a の平方根 （へいほうこん、英 : square root ）とは、数 に対して平方 するとa になる数のことである。
複素数 の平方根は、代数学の基本定理 より、0 を除いて2個だけ存在する。
特に実数 の範囲では、正の実数の平方根は、互いに反数 である2個の実数となる。幾何学 的には、正の実数に対する正の平方根は、与えられた正方形 の面積 に対するその一辺の長さのことである。
二乗根 （にじょうこん）、自乗根 （じじょうこん）とも呼ばれる。
0 の平方根は 0 のみであり、平方根が一意に定まるのはこのときに限られる。
任意の a に対して、a の正の平方根の長さは、単位長が与えられれば、定規とコンパスだけで作図 することができる。
数 a に対して、x 2 = a x を a の平方根 という。元の数 a がどのような数の範囲であるかによって、この概念は、意味を持つかどうかということを含め、さまざまな点で差異が生じるということに注意が必要である。
0 0 のみである。元の数 a が正の数である場合は、その平方根は正と負の2つ存在するが、それらの絶対値 は等しい。そのうち正である方 を根号
{\displaystyle {\sqrt {\;}}}
a
{\displaystyle {\sqrt {a}}}
と表す。これは a の「正の （あるいは非負の ）平方根 」（principal square root ; 主平方根）である（文脈上紛れのおそれの無いと思われるときは「正の」を省略することもある）。このとき、他方の「負の平方根」は
− − -->
a
{\displaystyle -{\sqrt {a}}}
± ± -->
a
{\displaystyle \pm {\sqrt {a}}}
9 の平方根は ±3 、すなわち +3 と −3 の2つであり、
9
{\displaystyle {\sqrt {9}}}
3 の方を表す。
0
{\displaystyle {\sqrt {0}}}
0 の唯一の平方根 0 を意味すると約束する。
a ＜0a の平方根は実数 にはならず、2つある平方根を数の大小で区別することはできなくなる。
また、数とは限らず、もっと一般にいくつかの数学的対象についても、それぞれに意味のある仕方で平方根が定義されるものがある（正定値行列 など）。
a が正の整数 でも、a の平方根が整数とは限らない。
元の数が平方数 でない正の整数だと、その平方根は無理数 であることが証明されている。
（例）：
10
=
3.162277660168
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\sqrt {10}}=3.162277660168\cdots }
a > 0, b > 0
a
2
b
=
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=a{\sqrt {b}}}
が成り立つ。例えば、
8
=
2
2
× × -->
2
=
2
2
{\displaystyle {\sqrt {8}}={\sqrt {2^{2}\times 2}}=2{\sqrt {2}}}
12
=
2
2
× × -->
3
=
2
3
{\displaystyle {\sqrt {12}}={\sqrt {2^{2}\times 3}}=2{\sqrt {3}}}
54
=
3
2
× × -->
6
=
3
6
{\displaystyle {\sqrt {54}}={\sqrt {3^{2}\times 6}}=3{\sqrt {6}}}
… である。
したがって特に、正の整数 x が平方因子を持たなければ、
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
有理数の平方 でない正の実数の平方根は、その小数部分が循環しない。その小数表示を効率的に求める方法として、開平法
比較的小さな数の平方根については、概数を知る必要がしばしばあることから、以下のような小数部分の数桁目までの語呂合わせ が知られている。
2
=
1.41421356
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356\cdots }
3
=
1.7320508075
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\sqrt {3}}=1.7320508075\cdots }
5
=
2.2360679
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\sqrt {5}}=2.2360679\cdots }
富士山 麓鸚鵡 鳴く（ふじさんろくおうむなく）
「富士山麓に
5
=
2.236067977
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\sqrt {5}}=2.236067977\cdots }
6
=
2.4494897
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\sqrt {6}}=2.4494897\cdots }
000 ≈ 2.44949 似よ良く良く（によよくよく）、二夜しくしく（によしくしく）
7
=
2.64575
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\sqrt {7}}=2.64575\cdots }
8
=
2
2
=
2.828427
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}=2.828427\cdots }
10
=
3.162277
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\sqrt {10}}=3.162277\cdots }
任意の実数 x
x
2
=
|
x
|
(
=
{
x
(
