Knuths pilnotation (symbol ↑) är en matematisk metod som gör det möjligt att beskriva mycket stora heltal. Metoden introducerades av Donald Knuth 1976 och är starkt relaterad till Ackermanntalen. Idén bygger på upprepade exponenter på samma sätt som exponenter är upprepade multiplikationer, och multiplikationer är upprepad addition. Knuth nöjde sig dock inte med att bara skapa en operator för nästa nivå, utan skapade även ett generellt skrivsätt för att täcka alla efterföljande nivåer.
Introduktion
Multiplikation med naturliga tal kan definieras som upprepad addition:
Till exempel,
Exponenter för ett naturligt tal kan definieras som upprepad multiplikation:
Till exempel,
Detta inspirerade Knuth att definiera en "dubbelpiloperator" för upprepade exponenter, eller tetraering:
Till exempel,
Notationen utförs från höger till vänster (en så kallad höger-associativ operator):
Enligt denna definition,
- (att skriva ut detta tal på vanligt sätt skulle kräva ungefär 1,37 terabyte lagringsutrymme, dvs bitar)
- etc.
Redan detta ger mycket stora tal, men Knuth utökade notationen. Han definierade en trippelpil-operator för upprepade användningar av "dubbelpil-operatorn" (även känd som pentaering):
följt av en fyrfaldig piloperator:
och så vidare. Den generella regeln är att en -piloperator expanderas till en serie av ()-piloperatorer. Symboliskt uttryckt,
Exempel:
Användningsområden för Knuths piloperator rör sig främst kring rent matematiska tillämpningar. Inom matematiken är operatorn ett effektivt sätt att beskriva snabbt växande funktioner som exempelvis Ackermannfunktionen. Piloperatorn används också för att beskriva Grahams tal.