Steinhaus–Mosers notation är ett sätt inom matematiken att uttrycka extremt stora tal. Notationen är uppkallad efter Hugo Steinhaus och Leo Moser. Det är en utökning av Steinhaus polygonnotation (se nedan).

, talet n i en triangel, betyder nⁿ, det vill säga n upphöjt till n.

, talet n i en kvadrat, betyder "talet n inuti n stycken trianglar".

, talet n i en femhörning, betyder "talet n inuti n stycken kvadrater".

Detta går att generalisera till godtycklig månghörning, så att n skrivet i en (m+1)-hörning är ekvivalent med "talet n inuti n stycken m-hörningar".

Exempel, talet 2 i en kvadrat är det samma som talet 2 i två trianglar, det vill säga

${\displaystyle \left(2^{2}\right)^{\left(2^{2}\right)}=4^{4}=256}$.

I Steinhaus polygonnotation är endast triangeln, kvadraten och en cirkel, , definierade. Cirkeln är ekvivalent med femhörningen ovan.

Steinhaus definierade:

• "mega" är talet 2 i en cirkel:
• "megiston" är talet 10 i en cirkel:

Mosers tal är talet "2 i en megagon", där en "megagon" är en "megahörning", dvs en månghörning med "mega" stycken sidor.

• Använd funktionerna square(x) och triangle(x)
• låt M(n,m,p) vara talet som representeras av talet n i en m-nästlad p-hörning; sedan följer:
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M{\big (}M(n,1,p),m,p{\big )}}$

och

• • mega = ${\displaystyle M(2,1,5)}$
  • moser = ${\displaystyle M{\big (}2,1,M(2,1,5){\big )}}$

Notera att är redan det ett mycket stort tal, eftersom = square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) = square(triangle(2²)) = square(triangle(4)) = square(4⁴) = square(256) = triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 trianglar] = triangle(triangle(triangle(...triangle(256²⁵⁶)...))) [255 trianglar] = triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 × 10⁶¹⁶)...))) [254 trianglar] = ...

Eller med den alternativa notationen:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

Med funktionen ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ har vi mega = ${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$ där exponenten representerar en funktionsexponent, inte en numerisk exponent.

Vi har (observera konventionen att exponenter räknas från höger till vänster):

• M(256,2,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• M(256,3,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$≈${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

På samma sätt:

• M(256,4,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• M(256,5,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

osv.

Således:

• mega = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$, där ${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$ betecknar en funktionsexponent av funktionen ${\displaystyle f(n)=256^{n}}$.

Om vi avrundar lite mer grovt, (ersätter 257 i slutet av 256), får vi mega ≈ ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$, (här används Knuths pilnotation).

Observera att efter de första stegen så är värdet av ${\displaystyle n^{n}}$ varje gång ungefär lika med ${\displaystyle 256^{n}}$. Faktum är att det är även ungefär lika med ${\displaystyle 10^{n}}$. Genom att använda exponenter med basen 10 får vi:

• ${\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$ (${\displaystyle \log _{10}616}$ är adderat med 616)
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$ (${\displaystyle 619}$ är adderat ${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$, vilket är försumbart; därför är bara 10 adderat på slutet)

• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}$

...

• mega = ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}$, där ${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$ betecknar en funktionsexponent av funktionen ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$. Alltså gäller ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\mbox{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$

Det har bevisats att Mosers tal, trots att det är extremt stort, är mindre än Grahams tal.

Därför, med Conways kedjepilsnotation,

${\displaystyle {\mbox{moser}}<3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2}$