Ευκλείδης: Έλληνας μαθηματικός, 3ος αιώνας π.Χ., όπως εικονίζεται από το Ραφαήλ στη λεπτομέρειά του από τον πίνακα Scuola di Atene (Η Σχολή των Αθηνών).[1]
Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που μελετά θέματα που αφορούν την ποσότητα (αριθμούς),[2] τη δομή (γεωμετρικά σχήματα),[3] το χώρο,[2] τη μεταβολή,[4][5] τις σχέσεις όλων των μετρήσιμων αντικειμένων της πραγματικότητας και της φαντασίας μας, καθώς επίσης, σύμφωνα με ορισμένους ερευνητές, και μερικά άλλα που δεν είναι γενικώς δεκτά ότι πρέπει να περιλαμβάνονται στον ορισμό των μαθηματικών.[6][7][8]
Οι μαθηματικοί ερευνούν αυτές τις δομές[11][12] και προσπαθούν να σχηματίζουν υποθέσεις και να εξακριβώνουν την αλήθεια ή το ψεύδος τους μέσω αυστηρών κανόνων συνεπαγωγής και έχοντας ως βάση ορισμένα αξιώματα και ορισμούς. Η έρευνα που απαιτείται για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων μπορεί να πάρει χρόνια ή ακόμα και αιώνες συνεχούς έρευνας. Μετά την πρωτοποριακή δουλειά του Τζουζέπε Πεάνο, του Ντέιβιντ Χίλμπερτ και άλλων για τα συστήματα αξιωμάτων στα τέλη του 19ου αιώνα, έχει καταστεί εθιμικό δίκαιο η οπτική της μαθηματικής έρευνας της επικρατούσας αλήθειας με αυστηρή επαγωγή από κατάλληλα επιλεγμένα αξιώματα και ορισμούς. Όταν οι μαθηματικές δομές είναι καλά μοντέλα των πραγματικών φαινομένων, τότε η μαθηματική λογική μπορεί να παράσχει πληροφορίες ή προβλέψεις για τη φύση. Οι δομές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήμες, συνηθέστερα από τη φυσική, αλλά οι μαθηματικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δομές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα μαθηματικά, επειδή οι δομές αυτές μπορούν να παρέχουν, παραδείγματος χάριν, μια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τον λογισμό. Τελικά, πολλοί μαθηματικοί μελετούν τα μαθηματικά για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιμετωπίζοντας τα ως μια μορφή τέχνης περισσότερο παρά ως μια πρακτική ή εφαρμοσμένη επιστήμη.
Μέσω της χρήσης της αφαίρεσης και της λογικής σκέψης, τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν από την καταμέτρηση, τον υπολογισμό, τη μέτρηση, και τη συστηματική μελέτη των σχημάτων και των κινήσεων των φυσικών αντικειμένων. Πρακτικά τα μαθηματικά ήταν πάντα μια ανθρώπινη δραστηριότητα όπως άλλωστε δείχνουν και οι αρχαιότερες από τις γραπτές μαρτυρίες που υπάρχουν. Ωστόσο, τα αυστηρά επιχειρήματα εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στα ελληνικά μαθηματικά, κυρίως στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Τα Μαθηματικά αναπτύσσονταν με σχετικά αργούς ρυθμούς μέχρι την Αναγέννηση, όταν μαθηματικές καινοτομίες που άρχισαν να αλληλεπιδρούν με τις νέες επιστημονικές ανακαλύψεις σε άλλα πεδία, οδήγησαν πλέον σε ραγδαία αύξηση του ρυθμού των μαθηματικών ανακαλύψεων που συνεχίστηκε μέχρι σήμερα.
