この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "冪零行列" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2022年3月)

冪零行列（べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix）とは、冪乗して零（零行列）となる正方行列のこと。すなわち、ある自然数 m に対して、

M ^m = O

が成り立つ行列 M をいう。冪零行列は基底の与えられたベクトル空間に対して冪零変換を定める。

• 零行列は冪零行列である。
• ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-1&1\\-1&1\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ はそれぞれ A² = O, B³ = O となる冪零行列である。
• より一般に実数 u, t に対して ${\displaystyle A=u{\begin{bmatrix}-\sin t&1+\cos t\\-1+\cos t&\sin t\end{bmatrix}}}$ は A² = O を満たす冪零行列である。
• 実数 a, b, c に対して、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

の形をした行列は冪零行列である。このような冪零行列全体の集合は、交換子積 ${\displaystyle XY-YX}$ によりリー代数（ハイゼンベルク群のリー代数）になる。

• 冪零行列の固有値は 0 のみである。逆に、固有値が全て 0 である行列は冪零行列である。
• 任意の冪零行列は正則行列でない。
• N が冪零行列なら、単位行列 I に対し (I-N) は正則行列である。一般に、任意のスカラー t に対して

${\displaystyle I-(tN)^{n}=(I-tN)(I+tN+\cdots +(tN)^{n-1})}$

が成り立つので、Nⁿ = O であれば I - tN は正則行列である。

${\displaystyle E_{n}}$ を ${\displaystyle n}$ 次の単位行列として、

${\displaystyle N_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},N_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},N_{3}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}},\cdots ,N_{n}={\begin{bmatrix}0&E_{n-1}\\0&0\end{bmatrix}}}$

と置いたとき、上の行列の幾つかの直和（行列をブロックとして対角線上に並べた区分行列のこと）

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{n_{1}}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &N_{n_{k}}\end{bmatrix}}}$

を冪零行列の標準形という。ここで n₁, ... , n_k は与えられた自然数 s に対して n₁ + ... + n_k = s を満たす自然数である。

標準化の対象になる s 次行列を M としたとき、ρ _r = rank M ^r-1 - rank M ^r と置けば、n_i = p なる i の個数は全部で ρ_p - ρ_p+1 個ある。この ρ_i の値によって作られる冪零行列の標準形は、n_i の順番を除いて一意的である。以下、ρ_iの値に基づく（s次の）標準形を N[ρ₁, …, ρ_s] と書く。また、M の次数を s とすれば、ρ_i の定義から直接に ∑ρ_i = s となるから、次数 s における相異なる標準形の個数は、整数 s を分割する方法の個数である。例えば、次数 4 における標準形は、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{4}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}N_{3}&0\\0&N_{1}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}N_{2}&0\\0&N_{2}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}N_{2}&0&0\\0&N_{1}&0\\0&0&N_{1}\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&0\\0&N_{1}&0&0\\0&0&N_{1}&0\\0&0&0&N_{1}\end{bmatrix}}}$

の 5 つである。この標準形は、それぞれ N[1,1,1,1], N[2,1,1,0], N[2,2,0,0], N[3,1,0,0], N[4,0,0,0] である。一般に N[1, ..., 1] = (N_s), N[s, 0, ..., 0] = O が成立する。

N_n は、冪乗に関して次のような性質を持つ。

${\displaystyle N_{n}^{2}={\begin{bmatrix}0&N_{n-1}\\0&0\end{bmatrix}}}$

• 佐武一郎『線型代数学』裳華房、1974年 ISBN 978-4785313012、pp. 148 - 150、冪零行列の標準形について

• Weisstein, Eric W. "Nilpotent Matrix". mathworld.wolfram.com (英語).

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
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