تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات
في الهَندسِةِ الرّياضِيّةِ، الدَّائرَة هي شكلٌ هَندَسيٌّ مُستوٍ، تُعرَّفُ على أنّها المحلُّ الهندسيُّ لنقاطِ تقع على سطح مُستوٍ وتَبعدُ بُعداً ثابتاً من نقطةٍ ما.[ملاحظة 1][ِ 1][ِ 2][ِ 3] تُسمَّى هَذه المجمُوعةُ غَيرُ المُنتَهيةِ من النقاطِ مُحيط الدائرةِ أو «المُحيطُ» اختصاراً. بينما النُّقطةُ الثابتةُ تُسمَّى مركزَ الدائرةِ. وأخيراً، تُسمّى المَسافةُ من أيِّ نُقطَةٍ على المُحيطِ إلى المركزِ نصفَ قُطْرِ أو شعاعاً، والقطرُ هو قِطعةٌ مُستقيمةٌ تمرُ بمركز الدائرة وتصل بين نقطتين على المحيط. تُصنُّفُ الدائرةُ على أنَّها قطعٌ ناقصٌ تلاشت بؤرتاهُ في نُقطةٍ واحدة أو قطع مخروطي مُنعدِمُ الاختلافِ المركزيّ؛ وعلى ذلك، فإنَّ الدائرةَ قطعٌ مخروطيٌّ ينتج عن تقاطع المخروط مع مستوىً مُوازٍ لقاعدتهِ. كما عُرِّفتِ الدائرةُ بوصفها مُضلَّعاً مُنتظماً لانهائي الأضلاع.[ِ 4][1][2]
ارتبطتِ الدائرةُ قديماً بالعديدِ منِ المسائل الرياضية، كما أنَّ لها ارتباطاً وثيقاً ببقيةِ الأشكالِ الهندسيّةِ من الزوايا والقطعِ المستقيمةِ والمُضلّعاتِ. يُطلق على المُضلعات التي توجَدُ دائرةٌ تُحيطها صفة «الدائرية»، أي أنَّ رؤوسَها مُشتَرِكَةٌ بِدَائِرَةٍ. ولهذهِ المُضلعاتُ قوانينُ ومبرهناتٌ خاصّةٌ تنطبق عليها. كانت الدائرةُ محطَّ اهتمامٍ بالأخصِّ عِندَ الإغريقِ القدماء. يَنتُجُ عن قِسْمَةِ طولِ مُحيطِ الدّائرةِ على طولِ قطرِها الثّابت الرّياضي π π --> {\displaystyle \pi } أو ط. وقد ابتكر أَرْخَمِيدِس طريقةً لتقريبِ قيمة π π --> {\displaystyle \pi } عبر حصر الدائرة بين مُضلّعين[3] وحَاوَلَ -في مسألةٍ عُرفَت بمسألة «تربيع الدائرة»- تَحويلَ الدّائرةِ إلى مربعٍ ذي المِساحَةِ ذاتها باستِعْمالِ فِرْجَارٍ ومَسطَرَةٍ فقطْ ولكنّه فشلَ في ذلك.[4] قاسَ أبولونيوس وغياث الدين الكاشي قيمة π π --> {\displaystyle \pi } بدقةٍ عاليةٍ.[5] وحَاولَ المَصريُّونَ القُدماءُ والبابليّون إيجادَ مساحةِ الدائرةِ. تُحسَبُ مساحةُ الدائرةِ بضرب π π --> {\displaystyle \pi } في مُربَّعِ نصف قطرها. وتختصُّ الدائرةُ عن غيرها من الأشكال الهندسية الأخرى بأنَّ لها أكبر مساحةٍ بالنِّسبةِ لطولِ مُحيطِها.[6]
وضع فلاسفة الأغريق القدماء نموذج مركزية الأرض الذي استندوا فيه على أنَّ الأرض كرةٌ تقع في مركز الكونِ والسماوات وتدور حولها بقية الأجرام السماوية في دوائرَ. وعندما قدَّم نيكولاس كوبرنيكوس نظرية مركزية الشمس، اعتبر أن نسيج الكون يتكون من حلقات دائرية حول الشمس. إلى أن توصَّلَ كيبلر إلى حقيقة شكل مدارات الأجرام السماوية، وهي قطوع ناقصة بدلاً من كونها دوائرَ، وحدد نيوتن الشروط التي يجب أن تتوفر في الجسم حتى يحذو مساراً دائرياً.[7][8]
