Στην γεωμετρία, το πρόβλημα Fagnano είναι το πρόβλημα που ζητά για ένα δοσμένο τρίγωνο ποιο είναι το εγγεγραμμένο του τρίγωνο με την ελάχιστη περίμετρο. Η λύση του προβλήματος είναι το ορθικό τρίγωνο του τριγώνου΄(θεώρημα Fagnano).^{[1]:304-307[2][3][4][5]}

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}$ το τρίγωνο ${\displaystyle {\rm {\Delta EZ}}}$ με ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$ σημείο της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$, ${\displaystyle {\rm {E}}}$ σημείο της ${\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {Z}}}$ σημείο της ${\displaystyle {\rm {\Gamma A}}}$ με ελάχιστη περίμετρο είναι το τρίγωνο με κορυφές τα ίχνη ${\displaystyle {\rm {H_{A},H_{B},H_{\Gamma }}}}$ των υψών (το ορθικό τρίγωνο).

Ο Giovanni Fagnano δημοσίευσε το πρόβλημα καθώς και την λύση του το 1775.^[6] Η απόδειξη του χρησιμοποιεί λογισμό και ένα ενδιάμεσο αποτέλεσμα που απέδειξε ο πατέρας του, Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano. Έκτοτε πολλές αποδείξεις έχουν δοθεί, συμπεριλαμβανομένων από τους Hermann Schwarz^[7] και Lipót Fejér. Αυτές οι αποδείξεις στηρίζονται σε γεωμετρικές ιδιότητες των ανακλάσεων ώστε να αναπαρασταθεί η περίμετρος του τριγώνου ως ένα μονοπάτι ελάχιστου μήκους.

Το θεώρημα έχει γενικευθεί σε ορθοδιαγώνια τετράπλευρα.^[8]

• Πρόβλημα Fagnano στο cut-the-knot.
• Διαδραστική εφαρμογή για το πρόβλημα Fagnano στο Geogebra.
• Θεώρημα Fagnano στην Πινακοθήκη γεωμετρικών σχημάτων.
• Δραστηριότητα για το πρόβλημα Fragnano στο Geogebra.

• Ha, N. M. (2004). «Another Proof of Fagnano's Inequality». Forum Geom. (4): 199-201. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200422index.html. 

• Σημείο Φερμά

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.