Ορισμοί των Μαθηματικών
Ο Γαλιλαίος Γαλιλέι είπε: «Το σύμπαν δεν μπορεί να διαβαστεί παρά μόνο αφού μαθευτεί η γλώσσα του και έχει γίνει εξοικείωση με τους χαρακτήρες με τους οποίους η γλώσσα του είναι γραμμένη. Η γλώσσα του είναι η μαθηματική γλώσσα, και τα γράμματα είναι τρίγωνα, κύκλοι και άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς τα οποία συνεπώς είναι ανθρωπίνως αδύνατο να κατανοηθεί έστω και μια λέξη. Χωρίς αυτά, κάποιος (που ασχολείται με την έρευνα για το σύμπαν) είναι σαν να περιπλανιέται σε ένα σκοτεινό λαβύρινθο».[13] Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους αναφέρεται στα Μαθηματικά ως «η βασίλισσα των επιστημών». Ο Μπέντζαμιν Πιρς ονόμασε τα μαθηματικά ως «...την επιστήμη που σχεδιάζει απαραίτητα συμπεράσματα»[14]. Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ είπε για τα μαθηματικά: «Δεν μιλάμε εδώ σε καμμιά λογική για αυθαιρεσίες. Τα Μαθηματικά δεν είναι σαν ένα παιχνίδι στο οποίο τα καθήκοντα μπορούν να καθορίζονται από τους κανόνες που ορίζονται αυθαίρετα. Μάλλον, είναι ένα εννοιολογικό σύστημα το οποίο έχει εσωτερική ανάγκη που δεν μπορεί παρά να είναι έτσι και σε καμία περίπτωση το αντίθετο».[15] Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν δήλωσε ότι «...όσο οι νόμοι των μαθηματικών αναφέρονται στην πραγματικότητα, δεν είναι σίγουροι. Και στο μέτρο που είναι βέβαιοι, δεν αναφέρονται στην πραγματικότητα».[16] Πιο πρόσφατα ο Μάρκους ντου Σατόυ ονόμασε τα Μαθηματικά: «...η Βασίλισσα των Επιστημών...η κύρια οδηγήτρια δύναμη πίσω από την επιστημονική ανακάλυψη».[17]
Τα Μαθηματικά χρησιμοποιούνται σε όλο τον κόσμο ως ένα απαραίτητο εργαλείο σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της φυσικής επιστήμης, της μηχανικής, της ιατρικής, καθώς και τις κοινωνικές επιστήμες. Τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την εφαρμογή της μαθηματικής γνώσης σε άλλους τομείς, εμπνέεται από τη μαθηματική σκέψη και κάνει χρήση των νέων μαθηματικών ανακαλύψεων, που έχουν οδηγήσει στην ανάπτυξη εντελώς νέων τομέων των μαθηματικών, όπως η στατιστική και η θεωρία παιγνίων. Οι μαθηματικοί ασχολούνται και με τα λεγόμενα θεωρητικά ή καθαρά μαθηματικά, ή μαθηματικά χωρίς εξωτερική αιτία, δηλαδή ασχολούνται με τα μαθηματικά καθ'εαυτά, χωρίς να έχουν καμία πραγματική εφαρμογή υπόψη. Δεν υπάρχει βέβαια καμιά σαφής διαχωριστική γραμμή μεταξύ καθαρών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, καθώς και πρακτικές εφαρμογές ξεκίνησαν από έρευνα που ξεκίνησε ως καθαρά μαθηματικά, αλλά και καθαρά μαθηματικά προέκυψαν τελικά από τις πρακτικές εφαρμογές. Επομένως τα δυο αυτά είδη μαθηματικών ουσιαστικά αλληλοεπικαλύπτονται[18].
Ετυμολογία
Η λέξη μαθηματικά (mathematics) προέρχεται διεθνώς από την ελληνική γλώσσα, και συγκεκριμένα από τον (αρχαίο) πληθυντικό του ουδετέρου του επιθέτου μαθηματικός < μάθημα < μανθάνω, μαθαίνω, αποκτώ (με μελέτη) γνώσεις, γνώση, παιδεία, εμπειρία. Στην Ελλάδα, η λέξη «μαθηματικά» έφτασε να έχει στενότερη και πιο τεχνική σημασία εννοώντας τη «μελέτη των μαθηματικών» (με τη σημερινή έννοια του όρου), ακόμη και από την Κλασική εποχή[19]. Σήμαινε η μάθηση της τέχνης των μαθηματικών.