تُعتبرُ الدائرةُ أحد أكملِ الأشكال الهندسية وأكثرها مثاليةً، وكان لها أهميَّة في التقنية والفنون والأديان والثقافات.[9][ِ 5] تُرسَمُ الدوائرَ باستعمال الفرجار. والفرجار هو الأداة الوحيدة إلى جانب المسطرة المسموح باستخدامها في الهندسة الإقليدية؛ وهذا ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار».[10][11] تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ، إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.[12]
يُرمز للدائرة التي مركزها النقطة O {\displaystyle O} ونصف قطرها r {\displaystyle r} [ملاحظة 2] رياضيَّاً بالرموز: « C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} » و« ⊙ ⊙ --> C {\displaystyle \odot C} » أو يُكتَفى بذكر «الدائرة O {\displaystyle O} » للإشارة إليها.[ِ 2] ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف «د»[ِ 4]
تعودُ تسمية وتعريفُ الدائرةِ في بعض اللغات إلى أشكال كانت في الطبيعة أو صنعها الإنسان كالخواتم، الحلقات والعجلات، بينما في اللّغة العربيّةِ، تعود لفظة «دائرة» إلى الفعل «دار» أو الجذر «د ور»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة». جاء في لسان العرب لابن منظور: «دار الشيء، يدور دَوراً ودَوَراناً، واستدار، وأدرتُه أنا. والدهر دوَّار بالإنسان. وتدوير الشيء جعله مدوّراً، وفي الحديث: إن الزمان قد استدار كهيئته يوم خلقَ الله السموات والأرض. استدار بمعنى إذا طاف حول الشيء، وإذا عاد إلى الموضع الذي ابتدأ منه...». يضيف ابن منظور: «والدائرة والدارة كلاهما: ما أحاط بالشيء. والدارةُ: دارة القمر التي حوله، وهي الهالة. ودارت عليه الدوائر: أي نزلت به الدواهي، والدائرة: الهزيمة والسوء، يقال: عليهم دائرة السوء... والدَّوَّار والدُّوَّار من أسماء البيت الحرام، لأنهم يطوفون به في شبه دائرة...».[14][ِ 6] وفي اللّغة الإنجليزيّة يعود أصل تسمية الدائرة (بالإنجليزية: Circle) إلى الكلمة الإغريقيّة κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».[15]
وفقاً لتعريف الدّائرة الذي ينصُّ على أنها مجموعة نقاط على مستوى واحد تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فَيُمكِنُ إعادةُ صياغةِ التّعريفِ إلى أنَّ الدائرة هي منحنى مغلق أحادي البُعد، وبشكل مكافئ هي مُنحنى ترسمه نّقطةٌ متحرّكة تبعد بُعداً ثابتاً عن نقطة ثابتةٍ أخرى.[ملاحظة 9] وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزأين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة[16]، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ لكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.[1][17]
عرَّف إقليدس الدائرة في كتابه: الأصول، كما يأتي:[ِ 4]
يُعبِّرُ الرياضيون عن تعريف إقليدس للدائرة أيضاً باستخدام نظرية المجموعات على النحو الآتي:[18]
تعريف إقليدس في نظرية المجموعات — إذا وقعت النقطة O {\displaystyle O} على المستوى E {\displaystyle E} فإن الدائرة C {\displaystyle C} التي مركزها O {\displaystyle O} ونصف قطرها r {\displaystyle r} هي مجموعة جميع النقاط M {\displaystyle M} التي تنتمي إلى المستوى E {\displaystyle E} ، وتبعد عن النقطة O {\displaystyle O} مسافةً مقدارها r {\displaystyle r} .
