Utökade reella tallinjen är ett begrepp inom matematik. Det är den reella tallinjen med två extra punker: en "negativ" och en "positiv oändlighet" med beteckningarna ${\displaystyle -\infty }$ och ${\displaystyle \infty }$. Utökade reella tallinjen är viktig till exempel inom måtteori och integrationsteori.

Låt ${\displaystyle \mathbb {R} }$ vara reella tallinjen. Utökade reella tallinjen är en mängd

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{\infty \},}$

där punkerna ${\displaystyle -\infty }$ och ${\displaystyle \infty }$ uppfyller följande:

• ${\displaystyle -\infty <a<\infty }$ för alla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle -(\infty )=-\infty }$ och ${\displaystyle -(-\infty )=\infty }$
• ${\displaystyle \infty +\infty =\infty }$ och ${\displaystyle \infty \cdot \infty =\infty }$
• ${\displaystyle a\cdot \infty =\infty \cdot a=\infty }$ för alla ${\displaystyle a>0\,}$
• ${\displaystyle a(-\infty )=(-\infty )a=-\infty }$ för alla ${\displaystyle a>0\,}$
• ${\displaystyle a\cdot \infty =\infty \cdot a=-\infty }$ för alla ${\displaystyle a<0\,}$
• ${\displaystyle a(-\infty )=(-\infty )a=\infty }$ för alla ${\displaystyle a<0\,}$
• ${\displaystyle a+\infty =\infty +a=\infty }$ för alla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \infty -a=\infty }$ för alla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle a-\infty =-\infty }$ för alla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle {\frac {a}{\infty }}=0}$ för alla ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$
• ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty }$ för alla ${\displaystyle a>0\,}$
• ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=-\infty }$ för alla ${\displaystyle a<0\,}$

Ibland, till exempel inom måtteori, definieras även:

• ${\displaystyle 0\cdot \infty =\infty \cdot 0=0}$ och ${\displaystyle 0\cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot 0=0.}$

Uttrycken

• ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$, ${\displaystyle {\frac {\infty }{0}}}$, ${\displaystyle {\frac {0}{\infty }}}$, ${\displaystyle \infty -\infty }$ och ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

är inte definierade i ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$.

• Det går att visa att paret ${\displaystyle ({\overline {\mathbb {R} }},\leq )}$ är en ordnad mängd.

• Måtteori
• Integrationteori