Στα λατινικά και στα αγγλικά γύρω στα 1700, ο όρος «mathematics» πιο συχνά σήμαινε αστρολογία ή μερικές φορές αστρονομία, παρά μαθηματικά με τη σύγχρονη έννοια του όρου. Το γεγονός αυτό είχε ως αποτέλεσμα πολλές λανθασμένες μεταφράσεις και παρανοήσεις, με πιο ιδιαίτερο παράδειγμα τη διαβόητη προειδοποίηση του Αγίου Αυγουστίνου ότι οι χριστιανοί θα πρέπει «να προσέξουν τη μαθηματική έννοια», και ενώ αναφέρει τα μαθηματικά με την αστρολογική έννοια της εποχής και στην ουσία καταδικάζει την αστρολογία, μπορεί μερικές φορές η φράση να παρερμηνευθεί και να θεωρήσει κανείς πως ο άγιος καταδικάζει τα μαθηματικά, με τη σημερινή έννοια του όρου.
Ο εμφανιζόμενος πληθυντικός στα αγγλικά, όπως και στα γαλλικά «les mathématiques» και το λιγότερο χρησιμοποιούμενο παράγωγο στον ενικό «la mathématique», πηγαίνει πίσω στο ουδέτερο πληθυντικό στη Λατινική «mathematica» (Κικέρων), με βάση τον ελληνικό πληθυντικό «τα μαθηματικά», που χρησιμοποιείται από τον Αριστοτέλη και σημαίνει περίπου «όλα τα πράγματα μαθηματικά», αν και είναι πιθανό ότι η αγγλική να δανείστηκε αρχικά μόνο το επίθετο «mathematical» και να σχηματίστηκε εκ νέου το ουσιαστικό «mathematics», κατά τα πρότυπα των λέξεων φυσική (physics) και μεταφυσική (metaphysics), που κληρονόμησε απευθείας από την ελληνική γλώσσα[20]. Στα αγγλικά, τα μαθηματικά ουσιαστικό παίρνει ρηματικούς τύπους στον ενικό αριθμό. Συχνά συντομεύεται σε «maths», ή ακόμη, κυρίως στην αγγλόφωνη Βόρεια Αμερική, σε «math»[21].
Η περιοχή μελέτης που είναι γνωστή ως «ιστορία των μαθηματικών» είναι πρωτίστως μια έρευνα στις αρχές των ανακαλύψεων στα μαθηματικά και σε μικρότερο βαθμό μια έρευνα στις μαθηματικές μεθόδους και στους μαθηματικούς συμβολισμούς του παρελθόντος.
Η μελέτη της δομής, που θεματοποιείται σήμερα στα πλαίσια της άλγεβρας, προέκυψε κυρίως από τις ανάγκες εμπορικών υπολογισμών και ξεκίνησε με την πρακτική αριθμητική, δηλαδή με τους φυσικούς αριθμούς και τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις, καθώς και με την επίλυση απλών γραμμικών εξισώσεων. Γενικότερες ιδιότητες των αριθμών θα εξεταστούν αργότερα από τη θεωρία αριθμών, ενώ οι γραμμικές εξισώσεις θα μελετηθούν στα πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας.
Πριν από τη σύγχρονη εποχή και την παγκόσμια διάδοση της γνώσης, γραπτά παραδείγματα νέων μαθηματικών εξελίξεων έχουν έρθει στο φως μόνο σε μερικά τοπικά σύνολα. Η μελέτη του χώρου και του σχήματος, που ξεκίνησε από αστρονομικές παρατηρήσεις (Βαβυλώνιοι) ή και από μετρήσεις εμβαδών (Αιγύπτιοι), θεμελιώθηκε ήδη νωρίς στη γεωμετρία του Ευκλείδη. Το έργο του Ευκλείδη υπήρξε ίσως ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία των μαθηματικών, καθώς εισήγαγε την αξιωματική μέθοδο, η οποία δεν εγκατέλειψε από τότε ποτέ τα μαθηματικά. Ακόμη, οι κατασκευές με κανόνα και διαβήτη -βασική αποδεικτική μέθοδος και στον Ευκλείδη- απασχόλησαν τους μαθηματικούς για πολύ καιρό: ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση της γωνίας, αποδείχτηκε μόλις το 19ο αιώνα ότι δεν μπορούν να επιτευχθούν με αυτήν τη μέθοδο. Τέλος την ίδια περίπου περίοδο, το περίφημο αξίωμα της παραλληλίας, ή αλλιώς «πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη», στάθηκε η αφορμή να δημιουργηθούν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ και τον Νικολάι Λομπατσέφσκι. Τα πιο αρχαία μαθηματικά κείμενα που είναι διαθέσιμα είναι τα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά (πινακίδα Plimpton 322, ~1900 π.Χ.),[23] και τα Αιγυπτιακά Μαθηματικά (ο Πάπυρος Μαθηματικών Rhind, ~2000-1800 π.Χ.[24] και ο Πάπυρος Μαθηματικών Μόσχας ~ 1890 π.Χ.). Όλα αυτά τα κείμενα περιλαμβάνουν το αποκαλούμενο Πυθαγόρειο Θεώρημα, που φαίνεται να είναι η πιο αρχαία και διαδεδομένη μαθηματική εξέλιξη μετά τη βασική Αριθμητική και Γεωμετρία.