C ( O , r ) = { M ∈ ∈ --> E : O M ¯ ¯ --> = r } {\displaystyle C(O,r)=\left\{M\in E~:~{\overline {OM}}=r\right\}}
أثبت أبولونيوس أن الدائرة بالإمكان التعبير عنها على أنها المحل الهندسي لجميع النقاط التي نسبة بعدها عن نقطتين ثابتتين ثابتة. أو رياضياً: بفرض أنَّ A , B {\displaystyle A,B} نقطتين ثابتتين على المستوى، فإنَّ الدائرةَ التي بُؤرَتَيْها A , B {\displaystyle A,B} هي المحل الهندسي لجميع النقاط P {\displaystyle P} التي تُحقِّقُ أنَّ:[19][20][21] | A P | | B P | = | A C | | B C | {\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}} النسبة التبادلية لدائرة
تُعرف النسبة التبادلية للقطعتين المستقيمتين A C ¯ ¯ --> , B D ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AC}},{\overline {BD}}} أو لرباعية النقاط A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} المتسامتة على الترتيب: ( A , B ; C , D ) = A C ⋅ ⋅ --> B D B C ⋅ ⋅ --> A D {\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}} حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. وتُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 3 − − --> z 1 ) ( z 4 − − --> z 2 ) ( z 3 − − --> z 2 ) ( z 4 − − --> z 1 ) . {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}}.} . إذا كانت النقاط A , C , B {\displaystyle A,C,B} مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط P {\displaystyle P} التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد. | [ A , B ; C , P ] | = 1. {\displaystyle |[A,B;C,P]|=1.\ } . بمعنىً آخر: P {\displaystyle P} هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط A , C , B {\displaystyle A,C,B} إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية [ A , B ; C , P ] {\displaystyle [A,B;C,P]} مساوياً للواحد.[22][23][24]
تُعرّفُ النقطة D {\displaystyle D} على أنّها المرافق التوافقي للنقطة C {\displaystyle C} بالنسبة لـ A {\displaystyle A} و B {\displaystyle B} . إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي − − --> 1 {\displaystyle -1} . وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية.[25] النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ.[25] في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط P A ↔ ↔ --> , P B ↔ ↔ --> , P C ↔ ↔ --> , P D ↔ ↔ --> {\displaystyle {\overleftrightarrow {PA}},{\overleftrightarrow {PB}},{\overleftrightarrow {PC}},{\overleftrightarrow {PD}}} «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي − − --> 1 {\displaystyle -1} ). إنَّ نقاطَ تقاطعِ دائرةٍ مع حُزمةٍ توافقيةٍ رأسها P {\displaystyle P} يقع على الدائرة أيضاً يُنتجُ رباعياً توافقياً.[26]
في حال ما كانت C {\displaystyle C} منتصف القطعة A B ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AB}}} فعندئذٍ يُسمّى المحل الهندسي للنقاط P {\displaystyle P} التي تحقق الشرط أعلاه، «دائرة مُعمّمة». الدائرة المعممة قد تكون دائرةً فعليةً وقد تكون خطاً مُستقيماً. وبهذا، فإنَّ التعريف المعمم للدائرة يضمُّ الخطَّ المستقيمَ على أنه دائرة مركزها هو نقطة في اللانهاية أو دائرة ذات نصف قطر لانهائي. وتستعمل فروع هندسة أخرى كالهندسة التعاكسية والهندسة الإسقاطية في المستوى العقدي هذا التعريف للدائرة على أنها خط مستقيم.[27][28] هُناك أيضاً إعادة تعريف للنقطة على أنَها دائرةٌ مُنعدمة. يُستعمل هذا التعريف افتراضياً في المسائل المتعلقة بالمحور الأساسي.[29][30]
