Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

自乗

自然数に対する自乗。

自乗(じじょう)とは、あるを自らと掛ける演算、あるいはその演算結果として得られる数を指す。二乗(にじょう)、平方(へいほう、: square[1]とも呼ばれる。自乗は指数 2冪算に等しいため、自乗は冪算の特殊な場合と見なされる。

自乗が平方と呼ばれるのはその幾何学的な意味に由来する。数を辺の長さによって表現すれば、その数の自乗は自乗される数に等しい辺の長さを持つ正方形面積を与える。

記法

専用の記法はなく、乗算の記法や冪算の記法が用いられる。例えば、数 x の自乗は xx または x2 と表される。

性質

整冪一般の性質

  • 自乗は自然数整数実数複素数に対し閉じている。つまり、自然数の自乗は自然数、……(以下同様)である。
  • の自乗は自乗の積・商である。
  • 指数関数の自乗は元の数の2倍の指数関数である。正の実数の自乗の対数は対数の2倍である。
  • の自乗は、二項係数を係数に持つ多項式で表される。
  • 複素数の自乗は、絶対値も自乗になり、偏角は2倍になる。
    導出:
  • 0のみが自乗して0となる。

自乗に特有の性質

  • 反数の自乗は元の数の自乗に等しい。つまり、関数としての自乗(二次関数)は偶関数である。
  • 実数の自乗は非負の実数である。また、0 のみが自乗が 0 となるので、0以外の実数の自乗は正の実数である。
    (等号は の場合のみ)
  • 平方根定義より、平方根の自乗は元の数である。ただし、自乗の平方根は(非 0 の平方根は 2 つあるため)元の数とは限らない。
  • 単位関数を積分すると自乗の半分となる。

自然数の自乗の性質

自然数の自乗は平方数と呼ばれる。

応用

  • 正方形面積は、長さの自乗である。一般に、面積はある長さの自乗に比例する形で表すことができる。
  • 比例関数を積分すると自乗の比例となることから、積分を暗黙に含む物理現象の公式には自乗が現れる。
  • 関数としての自乗は、偶関数x ≥ 0単調増加かつ x ≤ 0 では単調減少、最小値f (0) = 0x = 0 を含むあらゆる点で無限回微分可能、という性質を持ち、これらは偏差誤差を扱うのに便利な性質である。分散最小二乗法などは自乗を使っているが、仮に自乗以外の関数を使った場合、算出や応用がはるかに困難になる。

行列の自乗

行列に対しても、自乗は自らとの積として定義される。ただし、行列の乗算では左オペランドの列数と右オペランドの行数が一致しなければならないので、行列の自乗は正方行列に対してのみ定義できる。

自乗して 0 になるのは 0 のみであるのに対し、自乗して零行列 O になるのは零行列とは限らず、任意の x, y に対し

が成り立つ。なお、零行列に何をかけても零行列なので、この形の行列は自乗に限らず 2 以上の何乗しても零行列である。

コンピュータでの自乗

ほとんどのプロセッサは自乗専用の命令を持たず、自乗は乗算命令で実現される。

数学的には、自乗を指数を 2 とする冪関数を用いて計算しても、単純に定義通り乗算を行っても得られる結果は同じである。しかしながら、前者は指数関数対数関数を計算する必要があるのに対して(これらの計算はテイラー展開を基礎に行われる)、後者は 1 回の乗算をするだけで済む。計算速度を重視する上で、自乗の計算を行う機会は非常に多いため、冪の計算について自乗で置き換えられる部分については可能な限り単純な乗算をするように実装することが好ましい。このような事情から、計算速度の最適化を目的とする冪関数自身の実装や冪関数を含むプログラムのコンパイラの実装では、「数 x の指数 2 の冪乗」は「数 xx 自身の乗算」に置き換えられるようになっていることが多い。

脚注

関連項目

Read more information:

Duchess of Brunswick-Lüneburg Dorothea of LorraineDuchess of Brunswick-LüneburgBorn(1545-05-24)24 May 1545Château de Deneuvre, Deneuvre, LorraineDied2 June 1621(1621-06-02) (aged 76)Nancy, LorraineSpouseEric II, Duke of Brunswick-LüneburgMarc de Rye, Marquis de VarambonHouseLorraineFatherFrancis I, Duke of LorraineMotherChristina of Denmark Dorothea of Lorraine or Dorothée de Lorraine (24 May 1545 – 2 June 1621), was by birth a member of the House of Lorraine and by marriage to Eric …