Ωστόσο, η μελέτη των Μαθηματικών ως ένα αυτοτελές πεδίο άρχισε πράγματι τον 6ο αιώνα π.Χ. με τη Σχολή των Πυθαγορείων, που πιστώνονται και τον όρο «Μαθηματικά», από την αρχαία ελληνική λέξη «μάθημα», που σημαίνει «πεδίο μάθησης»[25]. Οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί σε μεγάλο βαθμό εξευγένισαν τις μεθόδους (κυρίως μέσω της εισαγωγής της επαγωγικής λογικής και της μαθηματικής ακρίβειας στις αποδείξεις) και επέκτειναν το πεδίο της ύλης των Μαθηματικών.[26] Οι αρχαίοι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν επίσης από νωρίς κάποιες συνεισφορές στο πεδίο των μαθηματικών, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα τοπογραφικής αξιολόγησης.[27][28] Το ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης και οι κανόνες χρήσης των πράξεών του, που βρίσκεται σε χρήση παγκοσμίως σύστημα, πιθανώς να αναπτύχθηκε κατά την 1η χιλιετία π.Χ. στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Ισλαμικών μαθηματικών.[29][30] Οι ίδιοι οι ισλαμικοί μαθηματικοί, με τη σειρά τους, ανέπτυξαν, επέκτειναν και διέδωσαν τα μαθηματικά μεταξύ των αυτών των πολιτισμών.[31] Πολλά ελληνικά και αραβικά κείμενα μεταφράστηκαν στα Λατινικά, γεγονός που οδήγησε σε παραπέρα ανάπτυξη των Μαθηματικών στη ΜεσαιωνικήΕυρώπη.
Από την Αρχαία Εποχή και μέσω του Μεσαίωνα, εκρήξεις μαθηματικής δημιουργικότητας συχνά ακολουθήθηκαν από αιώνες στασιμότητας. Με την έναρξη της Αναγέννησης στην Ιταλία κατά το 16ο αιώνα, εμφανίστηκε μια νέα μαθηματική ανάπτυξη, αλληλεπιδρώντας με τις νέες επιστημονικές ανακαλύψεις στα υπόλοιπα επιστημονικά πεδία, η οποία ουσιαστικά συνεχίζεται, και μάλιστα επιταχυνόμενη, ως τις μέρες μας.
Η πρωτοκαθεδρία της ευκλείδειας γεωμετρίας αρχίζει να φθίνει μετά την ανακάλυψη του ολοκληρωτικού λογισμού από τον Ισαάκ Νιούτον και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 17ο αιώνα. Το ενδιαφέρον των μαθηματικών στρέφεται στην έννοια της μεταβολής, της απόστασης και της προσέγγισης (όριο) και οδηγείται κυρίως από προβλήματα της φυσικής. Σύντομα θα αρχίσουν να αναπτύσσονται οι διάφοροι βασικοί κλάδοι της μαθηματικής ανάλυσης.
Προκειμένου να αποσαφηνιστούν τα θεμέλια των μαθηματικών και να διερευνηθούν οι σχέσεις φαινομενικά ασύνδετων κλάδων, άρχισε στα τέλη του 19ου αιώνα να αναπτύσσεται η Θεωρία συνόλων και η Μαθηματική λογική. Επίσης σε σύνδεση με προβλήματα κυρίως της φυσικής αναπτύσσεται ιδιαίτερα κατά τον 19ο και 20ο αιώνα ο κλάδος της Στατιστικής.