x
≥ ≥ -->
0
)
− − -->
x
(
x
<
0
)
)
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=|x|\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)}
が成り立つ。
a ＞0b ＞0
a
b
=
a
b
,
a
b
=
a
b
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {ab}}&={\sqrt {a}}{\sqrt {b}},\\{\sqrt {\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\end{aligned}}}
が成り立つ[ 1]
x ≥ 0冪乗 と冪根 について
x
=
(
x
)
2
=
(
x
2
4
)
2
=
(
x
3
6
)
2
=
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle x=\left({\sqrt {x}}\right)^{2}=\left({\sqrt[{4}]{x^{2}}}\right)^{2}=\left({\sqrt[{6}]{x^{3}}}\right)^{2}=\cdots }
が成り立ち、特に
x
1
/
2
:=
x
{\displaystyle x^{1/2}:={\sqrt {x}}}
と定めることは（指数の表示 1 / 2 2 / 4 3 / 6 well-defined で、指数法則 とも整合する。
入力 x に対してその非負の平方根
x
{\displaystyle {\sqrt {x}}}
函数
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
R + ∪ {0}正の平方根函数
∙ ∙ -->
: : -->
R
+
∪ ∪ -->
{
0
}
∋ ∋ -->
x
→
1-1,onto
x
∈ ∈ -->
R
+
∪ ∪ -->
{
0
}
{\displaystyle {\sqrt {\bullet }}\colon \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\ni x\ {\xrightarrow {\text{1-1,onto}}}\ {\sqrt {x}}\in \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}
は（函数として well-defined で）、それ自身への全単射 になる。正の平方根函数のグラフ と負の平方根函数
− − -->
∙ ∙ -->
: : -->
R
+
∪ ∪ -->
{
0
}
∋ ∋ -->
x
→
1-1,onto
− − -->
x
∈ ∈ -->
R
− − -->
∪ ∪ -->
{
0
}
{\displaystyle {-{\sqrt {\bullet }}}\colon \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\ni x\ {\xrightarrow {\text{1-1,onto}}}\ {-{\sqrt {x}}}\in \mathbb {R} ^{-}\cup \{0\}}
のグラフの和集合 は、二次函数 y = x 2 y = x
正の平方根函数のグラフ。これは放物線の半分になっている。 正の平方根函数 √ は連続 かつ x > 0微分可能 であり、導関数 は
d
d
x
x
=
1
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
不定積分 は
∫ ∫ -->
x
d
x
=
2
3
(
x
)
3
+
C
=
2
3
x
3
2
+
C
{\displaystyle \int {\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}}({\sqrt {x}})^{3}+C={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+C}
C で与えられる。また、収束冪級数としての二項展開
1
+
x
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
1
/
2
n
)
x
n
=
1
+
x
2
− − -->
x
2
8
+
⋯ ⋯ -->
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
(
2
n
)
!
(
1
− − -->
2
n
)
(
n
!
)
2
(
4
n
)
x
n
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {1/2}{n}}x^{n}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}}
が |x | < 1 で成り立つ。
x > 0自然数 n に対して帰納的に
f
n
(
x
)
=
x
+
x
+
x
+
x
+
.
.
.
{\displaystyle f_{n}(x)={\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+{\sqrt {x+...}}}}}}}}}
（x および根号の個数は n ）と定めると、函数列 (fn ) は漸化式
f
n
+
1
(
x
)
2
=
x
+
f
n
(
x
)
{\displaystyle f_{n+1}(x)^{2}=x+f_{n}(x)}
に従い、(fn ) は α (x ) > 0α (x )2 − α (x ) − x = 0
lim
n
→ → -->
∞ ∞ -->
f
n
(
x
)
=
x
+
1
4
+
1
2
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\sqrt {x+{\frac {1}{4}}}}+{\frac {1}{2}}}
