Στην γεωμετρία, ο περιγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου είναι ο κύκλος που διέρχεται και από τις τρεις κορυφές και .[1]:73-74[2]:140-141[3]:86 Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου λέγεται το περίκεντρο και είναι το σημείο που διέρχονται οι τρεις μεσοκάθετοι των πλευρών του.
Το περίκεντρο ενός τριγώνου είναι: (α) εσωτερικό του σημείο αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, (β) συμπτίπτει με το μέσο της υποτείνουσας αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και (γ) εξωτερικό αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.[3]: 86
Κάθε τρίγωνο έχει περιγεγραμμένο κύκλο, αλλά δεν ισχύει το ίδιο για κάθε πολύγωνο. Τα πολύγωνα με περιγεγραμμένο κύκλο λέγονται εγγεγραμμένα.
Απόδειξη ύπαρξης
Θεώρημα — Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Απόδειξη
Θεωρούμε τις μεσοκαθέτους των πλευρών και , οι οποίες τέμνονται στο σημείο καθώς είναι ευθείες κάθετες στις μη-παραλληλες και . Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ότι ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι
και .
Άρα , συνεπώς το σημείο ανήκει στην μεσοκάθετο του . Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των , και διέρχονται από το . Συνεπώς, ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου.
Μετρικές σχέσεις
(Νόμος των ημιτόνων) Σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο με μήκη πλευρών και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου, ισχύει ότι
Χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον τύπο για το εμβαδόν , έχουμε ότι
(Θεώρημα του Όιλερ) Αν είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και οι παρεγεγγραμμένοι κύκλοι, τότε
και
Αν το ορθόκεντρο και το περίκεντρο, τότε
.
(Θεώρημα Καρνό) Αν η ακτίνα του εγεγγραμμένου και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, και , και οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου, τότε
.
(Θεώρημα Νάγκελ) Αν είναι τα ύψη του τριγώνου και το περίκεντρο, τότε
και .
Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1]: 77 [2]: 270
Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.[1]: 76
(Ευθεία Σίμσον) Για οποιοδήποτε σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ισχύει ότι οι προβολές του στις πλευρές του τριγώνου είναι συγγραμμικά σημεία.[2]: 272-273
Το περίκεντρο είναι το σημείο του επιπέδου που ελαχιστοποιεί την μέγιστη απόσταση από τις κορυφές του τριγώνου, δηλαδή την συνάρτηση:[5]
.
Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη
Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου βασικά ακολουθεί την κατασκευή δύο μεσοκάθετων, η τομή των οποίων είναι το περίκεντρο. Αναλυτικότερα:
Με τον διαβήτη χαράζουμε τρεις κύκλους με κέντρα τα , και και ακτίνα το μέγιστο από τα και .
Βρίσκουμε τα σημεία τομής και των κύκλων με κέντρο το και το .
Βρίσκουμε τα σημεία τομής και των κύκλων με κέντρο το και το .
Χαράζουμε τις ευθείες που διέρχονται από τα και , και τα και αντίστοιχα.
Το σημείο τομής αυτών των δύο ευθειών είναι το περίκεντρο, και ο κύκλος είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.
↑Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Laurent, Pierre-Jean (2015). «A characterization by optimization of the orthocenter of a triangle». Elemente der Mathematik70 (2): 45–48. doi:10.4171/EM/273.