بالإمكان تعريف الدائرة على أنها مُضلّعٌ منتظمٌ بنصف قطر مماسي (بالإنجليزية: Inradius)[ملاحظة 10] يُرمز إليه بالرمز r {\displaystyle r} أو نصف قطر محيطي (بالإنجليزية: Circumradius)[ملاحظة 11] يُرمز إليه بالرمز R {\displaystyle R} باعتبار أن عدد أضلاع المضلع المنتظم يؤول إلى اللانهاية. بناءً على هذا التعريف بالإمكان اشتقاق طول محيط المضلع عبر العلاقة الجبرية الآتية:[31] C = lim n → → --> ∞ ∞ --> 2 r n tan --> ( π π --> n ) = 2 π π --> r = lim n → → --> ∞ ∞ --> 2 R n sin --> ( π π --> n ) = 2 π π --> R {\displaystyle {\begin{aligned}C=\lim _{n\to \infty }2rn\tan {({\tfrac {\pi }{n}})}=2\pi r\\=\lim _{n\to \infty }2Rn\sin {({\tfrac {\pi }{n}})}=2\pi R\end{aligned}}} والمساحة، عبر العلاقة:[31] A = lim n → → --> ∞ ∞ --> n r 2 tan --> ( π π --> n ) = π π --> r 2 = lim n → → --> ∞ ∞ --> 1 2 n R 2 sin --> ( 2 π π --> n ) = π π --> R 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A=\lim _{n\to \infty }nr^{2}\tan {({\pi }{n})}=\pi r^{2}\\=\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin {({\tfrac {2\pi }{n}})}=\pi R^{2}\end{aligned}}} والنتيجتان تظهران مُتساويتين سواءً باستخدام نصف القطر المماسي أو نصف القطر المحيطي، لأن نصفي القطرين يؤولان للقيمة نفسها عند المالانهاية.[31]
تُوصف الدائرة على أنها حالة حدية خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها قطعاً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة على أنها بيضاوي ديكارتي، نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهو منحنى مستو ومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس التركيب الخطي (ويُعبّر عنه أيضاً بمجموعٍ موزونٍ) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر.[32] البيضاوي الفائق هو مجموعة نقاط في المستوى تحقق: | x a | n + | y b | n = 1 {\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1} حيث أنَّ n , a , b {\displaystyle n,a,b} أعدادٌ مُوجبة. تُعرَفُ «الدّائرةُ الفائقة» على أنها بيضاوي فائق يكون فيه a = b {\displaystyle a=b} . والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما n = 2 {\displaystyle n=2} .[33]
تُوصَفُ الدائرةُ باعتبارها حالةً خاصةً من القطع الناقص، حيث تكونُ حينَ تنطبقا البؤرتان معاً لِتُكوِّنَ مركزَ الدّائرةِ؛ حينئذٍ، يكون الاختلاف المركزي مُساوٍ للصفر ( e = 0 {\displaystyle e=0} ) ويتساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر ليُكوِّنا قُطرَيْ الدائرةِ. وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره.[31]
تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟». وتختصُّ الدائرةُ بأنها الحل لهذا المسألة. إذ توصف على أنَّها الشكلُ الذي يحصر أكبر مساحةٍ نسبةً إلى طول مُحيطه.[34]
ترتبط هذه المسألةُ بمفهومِ مبدأِ الفعلِ الأدنى في الفيزياء، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «الفعلُ الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكن بأقلّ جهدٍ ممكن؟» على الرغم من أنَّ الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أوّل محاولة أنَجَزَتْ في السؤالِ كانت سنة 1838م عندما استعمل المهندس الرياضياتي السويسري ياكوب شتاينر طريقةً هندسيةً أُسميَت لاحقاً بطريقةِ شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنَّه إذا وُجِدَ حلٌّ لهذه المسألةِ فلا بُدّ وأن يكون دائرةً. استئنف رياضيّون حلّ شتاينر لاحقاً وأكملوه.[35]
بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ فعلى سبيلِ المثالِ، إن كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ أيضاً أن أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هو الدائرة فإن الحل كان لا بد وأن يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي تحتاج إلى المراجعة.[35]
غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:[35][36]
4 π π --> A ≤ ≤ --> L 2 {\displaystyle 4\pi A\leq L^{2}}
وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع R {\displaystyle R} هو π π --> R 2 {\displaystyle \pi R^{2}} ومُحيطُ الدائرةِ هو 2 π π --> r {\displaystyle 2\pi r} بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان 4 π π --> R 2 {\displaystyle 4\pi R^{2}} . وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام متسلسلة فورييه التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استخدم الحل صيغة طول القوس، صيغة مساحة السطح من مبرهنة غرين ومتباينة كاوشي شفارتز.[35] لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف على أنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:[35]
Q = 4 π π --> A L 2 {\displaystyle Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}}
تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ Q ≤ ≤ --> 1 {\displaystyle Q\leq 1} بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط L 2 A {\displaystyle {\frac {L^{2}}{A}}} هي على الأقل 4 π π --> {\displaystyle 4\pi } لكل منحنى.[36] أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي:[36] Q n = π π --> n tan --> π π --> n . {\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan {\tfrac {\pi }{n}}}}.} . إذا كان C {\displaystyle C} منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:[35]
L 2 ⩾ ⩾ --> 4 π π --> A + 8 π π --> | A ~ ~ --> 0.5 | , {\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,}
حيث أن L , A , A ~ ~ --> 0.5 {\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}} ترمز إلى طول C {\displaystyle C} والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان C {\displaystyle C} منحنى ثابت العرض.[35]
تعريفُ دائرةٍ على أنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار- p {\displaystyle p} (بالإنجليزية: p-norm)، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:[37][38]
‖ x ‖ p = ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ ⋯ --> + | x n | p ) 1 / p . {\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}
بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون p = 2 {\displaystyle p=2} ، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:[37][38]
‖ x ‖ 2 = | x 1 | 2 + | x 2 | 2 + ⋯ ⋯ --> + | x n | 2 . {\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}.}
في هندسة سيارة الأجرة، تكون p = 2 {\displaystyle p=2} . دوائر سيارة الأجرة تُعرّف على أنها مربعات مدوّرة بزاوية 45 بالنسبة إلى محاورها الإحداثية. على الوجه المقابل، فاعتماداً على تعريف المسافة الشبشفية، فإنَّ الدائرة ذات الشعاع r {\displaystyle r} في المستوى هي أيضاً مُربّع ذو ضلع 2 r {\displaystyle 2r} . لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.[37][38]
يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة r = d 2 {\displaystyle r={\frac {d}{2}}} . يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر[ملاحظة 12] يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة.[ِ 2][ِ 7][39] وتُصنّف جميعُ الدوائرَ على أنها مُتشابهة.[40]
يتناسبُ طولُ مُحيطِ الدائرةِ مع طول قطرِها.[ملاحظة 13] ويُرمز لهذه النسبة بـ« π π --> {\displaystyle \pi } »[ملاحظة 14] أو «ط». يُربَطُ بينَ ثابتِ النّسبة π π --> {\displaystyle \pi } وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها:[ِ 7][ِ 4] C d = π π --> ⇔ ⇔ --> C = π π --> d = 2 π π --> r ⇔ ⇔ --> d = C π π --> {\displaystyle {\frac {C}{d}}=\pi \Leftrightarrow C=\pi d=2\pi r\Leftrightarrow d={\frac {C}{\pi }}} في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة π π --> {\displaystyle \pi } ، وهو مُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة π π --> {\displaystyle \pi } :[41]
