Dzieciństwo spędził na Górnym Śląsku (motywy bytomskie są w jego twórczości istotne, choć nie zawsze ich znalezienie jest rzeczą łatwą; Muzeum dzieciństwa i Suplement to jednak tomy w oczywisty sposób w dużej mierze poświęcone miastu lat dziecinnych). Szkołę podstawową ukończył w rodzinnym mieście. Studiował filologię polską (specjalizacja filmoznawcza) na Uniwersytecie Warszawskim, pracę magisterską obronił w 1979. Od 1984 do 1995 pracował jako redaktor w miesięczniku „Literatura na Świecie”. W latach 1997–1998 wykładał historię literatury czeskiej oraz historię filmu czeskiego i słowackiego na Uniwersytecie Warszawskim. W roku akademickim 1997–1998 prowadził gościnnie wykłady z historii dwudziestowiecznej literatury polskiej na Uniwersytecie Palackiego w Ołomuńcu. W 1998 został doktorantem Uniwersytetu Łódzkiego. W latach 1998–2002 prowadził na tej uczelni zajęcia z teorii literatury oraz literatury porównawczej. Wygłaszał również pojedyncze wykłady na Uniwersytecie Iwana Franki we Lwowie (1998), uniwersytecie w Preszowie (Słowacja, 1999), Uniwersytecie Szczecińskim, Uniwersytecie Adama Mickiewicza w Poznaniu oraz Justus-Liebig-Universität w Giessen (Niemcy). W grudniu 2002 obronił dysertację doktorską pt. Codzienność i mit. Poetyka, programy i historia „Grupy 42” w kontekście dwudziestowiecznej awangardy i postawangardy (promotor: prof. dr hab. Grzegorz Gazda, recenzenci: prof. dr hab. Jacek Baluch, dr hab. Józef Zarek prof. UŚ, prof. Jiří Holý DrSc). W 2003 wykładał historię literatury światowej na Uniwersytecie Łódzkim oraz prowadził zajęcia z nauki przekładu artystycznego na Uniwersytecie Jagiellońskim (Podyplomowe Studium Tłumaczenia, ponownie prowadził je tu w 2005) oraz na Uniwersytecie Warszawskim (iberystyka, ponownie 2004). Od 2003 był adiunktem w katedrze Teorii Literatury na Uniwersytecie Łódzkim. W listopadzie 2013 uzyskał stopień doktora habilitowanego nauk humanistycznych na podstawie pracy Chwyt metafizyczny. Vladimir Nabokov – estetyka z sankcją wyższej rzeczywistości[4]. Edytował nowy wybór pism Vladimira Nabokova w warszawskim wydawnictwie „Muza SA”.
W czasie studiów otrzymał nagrodę specjalną Sekretarza Naukowego Polskiej Akademii Nauk (nagroda imienia Wacława Borowego, 1978). Otrzymał także: nagrodę translatorską miesięcznika „Literatura na Świecie” w kategorii książkowego debiutu translatorskiego (za przekład Poezji wybranychEzry Pounda, 1989), nagrodę Stowarzyszenia Tłumaczy Polskich za najlepszy przekład w dziedzinie eseistyki w 1999 (za tłumaczenie Ducha romańskiego Ezry Pounda, 2000), czeską nagrodę Premia Bohemica dla zagranicznego bohemisty (za dorobek translatorski i popularyzowanie literatury czeskiej za granicą, 2003) oraz nagrodę „Literatury na Świecie” w kategorii przekładu prozy (za tłumaczenie SiostryJáchyma Topola). W 2006 został uhonorowany odznaką „Zasłużony dla Kultury Polskiej”. W 2009 otrzymał nagrodę „Literatury na Świecie” w kategorii przekładu poezji (za antologię Maść przeciw poezji oraz wybór utworów poetyckich Ivana WernischaPchli teatrzyk). Książkę Maść przeciw poezji wyróżniono również „Piórem Fredry”.
W 2010 został laureatem nagrody polskiego PEN Clubu „za wybitne dokonania translatorskie ze szczególnym uwzględnieniem przekładów poezji i prozy z języków: angielskiego, rosyjskiego, czeskiego i słowackiego”[5]. Z kolei wydany w 2011 tom poezji Muzeum dzieciństwa nominowany był w 2012 do Warszawskiej Nagrody Literackiej w dziedzinie poezji[6] oraz do Orfeusza – Nagrody Poetyckiej im. K.I. Gałczyńskiego[7]. W listopadzie 2016 otrzymał za twórczość literacką Muzę 2016, Nagrodę Prezydenta Bytomia. W 2018 Engelkingowi przyznano Nagrodę „Literatury na Świecie” w kategorii Mamut (za całokształt działalności translatorskiej). W 2020 nominowany do Nagrody Literackiej Gdynia za przekład tomu wierszy Jaroslava SeifertaKsięga pocałunków[8].
