Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений, позволяющий вычислять численные значения наблюдаемых в квантовой механике величин. Были созданы Луи де-Бройлем^[1] (открытие волн материи), В. Гейзенбергом^[2] (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером^[3] (уравнение Шрёдингера), Н. Бором^[4] (формулировка принципа дополнительности). Завершил создание математических основ квантовой механики и придал им современную форму П. А. М. Дирак^[5][6]. Отличительным признаком математических уравнений квантовой механики является наличие в них символа постоянной Планка.

В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния.

Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряжёнными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве (пространстве состояний)^[7]. Каждой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор или матрица. Например, радиусу-вектору частицы ${\displaystyle x}$ соответствует оператор умножения ${\displaystyle x}$, импульсу частицы соответствует оператор ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla }$, моменту импульса соответствует оператор

${\displaystyle \hbar {\hat {L}}={\hat {x}}\times {\hat {p}}=-i\hbar \times \nabla .}$

Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции).^[7]

Волновые функции удовлетворяют квантовому принципу суперпозиции: если два возможных состояния изображаются волновыми функциями ${\displaystyle \psi _{1}}$ и ${\displaystyle \psi _{2}}$, то существует и третье состояние, изображаемое волновой функцией

${\displaystyle \psi =c_{1}\psi _{1}+c_{2}\psi _{2},}$

где ${\displaystyle c_{1}}$ и ${\displaystyle c_{2}}$ -произвольные амплитуды^[8].

Результатом точного измерения физической величины ${\displaystyle A}$ могут быть только собственные значения этого оператора ${\displaystyle {\widehat {A}}}$.^[7]

Математическое ожидание ${\displaystyle {\overline {A}}}$ значений величины ${\displaystyle A}$ в состоянии ${\displaystyle \psi }$ вычисляется как ${\displaystyle {\overline {A}}=(\psi ,{\widehat {A}}\psi )}$. Здесь круглые скобки означают скалярное произведение векторов (в матричном представлении — диагональный матричный элемент).^[7]

Векторы состояний ${\displaystyle \psi _{1}}$ и ${\displaystyle \psi _{2}}$ описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \psi _{2}=c\psi _{1},}$ где ${\displaystyle c}$ — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор^[9]. Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины ${\displaystyle A}$ в состоянии ${\displaystyle \psi }$ задаются мерой^[10]:

${\displaystyle dm_{{\widehat {A}},\psi }(a)=d(E_{a}\psi ,\psi ),}$

где ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ — самосопряжённый оператор, отвечающий наблюдаемой величине ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \psi }$ — вектор состояния, ${\displaystyle E_{a}}$ — спектральная функция оператора ${\displaystyle {\widehat {A}}}$, круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию

${\displaystyle \psi \rightarrow U\psi ,A\rightarrow UAU^{-1}.}$

В этом случае любая имеющий смысл физическая величина ${\displaystyle (A\psi ,\psi )}$ не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).

Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов ${\displaystyle A_{i},i=1,...k}$ образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности (${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=0}$ для всех ${\displaystyle i,j=1,...k}$), взаимной независимости (ни один из операторов ${\displaystyle A_{i}}$ не может быть представлен в виде функции от остальных), полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми ${\displaystyle A_{i}}$ и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций ${\displaystyle \psi (a_{1},...a_{k})}$ со скалярным произведением:

${\displaystyle (\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(a_{1},...a_{k}){\overline {\psi _{2}(a_{1},...a_{k})}}d\mu (a_{1},...a_{k}).}$

Операторы ${\displaystyle A_{i}}$ являются операторами умножения на соответствующие переменные:

${\displaystyle A_{i}\psi (a_{1},...a_{k})=a_{i}\psi (a_{1},...a_{k}).}$

Совместное распределение значений наблюдаемых:

${\displaystyle P(a_{1},...a_{k})=\left|\psi (a_{1},...a_{k})\right|^{2}d\mu (a_{1},...a_{k}).}$

В случае частицы в трёхмерном пространстве ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ наблюдаемыми величинами являются координаты ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}}$ и импульсы ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$.

В представлении Шрёдингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции ${\displaystyle \psi (x)}$ со скалярным произведением:

${\displaystyle (\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(x){\overline {\psi _{2}(x)}}dx.}$

Операторы координат представляют собой операторы умножения:

${\displaystyle {\widehat {x_{j}}}\psi (x)=x_{j}\psi (x),j=1,2,3.}$

Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:

${\displaystyle {\widehat {p_{j}}}\psi (x)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\psi (x),j=1,2,3.}$

Операторы декартовых координат ${\displaystyle {\widehat {x_{i}}}}$ и операторы импульсов ${\displaystyle {\widehat {p_{i}}}}$ удовлетворяют соотношениям коммутации:

${\displaystyle \left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=-i\hbar \delta _{ik},}$

${\displaystyle \left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {p_{k}}}\right]=0,}$

${\displaystyle \left[{\widehat {x_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=0.}$

Здесь ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка.^[7]

Матричные элементы операторов декартовых координат ${\displaystyle {\widehat {x_{i}}}}$ и операторов импульсов ${\displaystyle {\widehat {p_{i}}}}$ удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {p_{i}}}g)=-(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {x_{i}}}}}g),}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {x_{i}}}g)=(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {p_{i}}}}}g).}$

Здесь ${\displaystyle {\widehat {H}}}$ — оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.^[7]

Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шрёдингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi ,}$

где ${\displaystyle {\hat {H}}}$ — гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }x}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }y}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }z}^{2}}}\right)}+{{\hat {E}}_{\rm {pot}}}.}$

Стационарные, то есть не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шрёдингера:

${\displaystyle {{\hat {H}}{\psi }}={E{\psi }}.}$

При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно^[11]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.

В любой паре одинаковых элементарных частиц можно поменять местами элементарные частицы без возникновения физически нового состояния. Математически принцип тождественности означает условие на собственные значения ${\displaystyle \lambda =\pm 1}$ оператора перестановки ${\displaystyle P_{kj}}$: ${\displaystyle P_{kj}\psi =\lambda \psi }$^[12].

Состояния с ${\displaystyle \lambda =-1}$ являются антисимметричными (фермионы с полуцелым спином), c ${\displaystyle \lambda =+1}$ являются симметричными (бозоны с целым спином).

• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 409 с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969. 424с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. 616с.
• Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512с.
• Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, М.: Наука 1964.
• Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. 424с.
• Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980. 320с.
• Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. Москва, Ижевск: РХД 2003. 188с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая квантовая теория. Москва: УРСС 1999. 214с.
• Елютин П. В., Кривченков В. Д. Квантовая механика с задачами. — М.: Наука, 1976. — 336 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Высшая школа, 1963. — 520 с.
• Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. — М.: Мир, 1965. — 220 с.