تَتَناسبُ مِسَاحةُ الدّائرةِ طرديّاً مع مُربّع نصفِ القطرِ بثابتِ تناسبٍ يُطلق عليهِ π π --> {\displaystyle \pi } . ومِسَاحةُ الدائرةِ هي أكبرُ مساحةٍ من بين الأشكالِ نسبةً إلى محيطها. وهذا يربِطُ الدائرةَ بِمُعْضِلَةٍ في مجالِ حسابِ التغيراتِ تُسمَّى مُتَباينةَ المُحيطِ الثَّابِتِ. استُعمل مفهوم النّهايات المُتتالية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. وهذا المفهومُ قائمٌ على تقسيمِ قِرْصِ الدّائرةِ إلى قِطاعاتٍ ثمَّ جَمعِها. بعدَ التقسيمِ، ينتجُ مستطيلٌ طُولُه π π --> r {\displaystyle \pi r} وعَرْضُه r {\displaystyle r} . وعلى هذا، تَكونُ مساحةُ الدّائرةِ مُكافئةً لمساحة المُستطيلِ بالقانون:[ِ 7]
يُعبِّرُ مصطلحُ «قياس القوس» إلى قياسِ الزاويةِ المركزيةِ التي تَحصِرُ القوسَ. وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسُها بالدرجاتِ 360 ∘ ∘ --> {\displaystyle 360^{\circ }} . وعلى ذلكَ، فإن قياسَ الأقواسِ الناتجةِ عنْ قَطْعِ زاويةٍ مركزيةٍ لدائرتينِ متحدتَيْ المركزِ لهُمَا القياسَ نَفْسَهُ؛ لاشتراكِهِما في قياسِ الزاويةِ المركزيةِ. ويتطابقُ قوسانِ من دائرةٍ واحدةٍ إذا وفقط إذا كان لهُما القياسَ نَفسه. وهُناكَ قياسانِ شهيرانِ للقوسِ:[ِ 2]
كانت A , B {\displaystyle A,B} نقطتين مختلفتين على الدائرة C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر A B ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {AB}}} ، وقوس أكبر A B ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {AB}}} يتممان بعضهما بعضاً. يُرمَز إلى القوس الأكبر A B ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {AB}}} أحياناً بالرمز A C B ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {ACB}}} عِوَضاً عن ذكر « A B ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {AB}}} الأكبر». يُعرّف القوس الأصغر A B ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {AB}}} على أنَّه مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية ∠ ∠ --> A O B {\displaystyle \angle AOB} الداخلية[ملاحظة 15] ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين A , B {\displaystyle A,B} على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويقل عن 180 ∘ ∘ --> {\displaystyle 180^{\circ }} . على الوجه المقابل، فإن القوس الأكبر A B ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {AB}}} هو مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية ∠ ∠ --> A O B {\displaystyle \angle AOB} المُنعكِسة ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين A , B {\displaystyle A,B} على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويزيد عن 180 ∘ ∘ --> {\displaystyle 180^{\circ }} . تُسمَّى النقطتان A , B {\displaystyle A,B} طرفا القوس A B ^ ^ --> {\displaystyle {\widehat {AB}}} أو طرفا الوتر A B ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AB}}} . في حالِ كَوْنِ النُّقطتينِ A , B {\displaystyle A,B} نقطتينِ متقابلتينِ قُطريَّاً، فإن كُلاً مِن القَوسَيْنِ المُقَابِلَيْنِ لَهُمَا القياس نفسه، ويُسمَّى القوسُ الواحدُ نِصفَ دَائرةٍ. وكُلُّ قِطْرٍ في دائرةٍ ما يُحدِّدُ نِصفَيْ دائرةٍ.[ِ 2]
إذا كانَ طُولُ القوْسِ يُساوي ℓ ℓ --> {\displaystyle \ell } ، فإنَّ النسبةَ بينَ طولِ القوسِ إلى مُحيطِ الدَّائرةِ يُساوي نسبةَ قياسِ القوسِ إلى قِياسِ الدَّائرةِ كاملةً.[13][46]
l C O = l 2 π π --> r = θ θ --> ∘ ∘ --> 360 ∘ ∘ --> ⇔ ⇔ --> ℓ ℓ --> = π π --> r ⋅ ⋅ --> θ θ --> ∘ ∘ --> 180 ∘ ∘ --> {\displaystyle {\frac {l}{C_{O}}}={\frac {l}{2\pi r}}={\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}\Leftrightarrow \ell =\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180^{\circ }}}}
هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:[ِ 2] C ( O , r ) ∪ ∪ --> I n t C ( O , r ) = { P ∈ ∈ --> E : O P ¯ ¯ --> ≤ ≤ --> r } {\displaystyle C(O,r)\cup Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP}}\leq r\right\}} .
يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.[ِ 7][47] A S = π π --> r 2 ⋅ ⋅ --> v 360 ∘ ∘ --> = ( v rad ) ⋅ ⋅ --> r 2 {\displaystyle A_{S}=\pi r^{2}\cdot {\frac {v}{360^{\circ }}}=(v{\text{ rad}})\cdot r^{2}} تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى 360 ∘ ∘ --> {\displaystyle 360^{\circ }} مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة 100 % % --> {\displaystyle 100\%} .[48]
مبرهنة الزوايا المماسية والمحيطية — الزَّاويةُ المركزيةُ تُساوي ضِعفَ الزاويةِ المُحيطيةِ المُشتركةِ معها على القوسِ نفسه وضِعفَ الزاويةِ المماسية التي تحصر القوس نفسه.
المُبرهنة السابقة تُعطي علاقةً بين الزوايا المركزية وبين الزوايا المماسية والمحيطية. كنتيجة، عند تثبيت قوسٍ ما في دائرة، فإنَّ الزوايا المحيطية التي تحصر هذا القوس متساوية. والعكس صحيحٌ أيضاً، فالمحل الهندسي لرؤوس الزوايا متساوية القياسات التي تحصر قطعةً مُستقيمةً ثابتةَ الطول هي قوس دائري. وينتج عن هذه المبرهنة أيضاً مبرهنة طالس: والتي تنص على أنَّ الزاويةَ المُحيطيةَ التي تَحصِرُ قطراً قائمةٌ.[49][ِ 3][ِ 8]
مبرهنة الزاوية الداخلية — الزاوية الداخلية تُساوي نصف مجموع قياسي القوسين المَحصُورَينِ بين ضلعيها.
مبرهنة الزاوية الخارجية — الزاوية الخارجية تساوي نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعيها.
هُناك ثلاثُ حالات ممكنةٍ لموقعِ نُقطةٍ ما بالنسبةِ إلى دائرةٍ مُعطاةٍ في المستوى نَفسِهِ تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة: نقاط داخليَّة ومُحيطيَّة وخارجيَّة:[ِ 2][ِ 1]
إنَّ التعريفَ الرياضيَّ المُقابلَ للجدول السابق بالإمكان التعبير عنه بمبرهنة المجموعات كالآتي: إذا كانت الدائرة مركزها O {\displaystyle O} والنقطة المتغيِّرةُ P {\displaystyle P} ، فإنَّ مجموعة نقاط P {\displaystyle P} في المستوى E {\displaystyle E} تُعرَّف على أنَّها:[ِ 1][ِ 2][39] I n t C ( O , r ) = { P ∈ ∈ --> E : O P ¯ ¯ --> < r } {\displaystyle Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP}}<r\right\}} E x t C ( O , r ) = { P ∈ ∈ --> E : P Q ¯ ¯ --> > r } {\displaystyle Ext~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {PQ}}>r\right\}} تُصنَّفُ مجموعةُ النقاطِ الداخليةِ على أنَّها مجموعة محدبة: أي أن الضلع الواصل بين أي نقطتين داخل الدائرة لا يقطعها.[ِ 2]
لتكن A , B ∈ ∈ --> I n t C ( O , r ) {\displaystyle A,B\in Int~C(O,r)} ولتكن P ∈ ∈ --> A B ¯ ¯ --> {\displaystyle P\in {\overline {AB}}} من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن O A , O B < r {\displaystyle OA,OB<r} ، ولأن P {\displaystyle P} على القطعة المستقيمة A B ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AB}}} فهذا يعني أن إحدى الزاويتين ∠ ∠ --> O P A , ∠ ∠ --> O P B {\displaystyle \angle OPA,\angle OPB} غير منفرجة.[ملاحظة 21] بفرض - دون فقد العموميَّة - أنَّ ∠ ∠ --> O P A ≤ ≤ --> 90 ∘ ∘ --> {\displaystyle \angle OPA\leq 90^{\circ }} ، بتطبيق متباينة المثلث في المثلث △ △ --> O P B {\displaystyle \triangle OPB} : O P < O B < r {\displaystyle OP<OB<r} إذن P ∈ ∈ --> I n t C ( O , r ) {\displaystyle P\in Int~C(O,r)} .