が成り立つ。
負の数の平方根は実数 でない（つまり虚数 となる）が、虚数単位 i (i 2 = −1)a > 0−a の平方根は
a
A
i
{\displaystyle {\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i}
− − -->
a
A
i
{\displaystyle -{\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i}
x 2 = −a
x
=
± ± -->
a
A
i
{\displaystyle x=\pm {\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i}
[ 2] a > 0
− − -->
a
A
{\displaystyle {\sqrt {-a{\vphantom {A}}}}}
− − -->
a
A
=
a
A
i
{\displaystyle {\sqrt {-a{\vphantom {A}}}}={\sqrt {a{\vphantom {A}}}}i}
で定義する。例えば、−3 の平方根は
3
i
{\displaystyle {\sqrt {3}}i}
− − -->
3
i
{\displaystyle -{\sqrt {3}}i}
x 2 = −3
± ± -->
3
i
{\displaystyle \pm {\sqrt {3}}i}
[ 2]
− − -->
3
=
3
i
{\displaystyle {\sqrt {-3}}={\sqrt {3}}i}
有理数体 Q
Q
∋ ∋ -->
x
↦ ↦ -->
x
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle \mathbb {Q} \ni x\mapsto {\sqrt {x}}\in \mathbb {A} }
において、その値域は（虚数も含めた）代数的数 （の一部）からなる。有理数の平方根が再び有理数となるならば、その有理数は（有理数の範囲での）平方数であるという。有理数内で平方数とならない有理数 d に対して √ d Q √ d 二次体
a が 0 でない複素数 のとき、z 2 = a z は2個存在する。a の極形式 を
a
=
r
e
i
θ θ -->
(
r
>
0
,
− − -->
π π -->
<
θ θ -->
≤ ≤ -->
π π -->
)
{\displaystyle a=re^{i\theta }\ (r>0,\,-\pi <\theta \leq \pi )}
とすると、z の動径の2乗が r 、z の偏角の2倍が θ であるから、
a
=
r
e
i
θ θ -->
/
2
{\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {r}}\,e^{i\theta /2}}
と定義すると、これは a に対して一意に定まり、(√ a 2 = a を満たす。これを a の平方根の主値
C
∋ ∋ -->
z
↦ ↦ -->
z
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle \mathbb {C} \ni z\mapsto {\sqrt {z}}\in \mathbb {C} }
は、実軸の負の部分を除くガウス平面 C 正則 である。しかし実軸の負の部分上では連続 でさえない。これを2枚のガウス平面を実軸の負の部分で張り合わせた平方根函数のリーマン面 上で考えるならば、至る所解析的である。
ガウス平面上の平方根函数を色で示したもの。原点の周りを偏角が正の方向（反時計回り）に回って、実軸の負の部分を跨ぐときもう一枚のガウス平面へ跳ぶ（緑→緑）。
もう一枚のガウス平面上の平方根函数。こちらもやはり原点を正の方向に回ると、実軸の負の部分を境に最初のガウス平面に帰る（紫→紫）。
原点付近での平方根函数のリーマン面（2つのガウス平面を張り合わせたときの様子）z 1/2 z は複素数。
一般に、正方行列 A に対して、X2 =A を満たす正方行列 X を A の平方根行列 と呼び[ 3] √ A A 1 ⁄2 I 2 [ 4] I 2
また、半正定値複素（resp. 実）正方行列 A に対して、A = BB *A = B *B .∗ はエルミート共軛 ）を満たす（正方とは限らない）任意の行列 B をしばしば、 A の非エルミート (resp. 非対称 ) 平方根 (non-Hermitian (resp. symmetric) square root )[ 5] [ 6] B がそれ自身エルミート（実係数の場合は対称）ならば、これは上で述べた平方根の概念と一致する。任意の正定値エルミート行列 P に対し、それ自身正定値エルミートとなる平方根は一意であり、これを主平方根 (unique square root, principal square root)[ 7] √ P P 1/2 [ 8] ユニタリ行列 を掛ける分の不定性を持つ[ 9] ±1 を掛けたものがその平方根のすべてであることと対応している。
このような半正定値行列の平方根の計算および一意性の証明には、エルミート作用素に関するスペクトル論 （固有値分解）や特異値分解 あるいはコレスキー分解 などが利用できる[ 10] [ 11] [ 12]
（可換 ）整域 の各元が二つより多くの平方根を持つことはない。実際、乗法の可換性 により二平方数の差の公式 （英語版 ） u 2 − v 2 = (u − v )(u + v )u, v が同じ元の平方根であるとき u 2 − v 2 = 0零因子 を持たないことから u = v u + v = 0加法逆元 の関係にあることを言っているのだから、すなわち一つの元の平方根は（存在すれば）符号の違いを除いて 一意である。特に、整域において零元 0 の平方根は 0 自身のみである。