Σήμερα, οι βασικοί κλάδοι των μαθηματικών συνεχίζουν να αναπτύσσονται και να διακλαδίζονται περισσότερο, αλλά και πληθαίνουν οι εφαρμογές τους: στην Επιστήμη Υπολογιστών, τη Βιολογία, την Οικονομία, την Οικολογία κ.λπ, τα μαθηματικά παίζουν ολοένα και σημαντικότερο ρόλο.
Μερικά από τα υψηλότερα βραβεία στα μαθηματικά είναι το μετάλλιο Fields, το βραβείο Abel και το βραβείο Wolf. Δεν υπάρχει Βραβείο Νόμπελ για τα μαθηματικά.
Κλάδοι των Μαθηματικών
Μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε χοντρικά τους επιμέρους κλάδους των μαθηματικών όπως παρακάτω, χωρίς να σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αλληλεπικαλύψεις μεταξύ διαφορετικών κατηγοριών.
Άλγεβρα
Η άλγεβρα είναι ο μαθηματικός κλάδος που ασχολείται γενικά με την έννοια της (αλγεβρικής) δομής.
Ειδικότερα η Άλγεβρα είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τη δομή, σχέση, και την ποσότητα. Στοιχειώδης άλγεβρα είναι ο κλάδος που ασχολείται με την επίλυση των αριθμητικών εξισώσεων. Η Σύγχρονη ή αφηρημένη άλγεβρα έχει τις ρίζες της στη στοιχειώδη άλγεβρα και είναι επέκτασή της. Μερικοί ιστορικοί πιστεύουν ότι η αρχική μαθηματική έρευνα έγινε από τις τάξεις των ιερέων των αρχαίων πολιτισμών, όπως της Βαβυλώνας.[32] Η προέλευση της άλγεβρας μπορεί έτσι να αναχθεί στους αρχαίους Βαβυλώνιους μαθηματικούς περίπου τέσσερις χιλιάδες χρόνια πριν.
Ετυμολογία της λέξεως «άλγεβρα»
Η λέξη «άλγεβρα» προέρχεται από την αραβική λέξη Al-Jabr, όπως αναφέρεται σε κείμενο γραμμένο το 820 μ.Χ. από τον Πέρση μαθηματικό του μεσαίωνα, Αλ Χουαρίζμι, με τίτλο, στην αραβική γλώσσα, كتاب الجبر والمقابلة δηλαδή Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala, η οποία μπορεί να μεταφραστεί ως "Συνοπτικό βιβλίο υπολογισμών με χρήση ολοκλήρωσης και εξισορρόπησης". Σε αυτό το κείμενο περιγράφεται μια συστηματική μέθοδος επίλυσης εξισώσεων πρώτου καθώς και δευτέρου βαθμού. Η λέξη Al-Jabr χρησιμοποιήθηκε από τον Πέρση μαθηματικό για να περιγράψει τις πράξεις που εισήγαγε σε μια προσπάθεια επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.
Στα μαθηματικά γίνεται κριτική πως η χρήση τους στη μάθηση με λάθος τρόπο καταλήγει στο να μην υπάρχει πραγματική σύνδεση με τις έννοιες που επιχειρούν να περιγράψουν, ορίζοντας το «απόλυτα σωστό» και αποτρέποντας τη διερεύνηση και ανακάλυψη των σχέσεων που διέπουν τα φυσικά πράγματα. Στη μέθοδο διδασκαλίας που μετατρέπει τα μαθηματικά σε μια σειρά από τεχνικές και τύπους καταλογίζεται πως δεν επιτρέπει την πραγματική γνώση τους και με τη μορφή τους αυτή δεν δίνουν κανένα κίνητρο για μάθηση.
Η «στείρα» χρήση των μαθηματικών κατηγορείται πως αποκόπτει από το περιβάλλον, τη χρήση δηλαδή των αισθήσεων που δίνουν την επαφή με αντικείμενα και έννοιες που ευαισθητοποιούν και συνδέουν τη μάθηση με τη φύση και τη ζωή, με αποτέλεσμα τη στέρηση της δημιουργικότητας.
