PROFILPELAJAR.COM

Στην γεωμετρία, η ευθεία Σίμσον ή αλλιώς ευθεία Σίμσον-Γουάλας (αναφέρεται και ως ευθεία Simson ή ευθεία Simson-Wallace) ενός σημείου ${\rm {P}}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι η ευθεία που διέρχεται απο τις προβολές ${\rm {P_{A},P_{B},P_{\Gamma }}}$ του ${\rm {P}}$ στις πλευρές του τριγώνου.^[1]^:112-113^[2]^:193-194^[3]^:36-37

Ισχύει και το αντίστροφο του θεωρήματος, δηλαδή αν οι προβολές ενός σημείου ${\rm {P}}$ στις πλευρές ενός τριγώνου είναι συνευθειακά σημεία, τότε το ${\rm {P}}$ είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Η ευθεία παίρνει το όνομά της από τους μαθηματικούς Ρόμπερτ Σίμσον και Γουίλιαμ Γουάλας.

Απόδειξη

Έστω ${\rm {P}}$ ένα σημείο εξωτερικό του τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {P_{A}}}$ , ${\rm {P_{B}}}$ και ${\rm {P_{\Gamma }}}$ οι προβολές του στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Στόχος είναι να αποδείξουμε ότι τα σημεία ${\rm {P_{A}}}$ , ${\rm {P_{B}}}$ και ${\rm {P_{\Gamma }}}$ (ή ισοδύναμα ότι η $x={\widehat {\rm {AP_{B}P_{\Gamma }}}}$ είναι ίση με την $y={\widehat {\rm {P_{A}P_{B}\Gamma }}}$ ) είναι συνευθειακά ανν το σημείο ${\rm {P}}$ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm {AB\Gamma }}$ .

Το τετράπλευρο ${\rm {PP_{\rm {B}}P_{\rm {\Gamma }}A}}$ είναι εγγράψιμο, καθώς ${\hat {\rm {P}}}_{\rm {B}}={\hat {\rm {P}}}_{\rm {\Gamma }}=90^{\circ }$ . Επομένως ισχύει ότι ${\widehat {{\rm {P}}_{\rm {\Gamma }}{\rm {PA}}}}={\widehat {{\rm {P}}_{\rm {\Gamma }}{\rm {P}}_{\rm {B}}{\rm {A}}}}=\varphi$ , καθώς οι γωνίες βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Αντίστοιχα, το τετράπλευρο ${\rm {PP_{B}P_{A}\Gamma }}$ είναι εγγράψιμο και ${\widehat {\rm {\Gamma PP_{A}}}}={\widehat {\rm {\Gamma P_{B}P_{A}}}}=\omega$ .

Επίσης, το τετράπλευρο ${\rm {PP_{\Gamma }BP_{A}}}$ είναι εγγράψιμο και άρα

${\widehat {\rm {APP_{A}}}}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {A}}}+{\hat {\Gamma }}={\widehat {\rm {AP\Gamma }}}+\varphi$ .

(1)

Τέλος, το ${\rm {P}}$ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ${\rm {AB\Gamma }}$ ανν το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι εγγράψιμο, αν και μόνο αν

{\widehat {\rm {APP_{\Gamma }}}}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}={\hat {\rm {A}}}+{\hat {\Gamma }}={\widehat {\rm {AP\Gamma }}}+\omega

,

δηλαδή ανν $\varphi =\omega$ (χρησιμοποιώντας την (1)).

Δείτε επίσης

Περαιτέρω ανάγνωση

Διαδραστικές εφαρμογές

Διαδραστική εφαρμογή για την ευθεία Σίμσον στο Φωτόδεντρο
Ευθεία Σίμσον στο Cut-the-Knot
Ευθεία Σίμσον στο Geogebra
Ευθεία τού Σίμσον στο Interactive Geometry

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Ελληνικά άρθρα

Ν. Α. Κισκύρας; Χ. Α. Κισκύρας; Δ. Τσιμπουράκης (1987). «Τετράπλευρο και ο κύκλος». Ευκλείδης Β΄ (1): 33-37. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2816.

Ξενόγλωσσα άρθρα

Quadling, Douglas (2012). «A curious misattribution: the early history of 'Simson's line'». The Mathematical Gazette 96 (537): 420-427. https://www.jstor.org/stable/24496864.
Clawson, J. W. (1919). «A Theorem in the Geometry of the Triangle». The American Mathematical Monthly 26 (2): 59. doi:10.2307/2973140. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1919-02_26_2/page/59.
Barnett, J. K. R. (2001). «Simson lines and deltoids». The Mathematical Gazette 85 (504): 446–457. doi:10.2307/3621750. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2001-11_85_504/page/446.
Smith, Geoff (2015). «99.20 A projective Simson line». The Mathematical Gazette 99 (545): 339-341. https://www.jstor.org/stable/24496966.

Παραπομπές

↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία για διαγωνισμούς 1: Τρίγωνα, τετράπλευρα, κύκλος, εγγράψιμα. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-035-7.
↑ Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία Δ',Ε',ΣΤ' Γμνασίου Θετικής Κατευθύνσεως. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 137–139.