標数 2 の可換体 において、各元の平方根は一つ持つ（各元が自身を加法逆元にもつことに注意せよ）か、全く持たないかの何れかとなる（標数 2 の有限体 においては任意の元が一意な平方根を持つ）。それ以外の任意の標数の体においては、先の段落のとおり任意の非零元が二つの平方根を持つか全く持たないかの何れかとなる。
奇素数 p と適当な正整数 e に対し q = p e q -元体 F q 平方剰余 であるとは、その平方根が F q (q − 1)/2 個の元が平方剰余であり、(q − 1)/2 個が非剰余である（零元はいずれのクラスにも属さないことに注意）。平方剰余元の全体は乗法に関して群 を成す。この性質は代数的整数論 において広く用いられる。
一般の環 において、a の平方根 b を b 2 = a
たとえば合同類環 Z /8Z 1 は相異なる四つの平方根を持つ（具体的には ±1, ±3 ）。他方、元 2 は平方根を持たない。詳細は平方剰余 の項を参照されたい。
他の例として四元数 体 H −1 は ±i , ±j , ±k を含む無数の平方根を持つ。実は −1 の平方根の全体はちょうど集合
{
a
i
+
b
j
+
c
k
∣ ∣ -->
a
2
+
b
2
+
c
2
=
1
}
{\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}}
であり、したがって各平方根は絶対値が等しく、この集合は三次元空間内の二次元単位球面 を描く。四元数#−1 の平方根 も参照。
零元 0 の平方根は、定義により、0 自身または零因子 である。四元数体のような可除環 では零因子が存在しないから、一般に 0 の平方根は 0 のみである。しかし、零因子が存在しうる一般の環では必ずしもそうでないことは、反例として任意の自然数 n に対するZ /n 2 Z n は零因子であり、実際に n 2 = 0
^ “NHK高校講座｜数学Ⅱ｜第４章 指数関数と対数関数［指数関数］｜累乗根（１）累乗根とその性質 ”. 2019年9月23日 閲覧。 ^ a b “NHK高校講座｜数学Ⅱ｜第１章 方程式・式と証明［２次方程式］｜複素数１ 〜負の数の平方根〜 ”. 2019年9月23日 閲覧。
^ Higham, Nicholas J. (April 1986). “Newton's Method for the Matrix Square Root” . en:Mathematics of Computation 46 (174): 537–549. doi :10.2307/2007992 . http://www.ams.org/journals/mcom/1986-46-174/S0025-5718-1986-0829624-5/S0025-5718-1986-0829624-5.pdf . ^ Mitchell, Douglas W., "Using Pythagorean triples to generate square roots of I2 ", Mathematical Gazette 87, November 2003, 499–500.
^ Marshall, Albert W.; Olkin, Ingram; Arnold, Barry, Inequalities , https://books.google.co.jp/books?id=I9wfajyOrooC&pg=PA773&dq=%22asymmetric%2Bsquare%2Broot%22 ^ Gentle, James E., Matrix Algebra , https://books.google.co.jp/books?id=PDjIV0iWa2cC&pg=PA194&dq=%22Cholesky+factor%22 ^ Higham, Nicholas J., Functions of Matrices , https://books.google.co.jp/books?id=2Wz_zVUEwPkC&pg=PA20&dq=%22unique%2Bsquare%2Broot%22 ^ Gentle, James E., Matrix Algebra , https://books.google.co.jp/books?id=PDjIV0iWa2cC&pg=PA125&dq=%22Cholesky+factor%22 ^ Lu, Andreas, Practical Optimization , https://books.google.co.jp/books?id=6_2RhaMFPLcC&pg=PA601&dq=%22non-hermitian%2Bsquare%2Broot%22 ^ Higham, Nicholas J., Functions of Matrices , https://books.google.co.jp/books?id=2Wz_zVUEwPkC&pg=PA20&dq=%22spectral%2Bdecomposition%22 ^ Gentle, James E., Matrix Algebra , https://books.google.co.jp/books?id=PDjIV0iWa2cC&pg=PA193&dq=%22nonnegative%2Bdefinite%22 ^ Lange, Kenneth, Numerical Analysis for Statisticians , https://books.google.co.jp/books?id=va4_AAAAQBAJ&pg=PA99&dq=%22unique%22
![{\displaystyle x=\left({\sqrt {x}}\right)^{2}=\left({\sqrt[{4}]{x^{2}}}\right)^{2}=\left({\sqrt[{6}]{x^{3}}}\right)^{2}=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d812b8d0d5f69eed9cc0db560c3a578f6f587a)
