5の平方根

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BARBEE BOYSのアルバムについては「√5 (アルバム)」をご覧ください。
過去にグループ名が√5であった音楽グループについては「ROOT FIVE」をご覧ください。

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直角三角形のうち、直角の一辺が1、片方の直角の一辺が2だと、斜線の一辺が ${\sqrt {5}}$ になる。

5の平方根（ごのへいほうこん）は、平方して 5 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

{\sqrt {5}}

と書き、「ルート5」と読む。また、負の平方根は

-{\sqrt {5}}

である。以下、正の平方根について記述する。

${\sqrt {5}}$ は無理数であることが知られており、したがって小数部分は循環しない。オンライン整数列大辞典によると、十進法表示の小数点以下98桁までは以下の通りである^[1]。

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 70897 24541 05209 25637 80489 94144 14408 37878 227\dots

語呂合わせでは「富士山麓オウム鳴く（ふじさんろくおうむなく）」などがある。

性質

${\sqrt {5}}$ は代数的整数である。 ${\sqrt {5}}$ の有理数体 $\mathbb {Q}$ 上の既約多項式は $x 2 - 5$ である。
${\sqrt {5}}$ の連分数表示は

{\sqrt {5}}=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}

となる。

黄金比に ${\sqrt {5}}$ が登場する。具体的には

1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}

で表される。

フィボナッチ数列の一般項に現れる。

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}

で表される。

脚注

^ オンライン整数列大辞典の数列 A002163 2009年10月21日閲覧

関連項目

表話編歴代数的数
代数的整数チェビシェフ分点（英語版）作図可能数コンウェイの定数（英語版） ( $λ$ ) アイゼンシュタイン整数ガウス整数黄金数 ( $φ$ ) クンマー環ペロン数（英語版）ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数（英語版）二次の無理数（英語版）有理数 ( $\mathbb {Q}$ ) 1の冪根サレム数白銀比 ( $δ S$ ) プラスチック数 ( $ρ$ ) $\sqrt 2$ $\sqrt 3$ $\sqrt 5$ $\sqrt 6$ $\sqrt 7$ $\sqrt 10$ $3 \sqrt 2$ $12 \sqrt 2$		$ℚ$
カテゴリ

外部リンク

5の平方根の近似値（100万桁）2015年3月30日閲覧