明海大学 浦安キャンパス大学設置/創立 1970年学校種別 私立設置者 学校法人明海大学本部所在地 千葉県浦安市明海1丁目北緯35度38分41.92秒 東経139度55分12.64秒 / 北緯35.6449778度 東経139.9201778度 / 35.6449778; 139.9201778座標: 北緯35度38分41.92秒 東経139度55分12.64秒 / 北緯35.6449778度 東経139.9201778度 / 35.6449778; 139.9201778キャンパス 浦安キャンパス(千

Artikel utama: Sejarah militer Persemakmuran Inggris pada Perang Dunia Kedua Gurkhas melaju dengan tank-tank untuk membersihan pasukan Jepang dari jalan Imphal-Kohima di Burma Setelah invasi Polandia oleh Jerman, Kerajaan Nepal mendeklarasikan perang terhadap Jerman pada 4 September 1939. Saat Jepang memasuki konflik tersebut, enam belas batalion Angkatan Darat Kerajaan Nepal bertarung di front Burma. Selain dukungan militer, Nepal menyumbangkan meriam, peralatan serta ribuan pound teh, gula dan…

комуна Хороднік-де-ЖосHorodnic de Jos Країна  Румунія Повіт  Сучава Поштові індекси 727301 Телефонний код +40 230 (Romtelecom, TR)+40 330 (інші оператори) Координати 47°51′39″ пн. ш. 25°49′57″ сх. д.H G O Висота 417 м.н.р.м. Площа 25,32 км² Населення 2512[1] (2009) Розташування Розташування комун…

Село Вендроґувпол. Wędrogów Координати 51°53′ пн. ш. 20°24′ сх. д. / 51.883° пн. ш. 20.400° сх. д. / 51.883; 20.400Координати: 51°53′ пн. ш. 20°24′ сх. д. / 51.883° пн. ш. 20.400° сх. д. / 51.883; 20.400 Країна ПольщаПольщаВоєводство Лодзинське воєво

بونتسهو مولوي معلومات شخصية الميلاد 28 نوفمبر 1981 (العمر 42 سنة)غابورون  الطول 1.68 م (5 قدم 6 بوصة) مركز اللعب مهاجم الجنسية بوتسوانا  المسيرة الاحترافية1 سنوات فريق م. (هـ.) 2004–2007 نادي نوتوان [الإنجليزية]‏ 45(13) (13) 2007– موتشودي سنتر تشيفز 88(11) (31) 2009–2010 → Bay United F.C. [

Планета Ка-ПЕКСK-PAX Жанр фантастикадрамаРежисер Ієн СофтліПродюсер Роберт Ф. КоулсберріЛоуренс ҐордонЛлойд ЛевінСценарист Чарльз ЛівіттНа основі роману Джіна БрювераУ головних ролях Кевін СпейсіДжефф БріджесОператор Джон МетісонКомпозитор Ед ШермурМонтаж Крейґ Макке…

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (نوفمبر 2018) فرانز ماريستشكا معلومات شخصية الميلاد 2 يوليو 1918[1][2]  الوفاة 18 فبراير 2009 (90 سنة) [1][2]  ميونخ  مواطنة النمسا  الأب هوبير ماريستشكا 

Aktivitas pengarsipan Arsip Indenpenden adalah lembaga non pemerintah yang melakukan pengarsipan sebuah objek tanpa ada campur tangan pihak pemerintahan, biasanya Arsip Indenpenden dikelola secara perorangan maupun berkelompok dengan biaya swadaya atau mandiri. Di Indonesia terdapat kelompok atau komunitas yang melakukan pengarsipan sebagai berikut: Arsip Jogja berlokasi di Yogyakarta, fokus pada arsip-arsip yang terkait dengan sejarah panjang Yogyakarta dari era Panembahan Senopati hingga yang …

يو-434 الجنسية  ألمانيا النازية الشركة الصانعة شيتشاو-فيرك[1][2][3][4]  المالك  كريغسمارينه المشغل كريغسمارينه (24 مايو 1941–)[1][3][4]  المشغلون الحاليون وسيط property غير متوفر. المشغلون السابقون وسيط property غير متوفر. التكلفة وسيط property غير متوفر. منظ

حي المجمع الصناعي  - حي -  تقسيم إداري البلد  اليمن المديرية مديرية الوحدة المدينة العاصمة صنعاء خصائص جغرافية إحداثيات 15°20′22″N 44°10′54″E / 15.339361°N 44.181733°E / 15.339361; 44.181733 السكان التعداد السكاني 2004 السكان 8٬211 معلومات أخرى التوقيت توقيت اليمن (+3 غرينيتش) ت…

