の固有値を持つことと同値である。このとき V はその列ベクトルが n 個の固有ベクトルであるように選べる。そうして A の平方根は D の任意の平方根を用いて と書ける。実際、 である。
A がエルミート行列ならば対角化に用いる行列 V は固有ベクトルを適当に選んでユニタリ行列となるようにとれる。この場合、V の逆行列はたんに随伴をとるだけであるから、 と書ける。
一意性を見るには λ = 1 の場合に確認すれば十分である。上で構成した平方根を S = I + L の形に書けば、L は定数項を持たない N の多項式である。固有値が正の実数となる他の任意の平方根 T は T = I + M の形で M が冪零かつ N と(したがって L と)可換となるようにとれる。しかしこのとき 0 = S2 − T2 = 2(L − M)(I + (L + M)/2) であり、また L と M の可換性により L + M は冪零ゆえ I + (L + M)/2 は可逆(逆行列はノイマン級数で与えられる)となるから、したがって L = M.
すべての固有値が正の実数であるような行列 A の最小多項式を p(t) とするとき、A の一般固有空間へのジョルダン分解は p(t)−1 の部分分数分解から導かれる。すなわち、対応する一般固有空間の上への射影は A の実係数多項式として与えられ、各固有空間上で A は上記の通り λ(I + N) の形をしている。固有空間上での平方根の冪級数展開は、A の主平方根が実係数多項式 q(t) に対する q(A) の形をしていることを示すものである。
可逆行列 A に対して、ユニタリ行列 U および正定値行列 P が一意に存在して A = UP と書ける。これを A の極分解と呼ぶ。この正定値行列 P は正定値行列 A*A の主平方根であり、U は U = AP−1 で求まる。
A が可逆でないときでも、適当な方法で P が定まれば(それは一意であり)極分解が定義される。極分解におけるユニタリ作用素 U は一意ではないが、以下のようにして「自然な」ユニタリ行列は求められる: AP+ は A の値域からそれ自身への作用素であり、これは A* の核上自明に延長してユニタリ作用素 U にできるから、この U を極分解に用いればよい。
一般化
有限次元数空間上で行列を考える代わりに、任意のヒルベルト空間上の有界作用素に対して、その平方根を考えることができる。とくに有界半正定値作用素に対して、半正定値な平方根としての主平方根は一意に決まる。あるいは非エルミート平方根に関しても同様に考えることができる。無限次元の場合には、平方根がユニタリ作用素を施す違いを除いて決まるという事実は、作用素が閉値域ならば正しい。非有界作用素に対しては、閉かつ稠密に定義された二つの平方根 A, B に対し部分等方な U で A = UB とできることなどは言える。
Bourbaki, Nicolas (2007), Théories spectrales, chapitres 1 et 2, Springer, ISBN3540353313
Conway, John B. (1990), A Course in Functional Analysis, Graduate Texts in Mathematics, 96, Springer, pp. 199–205, ISBN0387972455, Chapter IV, Reisz functional calculus
Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N. (1976), “The matrix sign function and computations in systems”, Applied Mathematics and Computation2 (1): 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5
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