この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "コーシー＝シュワルツの不等式" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2015年12月)

数学におけるコーシー＝シュワルツの不等式（コーシーシュワルツのふとうしき、英: Cauchy–Schwarz inequality）、シュワルツの不等式、シュヴァルツの不等式あるいはコーシー＝ブニャコフスキー＝シュワルツの不等式 (Cauchy–Bunyakovski–Schwarz inequality) とは、内積空間において、2つのベクトルの内積の絶対値はその2つのノルムの積以下であることを主張する不等式である。

線型代数学や関数解析学における有限次元および無限次元のベクトルの内積や、確率論における分散や共分散に適用されるなど、様々な状況で現れる有用な不等式である。

数列に対する不等式はオーギュスタン＝ルイ・コーシーによって1821年に、積分系での不等式はまずヴィクトール・ブニャコフスキーによって1859年に発見された後ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツによって1888年に再発見された。

x, y が実または複素内積空間 ${\displaystyle (X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ の元であるとき、コーシー＝シュワルツの不等式は次のように表される：

${\displaystyle \langle x,y\rangle ^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .}$

これの等号成立は、x, y が線型従属であるとき、つまり x, y の一方が 0 であるか、さもなくば平行であるときである。内積の導くノルム ${\displaystyle \|x\|^{2}:=\langle x,x\rangle }$ を用いればこれは

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }$

とも表せる。

コーシー＝シュワルツの不等式の重要な帰結として、内積が2つのベクトルについて連続であるということが挙げられる。従って特に、ベクトル x に対する連続汎函数 ${\displaystyle \langle x,\cdot \rangle }$ あるいは ${\displaystyle \langle \cdot ,x\rangle }$ を定めることができる。さらに、ベクトル x に汎函数 ${\displaystyle x^{*}\colon y\mapsto \langle y,x\rangle }$ を作用させると等長作用素になっていることも従う。

また、この定理の系として内積ノルムに関する三角不等式

${\displaystyle \Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert +\Vert y\Vert }$

が導かれる。これの等号成立は、x と y の一方が他方の非負実数倍であるときである。

定理には数多くの証明が知られている。

実内積空間におけるシュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、t を実変数（あるいは任意の実定数）として

${\displaystyle 0\leq \langle {\boldsymbol {x}}+t{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {x}}+t{\boldsymbol {y}}\rangle =\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle +2\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle t+\langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {y}}\rangle t^{2}}$

が（内積の加法性により）t に依らず成立し、t の絶対二次不等式となる。ゆえに、二次不等式についてよく知られた事実により、この t の二次式の判別式 Δ は半負定値（非正）でなければならない：

${\displaystyle \Delta /4=\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle ^{2}-\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle \langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {y}}\rangle \leq 0.}$

ここからコーシー＝シュワルツの不等式を得る。

複素内積空間においても同様の証明がある。この場合は、⟨x|y⟩ なる内積を考えるとき、実数 t と絶対値 1 の複素数 λ について

${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}}+\lambda t{\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}}+\lambda t{\boldsymbol {y}}\rangle }$

に対して同様の議論を行い、

${\displaystyle \left(\operatorname {Re} \langle {\boldsymbol {x}}|\lambda {\boldsymbol {y}}\rangle \right)^{2}-\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {x}}\rangle \langle {\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {y}}\rangle \leq 0}$

が導かれる。特に ${\displaystyle \lambda ={\frac {\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }{|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}}}$ とすると、これは絶対値 1 であり、

${\displaystyle \operatorname {Re} \langle {\boldsymbol {x}}|\lambda {\boldsymbol {y}}\rangle =\operatorname {Re} {\bar {\lambda }}\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle =\operatorname {Re} {\frac {{\overline {\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }}\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle }{|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}}=|\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {y}}\rangle |}$

であるから、定理の主張が得られる。

別の観点の証明として、直交射影を考える以下のものがある：‖ y ‖ = 0 のときは、x と y の内積が 0 になり、問題の不等式は自明である。‖ y ‖ > 0 のときは、

${\displaystyle t={\frac {\langle x,y\rangle }{\|y\|^{2}}}}$

とすると、t y は x の y方向への直交射影である。実際、この t について z := x − t y は y に直交している。

${\displaystyle 0\leq \|z\|^{2}=\|x\|^{2}-\|ty\|^{2}={\frac {\|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x,y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}}$