Sufi tradition in Jordan Part of a series onIslam Beliefs Oneness of God Prophets Revealed Books Angels Day of Resurrection Predestination Practices Profession of Faith Prayer Almsgiving Fasting Pilgrimage TextsFoundations Quran Sunnah (Hadith, Sirah) Tafsir (exegesis) Aqidah (creed) Qisas al-Anbiya (Stories of the Prophets) Mathnawi (Poems) Fiqh (jurisprudence) Sharia (law) History Timeline Muhammad Ahl al-Bayt Sahabah Rashidun Caliphate Imamate Medieval Islamic science Spread of Islam Successi…

Thane Plaats in India Situering Staat Maharashtra District Thane Coördinaten 19° 11′ NB, 72° 58′ OL Algemeen Inwoners (2001[1]) 1.261.517 Overig Netnummer(s) 022 Foto's Portaal    India Thane (Marathi: ठाणे) is een stad in de Indiase staat Maharashtra. De stad is de grootste voorstad van Mumbai, de grootste stad van India. Thane is gelegen op het eiland Salsette, is het bestuurlijke centrum van het gelijknamige district Thane en heeft 1.261.517 inwoners (…

1999 single by Gary BarlowLie to MeSingle by Gary Barlowfrom the album Twelve Months, Eleven Days B-sideI Hate It This WayPut Your Trust in MeReleased6 December 1999 (withdrawn)RecordedOctober–November 1998GenrePopLength3:42 (radio edit) 5:32 (album version)LabelSony BMGSongwriter(s)Gary BarlowProducer(s)Gary BarlowGary Barlow singles chronology For All That You Want (1999) Lie to Me (1999) Shame (2010) Lie to Me is a song by British singer-songwriter Gary Barlow from his second studio album, …

Ingang gevangenis van Sint-Gillis, Brussel De gevangenissen in België zijn federale instellingen. België telt zesendertig gevangenissen en drie gesloten jeugdcentra. Het directoraat-generaal Penitentiaire Inrichtingen (DG EPI) is deel van de Federale Overheidsdienst Justitie en is belast met de tenuitvoerlegging van de straffen. De Regie der Gebouwen is dan weer bevoegd voor het bouwen en onderhouden van de gevangenisgebouwen zelf. In elke provincie bevindt zich ten minste één gevangenis. Ge…

TosariKecamatanTosariPeta lokasi Kecamatan TosariTampilkan peta Surabaya dan MalangTosariTosari (Kabupaten Pasuruan)Tampilkan peta Kabupaten PasuruanTosariTosari (Provinsi Jawa Timur)Tampilkan peta Provinsi Jawa TimurTosariTosari (Jawa)Tampilkan peta JawaTosariTosari (Indonesia)Tampilkan peta IndonesiaKoordinat: 7°53′25″S 112°54′16″E / 7.8902604°S 112.9044285°E / -7.8902604; 112.9044285Koordinat: 7°53′25″S 112°54′16″E / 7.8902604°S 1…

Video game genre CRPG redirects here. For the sub-component of the Canadian Forces reserve, see Canadian Rangers. For Chinese role-playing games, see History of Eastern role-playing video games § China. A party of characters approaching a monster in Legend of Grimrock (2012) Part of a series onRole-playing video games Subgenres Action RPG Soulslike Dungeon crawl Monster-taming MUD MMORPG Roguelike Tactical RPG Topics Social interaction in MMORPGs Character creation Dialogue tree GNS theory…

Provider of voice and data network communications Windstream Holdings, Inc.TypePrivateIndustryTelecommunicationsFounded2006; 17 years ago (2006)HeadquartersLittle Rock, Arkansas, U.S.Key peopleAnthony W. Thomas (President & CEO)ProductsAdvanced Network Communications, including Cloud Computing and Managed Services to businesses nationwide. Broadband, Phone and Digital TV to consumers primarily in rural areas.Revenue US$5.115 billion (2019)[1]Operating income US$W…

У этого термина существуют и другие значения, см. Михайловское. ДеревняМихайловское 56°26′17″ с. ш. 31°34′31″ в. д.HGЯO Страна  Россия Субъект Федерации Тверская область Муниципальный район Торопецкий Община Речанское сельское поселение История и география Тип кл…

2017 film by Ranjith Puthan PanamFirst Look Poster Of The FilmDirected byRanjithWritten byRanjithP. V. ShajikumarProduced byRanjithAbraham MathewArun NarayananStarringMammoottySwaraj GramikaCinematographyOm PrakashEdited byManoj KannothMusic bySongs:Shaan RahmanScore:Achu RajamaniProductioncompanyThree Colour Cinema CinemaDistributed byPhars Films, Tricolor Entertainment & Popcorn EntertainmentsRelease date 12 April 2017 (2017-04-12) CountryIndiaLanguageMalayalamBox office₹8…

Kembali kehalaman sebelumnya

Lokasi Pengunjung: 44.199.212.254