Τα μαθηματικά, με τον τρόπο που χρησιμοποιούνται για να περιγράφουν εξειδικευμένα τα πράγματα, «μένουν ταυτισμένα με πολύπλοκες και δυσνόητες “εξισώσεις”, κατάλληλες για να χρησιμοποιηθούν μόνο από λίγους “ειδικούς” για σκοπούς που οι περισσότεροι δεν καταλαβαίνουν».[33]
Davis, Philip J.· Hersh, Reuben (1980). The Mathematical Experience. Boston, Mass.: Birkhäuser. -- Μια ευγενική εισαγωγή στον κόσμο των Μαθηματικών
Gullberg, Jan (1996). Mathematics—From the Birth of Numbers. W.W. Norton. -- Μια εγκυκλοπαιδική επισκόπηση των μαθηματικών σε καθαρή, απλή γλώσσα.
Hazewinkel, Michiel, επιμ. (2000). Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers. -- Μια μεταφρασμένη και επεκτεταμένη εκδοχή μιας Σοβιετικής εγκυκλοπαίδειας μαθηματικών, σε δέκα (ακριβούς) τόμους, το πιο πλήρες και αναγνωρίσιμο έργο διαθέσιμο. Επίσης σε χαρτόδετη έκδοση και σε CD-ROM.
Kline, M. (1973). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.
Παραπομπές
↑Δεν έχουν βρεθεί περιγραφές της όψης του Ευκλείδη από την εποχή της ζωής του και επομένως η περιγραφή του βασίστηκε στην καλλιτεχνική φαντασία.
↑ 2,02,1«mathematics, n.». Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. Ανακτήθηκε στις 16 Ιουνίου 2012. The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.
↑Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. σελίδες 4. ISBN0486417123. Mathematics…is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.
↑LaTorre, Donald R.· John W. Kenelly· Iris B. Reed· Laurel R. Carpenter· Cynthia R Harris (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. σελίδες 2. ISBN1439049572. Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.
↑Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw-Hill Education. σελ. 2.10. ISBN0070667535. The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.
↑Ziegler, Günter M. (2011). «What Is Mathematics?». An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research (στα Αγγλικά). Springer. σελίδες 7. ISBN3642195326.
↑Mura, Robert (Dec 1993). «Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences». Educational Studies in Mathematics25 (4): 375–385.
↑Tobies, Renate and Helmut Neunzert (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer. σελίδες 9. ISBN3034802293. It is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.
↑Steen, L.A. (April 29, 1988). The Science of Patterns. Science, 240: 611–616. and summarized at Association for Supervision and Curriculum Development.
↑Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5.
↑Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
↑Hilbert, D. (1919-20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), Basel, Birkhäuser (1992).
↑Einstein, p. 28. The quote is Einstein's answer to the question: "how can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" He, too, is concerned with The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences
↑J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
↑Sir Thomas Little Heath (1963). A Manual of Greek Mathematics (στα Αγγλικά). Mineola, New York: Dover Publications Inc. σελ. 5. ISBN9780486154442.
↑Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
↑George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics,Penguin Books, London, 1991, pp.140—148
↑Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen, Campus, Frankfurt/New York, 1986, pp.428—437
↑Robert Kaplan, "The Nothing That Is: A Natural History of Zero", Allen Lane/The Penguin Press, London, 1999
↑"The ingenious method of expressing every possible number using a set of ten symbols (each symbol having a place value and an absolute value) emerged in India. The idea seems so simple nowadays that its significance and profound importance is no longer appreciated. Its simplicity lies in the way it facilitated calculation and placed arithmetic foremost amongst useful inventions. the importance of this invention is more readily appreciated when one considers that it was beyond the two greatest men of Antiquity, Archimedes and Apollonius." - Pierre Simon Laplace http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html
↑A.P. Juschkewitsch, "Geschichte der Mathematik im Mittelalter", Teubner, Leipzig, 1964
↑(Boyer 1991, "Origins" p. 7) "It has been suggested that both Indian and Egyptian geometry may derive from a common source—proto-geometry that is related to primitive rites in somewhat the same way in which science developed from mythology and philosophy from theology. We must bear in mind that the theory of the origin of geometry in a secularization of ritualistic practice is by no means established. The development of geometry may just as well have been stimulated by the practical needs of construction and surveying or by an aesthetic feeling for design and order."