よりコーシー＝シュワルツの不等式が従う。不等式の等号成立は z = 0、即ち x, y が線型従属のときであることが分かる。

標準内積を入れた数ベクトル空間で考えている場合は、成分表示すると

${\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}^{2}\right)}$

となるが、特にユークリッド空間（実数空間）Rⁿ（つまり各成分 x_i, y_i が実数）の場合については、この不等式は n に関する数学的帰納法で証明することができる。各 x_i, y_i が負でない場合を示せばよい。n = 1 のときは明らかに成立。n = 2 のときは、

${\displaystyle ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2})-(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}=(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}\geq 0}$

より成り立つ。n = k (≥ 2) で成立すると仮定する。n = k + 1 のとき、

${\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}x_{i}y_{i}+x_{k+1}y_{k+1}\right)^{2}}$

${\displaystyle \leq \left(\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}+x_{k+1}y_{k+1}\right)^{2}}$（∵帰納法の仮定より）

${\displaystyle \leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}^{2}+{x_{k+1}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}^{2}+{y_{k+1}}^{2}\right)}$（∵ n = 2 のときより）

${\displaystyle =\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}{y_{i}}^{2}\right)}$

となって成立する。

標準内積を入れた数ベクトル空間で考えている場合は、成分表示すると

${\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}^{2}\right)}$

となる。特に n = 2, 3 の場合は

${\displaystyle (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}\leq ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2})}$

${\displaystyle (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})^{2}\leq ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2}+{y_{3}}^{2})}$

となる。これらは有限次元の内積空間における例であるが、無限次元の内積空間でも成り立つ。自乗可積分函数空間では内積として積分の形があり、2つの自乗可積分函数 f, g に対して

${\displaystyle \left(\int f(x)g(x)^{*}\,dx\right)^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx}$

がシュワルツの不等式に当たる不等式である。これはヘルダーの不等式に一般化される。

• ヴィクトール・ブニャコフスキー
• オーギュスタン＝ルイ・コーシー
• オットー・ヘルダー
• ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツ
• 三角不等式
• ヘルダーの不等式
• ビネ・コーシーの恒等式

• 黒田成俊『関数解析』共立出版株式会社〈共立数学講座 15〉、1980年11月1日。ISBN 978-4-320-01106-9。 
• 齋藤正彦『線型代数入門』（初版）東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年3月31日。ISBN 978-4-13-062001-7。https://www.utp.or.jp/book/b302039.html。 

• ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『シュワルツの不等式』 - コトバンク
• 『コーシーシュワルツの不等式とそのエレガントな証明』 - 高校数学の美しい物語
• 『シュワルツの不等式の応用公式と例題』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Cauchy's Inequality". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Schwarz's Inequality". mathworld.wolfram.com (英語).

表 話 編 歴 線型代数学・行列解析
連立一次方程式	ガウスの消去法 クラメルの公式 ガウス＝ザイデル法 ヤコビ法
ベクトル	線型独立 線型結合 基底 双対基底
ベクトル空間	双対空間 核空間 固有空間 広義固有空間 線型包 行空間 列空間 次元
計量ベクトル空間	ドット積 コーシー＝シュワルツの不等式 直交 正規直交系 正規直交基底 グラム・シュミットの正規直交化法 直交補空間
行列・線型写像	演算・操作 乗法 転置 逆行列 サラスの方法 基本変形 対角化 分解 LU QR コレスキー シューア 特異値 固有値 不変量 行列式 跡 階数 固有値と固有ベクトル 固有多項式 最小多項式 単因子 階数標準形 スミス標準形 ジョルダン標準形 有理標準形 小行列式 クラス 正則 基本 対称 エルミート 正規 直交 回転 ユニタリ 冪零 射影 正定値 ユニモジュラー 置換 区分
行列式	余因子展開 余因子行列 ヴァンデルモンドの行列式 終結式 コーシー・ビネの公式
多重線型代数	外積 外積代数 対称代数 テンソル代数
数値線形代数	基本的な概念 浮動小数点 数値的安定性 疎行列 Z-行列 M行列 条件数 ゲルシュゴリンの定理 クリロフ部分空間 ソフトウェア MATLAB 数値解析ソフトの比較/一覧 ライブラリ Armadillo Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) INTLAB Intel oneAPI Math Kernel Library LAPACK NumPy OpenBLAS 線型代数学ライブラリの比較 反復法・技法 SOR法 共役勾配法 GMRES法 固有値問題の数値解法 ランチョス法 QR法 べき乗法 逆べき乗法 ヤコビ法 (固有値問題) シュトラッセンのアルゴリズム ハウスホルダー変換 ギブンス回転 人物 ジェームズ・H・ウィルキンソン クリーブ・モラー ニコラス・ハイアム ジーン・ゴラブ リチャード・バルガ
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