Był polskim współpracownikiem amerykańskiego pisma poświęconego życiu i twórczości Ezry Pounda „Paideuma”, członkiem międzynarodowego kręgu redakcyjnego czeskiego pisma slawistycznego „Slavia”, jak również stałym współpracownikiem łódzkiego miesięcznika „Tygiel Kultury”. W okresie ich istnienia był członkiem rady redakcyjnej czeskiego czasopisma literackiego „Scriptum” i stałym współpracownikiem toruńskiego miesięcznika „Przegląd Artystyczno-Literacki”. Aktywnie współpracuje też z Polskim Radiem.
Jego wiersze publikowane były w tłumaczeniach na język angielski, białoruski, chiński, francuski, górnołużycki, hiszpański, japoński, litewski, niemiecki, rosyjski, serbski, słowacki, słoweński i ukraiński, opowiadania – w tłumaczeniu na angielski, czeski i słowacki.
Był też autorem haseł m.in. w:
Leksykonie pisarzy świata XX wieku (Fundacja „Literatura Światowa”, Warszawa 1993, wydanie 2: 1997);
w słowniku pt. Literatury zachodniosłowiańskie czasu przełomów 1890-1990, t. I: Literatura łużycka i słowacka (Śląsk, Katowice 1994) i t. II: Literatura czeska (Śląsk, Katowice 1999);
Słowniku historycznym Europy Środkowo-Wschodniej, cz 1: Państwa Grupy Wyszehradzkiej (Stowarzyszenie Wschód-Zachód, Warszawa 2006).
Dzieła
Poezje i proza
Autobus do hotelu Cytera (KKMP, Warszawa 1979)
Haiku własne i cudze (Miniatura, Kraków 1991)
Mistrzyni kaligrafii i inne wiersze (Miniatura, Kraków 1994) ISBN 83-7081-115-9.
Dvěma slovy zachytit nezachytitelnost, [w:] Bolesław Leśmian, Druhá smrt (Votobia, Ołomuniec 1995, w języku czeskim). ISBN 80-7198-028-5.
Vladimir Nabokov. Podivuhodný podvodník (Votobia, Ołomuniec 1997; w języku czeskim) ISBN 80-7198-258-X.
Surrealizm, underground, postmodernizm. Szkice o literaturze czeskiej (Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2001) ISBN 83-7171-458-0.
Codzienność i mit. Poetyka, programy i historia Grupy 42 w kontekstach dwudziestowiecznej awangardy i postawangardy (Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2005) ISBN 83-7171-826-8.
Chwyt metafizyczny. Vladimir Nabokov – estetyka z sankcją wyższej rzeczywistości (Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2011) ISBN 978-83-7525-624-6.
Maść przeciw poezji. Przekłady z poezji czeskiej. (Wybór wierszy, przekład, opracowanie krytyczne, wstęp i posłowie L. Engelking, „Biuro Literackie”, Wrocław 2008) ISBN 978-83-60602-69-0.
Václav Havel, Zmieniać świat. Eseje polityczne (wraz z Piotrem Godlewskim, Tomaszem Grabińskim, Joanną Goszczyńską, Jackiem Illgiem, Andrzejem S. Jagodzińskim, Aleksandrem Kaczorowskim i Janem Stachowskim; Agora S.A., Warszawa 2012, ISBN 978-83-268-1223-1)
↑Kto jest kim w Polsce: informator biograficzny. Lubomir Mackiewicz (red.), Anna Żołna (red.). Warszawa: Wydawnictwo „Interpress”, 1993, s. 149–150. ISBN 83-223-2644-0.
Who is who w Polsce, Hübners Who Is Who, Poznań 2010
Ludzie nauki. Podkowa Leśna – Stawisko – 2009, Podkowa Leśna: Muzeum im. Anny i Jarosława Iwaszkiewiczów w Stawisku: Stowarzyszenie Ogród Sztuk i Nauk, 2009. ISBN 978-83-914119-3-3.
Marcin Hałaś, Leszek Engelking. Muzeum dzieciństwa, [w:] idem, Alfabet bytomski, Bytom: Muzeum Górnośląskie, 2012. ISBN 978-83-88880-27-8.