↑Τάσος Ανθουλιάς. «Τα Μαθηματικά είναι πραγματικά για τόσο λίγους; - Μαθηματικά, εκπαίδευση και περιβάλλον - Τα Μαθηματικά και οι λεγόμενες "θεωρητικές επιστήμες"». Ελληνική εκπαίδευση: πορεία προς το άγνωστο. Χελιδόνι. σελίδες 21, 24–25, 29.
Jules (Jules Bazile) Guesde Jules Bazile, dikenal sebagai Jules Guesde (bahasa Prancis: [ʒyl ɡɛd]; 11 November 1845 – 28 Juli 1922) merupakan seorang wartawan sosialisme Prancis dan politikus. Guesde adalah insipirasi kutipan terkenal Karl Marx. Sesaat sebelum kematian Marx pada 1883, ia menulis surat kepada Guesde dan Paul Lafargue, keduanya menyatakan mewakili prinsip-prinsip Marxisme. Marx menuduh mereka penjual frase revolusioner.[1] Pertukaran ini adalah sumber pernyata...
Office skyscraper in Manhattan, New York GE Building and Comcast Building redirect here. For the other GE Building in Manhattan, see General Electric Building. For other GE buildings, see General Electric Building (disambiguation). For the Philadelphia building, see Comcast Center. 30 Rockefeller Plaza(Comcast Building)As the Comcast Building, February 2022Former namesRCA Building (1933–1988)GE Building (1988–2015)Alternative names30 RockNBCUniversal BuildingGeneral informationStatusCompl...
Tinnu AnandTinu Anand di Festival Film Prancis Mumbai 2010Lahir4 Mei 1953 (umur 70)Tempat tinggalMumbai, Maharashtra, IndiaKebangsaanIndiaAlmamaterKolese Mayo, AjmerPekerjaanAktor, Sutradara Tinnu Anand (terkadang disebut sebagai Tinu Anand atau Virender Raj Anand[1]) adalah seorang aktor dan sutradara India dari Bollywood, yang paling dikenal sebagai sutradara dari film-film Amitabh Bachchan yakni, Kaalia (1981), Shahenshah (1988), Main Azaad Hoon (1989) dan Major Saab (1998). ...
Municipality in Davachi, AzerbaijanMollakamallıMunicipalityMollakamallıCoordinates: 41°14′45″N 48°56′21″E / 41.24583°N 48.93917°E / 41.24583; 48.93917Country AzerbaijanRayonDavachiPopulation[citation needed] • Total275Time zoneUTC+4 (AZT) • Summer (DST)UTC+5 (AZT) Mollakamallı (also, Kuybışevkənd, Mollakemally, and Molla-Kemanly) is a village and municipality in the Davachi Rayon of Azerbaijan. It has a population ...
2009 studio album by LedisiTurn Me LooseStudio album by LedisiReleasedAugust 18, 2009Length53:53LabelVerveProducer Carvin & Ivan The Fyre Dept. Jimmy Jam & Terry Lewis Ledisi Rex Rideout Raphael Saadiq Johnnie Smith Chucky Thompson James Wright Chief Xcel Ledisi chronology Lost & Found(2007) Turn Me Loose(2009) Pieces of Me(2011) Turn Me Loose is the fourth studio album by American singer Ledisi. It was released by Verve Records on August 18, 2009 in the United States. It ...
OpiniAlbum studio karya Iwan FalsDirilis1 Januari 1982Direkam1981GenrePop, Pop rock, Country, Folk rockDurasi42:26LabelMusica Studio'sProduserWilly SoemantriKronologi Iwan Fals Sarjana Muda (1981)Sarjana Muda1981 Opini (1982) Sumbang (1983)Sumbang1983 Opini adalah album Iwan Fals yang diproduksi oleh Musica Studio's pada tahun 1982. Album ini didukung oleh pengarah musik Willy Soemantri dan biola dari Luluk Purwanto. Salah satu lagu berjudul Galang Rambu Anarki mengambil sudut pandang dar...
