2の12乗根（2の12じょうこん）![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc835f27425fb3140e1f75a5faa35b1e8b9efc35)
は、代数的無理数である。音楽理論において非常に重要であり、十二平均律における半音の周波数比を表す。歴史的にこの数はシモン・ステヴィンによって1580年（草稿、1610年に書き直し）に調律との関連で初めて提唱された[1]。
数値
有効数字20桁の2の12乗根は1.0594630943592952646[2][3][4]である。正則連分数展開[5]によるディオファントス近似は1, 17⁄16, 18⁄17, 89⁄84, 196⁄185, 1461⁄1379, 1657⁄1564, 3118⁄2943, 7893⁄7450, 18904⁄17843 ...
[6][7]である。
平均律の半音階
音程は周波数の比であるため、平均律の半音階はオクターブ（2:1の周波数比）を12等分する。
この値を中央ハ（C）の上のイ（A）音（440 Hzの周波数を持ち、A4と呼ばれる）から始まる半音階の音に連続的に適用することで、以下の音高列が得られる。
| 音
|
周波数
(Hz)
|
乗数
|
係数
（8桁まで）
|
近似比
|
| A |
440.000000 |
20⁄12 |
1.00000000
|
1
|
| A♯/B♭ |
466.163762 |
21⁄12 |
1.05946309
|
≈ 16⁄15
|
| B |
493.883301 |
22⁄12 |
1.12246205
|
≈ 9⁄8
|
| C |
523.251131 |
23⁄12 |
1.18920712
|
≈ 6⁄5
|
| C♯/D♭ |
554.365262 |
24⁄12 |
1.25992105
|
≈ 5⁄4
|
| D |
587.329536 |
25⁄12 |
1.33483985
|
≈ 4⁄3
|
| D♯/E♭ |
622.253967 |
26⁄12 |
1.41421356
|
≈ 7⁄5
|
| E |
659.255114 |
27⁄12 |
1.49830708
|
≈ 3⁄2
|
| F |
698.456463 |
28⁄12 |
1.58740105
|
≈ 8⁄5
|
| F♯/G♭ |
739.988845 |
29⁄12 |
1.68179283
|
≈ 5⁄3
|
| G |
783.990872 |
210⁄12 |
1.78179744
|
≈ 9⁄5
|
| G♯/A♭ |
830.609395 |
211⁄12 |
1.88774863
|
≈ 15⁄8
|
| A |
880.000000 |
212⁄12 |
2.00000000
|
2
|
最後のA（A5: 880 Hz）は低い方のA（A4: 440 Hz）の厳密に2倍の周波数を持つ。つまり1オクターブ高い。
歴史
1636年にフランスの数学者マラン・メルセンヌによって計算された。
出典
推薦文献
- Barbour, J. M. (1933). “A Sixteenth Century Approximation for π”. American Mathematical Monthly 40 (2): 69–73. doi:10.2307/2300937. JSTOR 2300937.
- Ellis, Alexander; Helmholtz, Hermann (1954). On the Sensations of Tone. Dover Publications. ISBN 0-486-60753-4
- Partch, Harry (1974). Genesis of a Music. Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X
関連項目
