Проєкція п'ятикомірника в тривимірний простір Стереографічна проєкція п'ятикомірникаП'ятикомірник [ 1] пентахор [ 2] дав.-гр. πέντε — «п'ять» і χώρος — «місце, простір»), — один з правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі : правильний чотиривимірний симплекс .
Відкритий Людвігом Шлефлі в середині 1850-х років[ 3] Символ Шлефлі п'ятикомірника — {3,3,3}.
Є двоїстим сам собі. На відміну від п'яти інших правильних багатокомірників , не має центральної симетрії .
Використовується у фізико-хімічному аналізі для вивчення властивостей багатокомпонентних систем[ 4]
Обмежений 5 тривимірними комірками — однаковими правильними тетраедрами . Будь-які дві комірки — суміжні; кут між ними дорівнює
arccos
1
4
≈ ≈ -->
75
,
52
∘ ∘ -->
.
{\displaystyle \arccos \,{\frac {1}{4}}\approx 75{,}52^{\circ }.}
Його 10 двовимірних граней — однакові правильні трикутники . Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.
Має 10 ребер рівної довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані й по 3 комірки.
Має 5 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней і по 4 комірки. Будь-які 2 вершини з'єднані ребром; будь-які 3 вершини належать одній грані; будь-які 4 вершини належать одній комірці.
П'ятикомірник можна розглядати як правильну чотиривимірну піраміду з тетраедричною основою.
П'ятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати
(
1
;
1
;
1
;
0
)
,
{\displaystyle (1;1;1;0),}
(
1
;
− − -->
1
;
− − -->
1
;
0
)
,
{\displaystyle (1;-1;-1;0),}
(
− − -->
1
;
1
;
− − -->
1
;
0
)
,
{\displaystyle (-1;1;-1;0),}
(
− − -->
1
;
− − -->
1
;
1
;
0
)
,
{\displaystyle (-1;-1;1;0),}
(
0
;
0
;
0
;
5
)
.
{\displaystyle (0;0;0;{\sqrt {5}}).}
При цьому точка
(
0
;
0
;
0
;
5
5
)
{\displaystyle \left(0;0;0;{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)}
тривимірних гіперсфер .
У п'ятивимірному просторі можливо розмістити п'ятикомірник так, щоб усі його вершини мали цілі координати:
(
1
;
0
;
0
;
0
;
0
)
,
{\displaystyle (1;0;0;0;0),}
(
0
;
1
;
0
;
0
;
0
)
,
{\displaystyle (0;1;0;0;0),}
(
0
;
0
;
1
;
0
;
0
)
,
{\displaystyle (0;0;1;0;0),}
(
0
;
0
;
0
;
1
;
0
)
,
{\displaystyle (0;0;0;1;0),}
(
0
;
0
;
0
;
0
;
1
)
.
{\displaystyle (0;0;0;0;1).}
Центром вписаної, описаної і напіввписаної гіперсфер при цьому буде точка
(
1
5
;
1
5
;
1
5
;
1
5
;
1
5
)
.
{\displaystyle \left({\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}}\right).}
Якщо п'ятикомірник має ребро довжини
a
,
{\displaystyle a,}
V
4
=
5
96
a
4
≈ ≈ -->
0,023
2924
a
4
,
{\displaystyle V_{4}={\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\ \approx 0{,}0232924a^{4},}
S
3
=
5
2
12
a
3
≈ ≈ -->
0,589
2557
a
3
.
{\displaystyle S_{3}={\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;a^{3}\approx 0{,}5892557a^{3}.}
Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому буде дорівнює
R
=
10
5
a
≈ ≈ -->
0,632
4555
a
,
{\displaystyle R={\frac {\sqrt {10}}{5}}\;a\approx 0{,}6324555a,}
радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) —
ρ ρ -->
1
=
15
10
a
≈ ≈ -->
0,387
2983
a
,
{\displaystyle \rho _{1}={\frac {\sqrt {15}}{10}}\;a\approx 0{,}3872983a,}
радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх граней у їхніх центрах) —
ρ ρ -->
2
=
15
15
a
≈ ≈ -->
0,258
1989
a
,
{\displaystyle \rho _{2}={\frac {\sqrt {15}}{15}}\;a\approx 0{,}2581989a,}
радіус вписаної гіперсфери (дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) —
r
=
10
20
a
≈ ≈ -->
0,158
1139
a
.
{\displaystyle r={\frac {\sqrt {10}}{20}}\;a\approx 0{,}1581139a.}
Іноді словом «п'ятикомірник» може позначатися не тільки правильний, але й довільний чотиривимірний симплекс .