This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Journal of Moral Philosophy – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2021) (Learn how and when to remove this message) Academic journalJournal of Moral PhilosophyDisciplinePhilosophyLanguageEnglishEdited byS. Matthew LiaoPublication detailsH...
Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2022. Mădălina Diana GheneaMădălina Ghenea, 2019LahirMădălina Diana Ghenea8 Agustus 1987 (umur 36)[1][2][3][4][5][6]Slatina, Olt, RomaniaPendidikanIon Minulescu National CollegePekerjaanAktris, mode...
خوسيه لويس مينديليبار معلومات شخصية الميلاد 14 مارس 1961 (العمر 63 سنة)زالدايبار الطول 1.72 م (5 قدم 7 1⁄2 بوصة) مركز اللعب وسط الجنسية إسبانيا معلومات النادي النادي الحالي إشبيلية (مدرب) المسيرة الاحترافية1 سنوات فريق م. (هـ.) 1979–1982 أتلتيك بيلباو ب 106 (14) 1982–198...
L'histoire de la sociologie, en tant que discipline scientifique, commence à la fin du XIXe siècle, même si l'on peut retrouver des raisonnements sociologiques dès l'Antiquité. La sociologie se développe principalement en Europe de l'Ouest alors que la révolution industrielle fait émerger les premières enquêtes et réflexions sur les conditions de vie des ouvriers. Mais ce n'est qu'à partir des années 1890 que la sociologie s'institutionnalise avec les premières revues e...
Bioregion in Western Australia HamptonWestern AustraliaSand dunes and dune scrub near EuclaThe interim Australian bioregions,with Hampton in redArea10,881.98 km2 (4,201.6 sq mi) Localities around Hampton: Nullarbor Nullarbor Nullarbor Coolgardie Hampton Great Australian Bight Mallee Great Australian Bight Great Australian Bight Hampton is an interim Australian bioregion located in southeastern coastal Western Australia, with a small portion (4%) extending into adjacent South Au...
Town in Vermont, United StatesBerlin, VermontTownBerlin Corner, with the Congregational church on the hilltopLocation in Washington County and the state of VermontBerlin, VermontLocation in the United StatesCoordinates: 44°12′55″N 72°35′10″W / 44.21528°N 72.58611°W / 44.21528; -72.58611CountryUnited StatesStateVermontCountyWashingtonArea • Total36.9 sq mi (95.7 km2) • Land36.3 sq mi (93.9 km2) •&...
EICMAEICMA del 2009 LuogoFiera di Milano, Rho a Milano Anni1914- Frequenzaannuale (1914-) Generemotociclistico Sito ufficialewww.eicma.it/ Logo Modifica dati su Wikidata · Manuale L'EICMA (Esposizione Internazionale Ciclo Motociclo e Accessori), meglio conosciuta nel mondo come Milan Motorcycle Show e in Italia come Salone del ciclo e motociclo, è la più importante rassegna espositiva mondiale di riferimento per le due ruote a motore. Indice 1 Storia 2 Edizioni dell'EICMA a Milano 3 N...
Not to be confused with 1950 United States Senate special election in Connecticut. This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: 1950 United States Senate election in Connecticut – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2021) (Learn how and when to remove this message) 1950 United States Sena...
American chemist and professor For his father, a chemist of the same name, see Benjamin Silliman. Benjamin Silliman Jr.Benjamin Silliman Jr. c. 1865Born(1816-12-04)December 4, 1816New Haven, ConnecticutDiedJanuary 14, 1885 (1885-01-15) (aged 68)New Haven, ConnecticutAlma materYale UniversityKnown foroilScientific careerFieldschemistry Signature Benjamin Silliman Jr. (December 4, 1816 – January 14, 1885) was a professor of chemistry at Yale University and instrumental in ...
متحف إسطنبول الأثري İstanbul Arkeoloji Müzeleri إحداثيات 41°00′39″N 28°58′54″E / 41.010872°N 28.981659°E / 41.010872; 28.981659 معلومات عامة نوع المبنى أثري العنوان منطقة هولكان القرية أو المدينة إسطنبول الدولة تركيا سنة التأسيس 13 يونيو 1891 تاريخ الافتتاح الرسمي 13 يونيو 1891 المجموعات أكثر ...