يُعرف زوج النقاط التي تمثل طرفي قطر في دائرة على أنهما نقطتان متقابلتان، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. تُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:.[ِ 2] { P , P ′ ∈ ∈ --> C ( O , r ) : P P ′ ¯ ¯ --> = 2 r } {\displaystyle \left\{P,P'\in C(O,r)~:~{\overline {PP'}}=2r\right\}}
تُعرّفُ قوةُ نقطة ما بالنسبة لدائرة ثابتة على أنها مربع المسافة بين النقطة ومركزِ الدائرة مطروحاً من مربع نصف قطر الدائرة. رياضيّاً: في قوة النقطة P {\displaystyle P} بالنسبة للدائرة C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} هي المقدار: P o w ( P ) = O P 2 − − --> r 2 {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=OP^{2}-r^{2}} . نتيجةً لذلك، إنَّ قوةَ النُقطةِ P {\displaystyle P} تكونُ مقداراً سالباً عندما O P < r {\displaystyle OP<r} أي أّنها نقطةٌ داخليةٌ للدائرة، وتكون مقداراً مُنعدماً عند وقوعها نقطةً مُحيطيّةً، ومقداراً موجباً عندما تقع خارج الدائرة. في الصيغِ الرياضيةِ لمبرهنات قطع الوتر والقاطع وقاطع التماس، يظهرُ في جميعِها مقدار قوة النقطة؛ لذا فإنها تُسمّى جميعها بمبرهنات قوة النقطة. أيّ أنَّ P o w ( P ) {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)} هو مقدارٌ ثابت لكل نقطة ودائرة ثابتتين، وأنَّ أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي P o w ( P ) {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)} .[ِ 8][50][51]
كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن T {\displaystyle T} نقطة تماس المماس الخارج من P {\displaystyle P} إلى الدائرة O {\displaystyle O} . من مبرهنة التعامد: O T ⊥ ⊥ --> P T {\displaystyle OT\perp PT} ، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم: △ △ --> O T P {\displaystyle \triangle OTP} ، فإنَّ O T 2 + P T 2 = O P 2 {\displaystyle OT^{2}+PT^{2}=OP^{2}} أو بشكلٍ مكافئ: O P 2 − − --> O T 2 = P T 2 = O P 2 − − --> r 2 {\displaystyle OP^{2}-OT^{2}=PT^{2}=OP^{2}-r^{2}} .[ِ 8][ِ 3]
الدائرتان المتقاطعتان هما دائرتان تشتركان بنقطتين وهو أعلى عدد من النقاط الممكن اشتراكه بين دائرتين. يُعبّر عن ذلك رياضياً كالآتي: باعتبار r 1 {\displaystyle r_{1}} نصف قطر الدائرة الأولى و r 2 {\displaystyle r_{2}} نصف قطر الدائرة الأخرى فإن المستقيم ℓ ℓ --> {\displaystyle \ell } الواصل بين المركزين يحقق المعادلة:[54] r 1 + r 2 < ℓ ℓ --> < r 1 − − --> r 2 {\displaystyle r_{1}+r_{2}<\ell <r_{1}-r_{2}}
الدائرتان متحدتا المركز: ⊙ ⊙ --> O {\displaystyle \odot O} التي نصف قطرها O A ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {OA}}} و ⊙ ⊙ --> O {\displaystyle \odot O} التي نصف قطرها O B ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {OB}}} دائرتان متحدتا المركز. تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما، ويحققان: ⊙ ⊙ --> O 1 ≅ ≅ --> ⊙ ⊙ --> O 2 ⇔ ⇔ --> O 1 A ¯ ¯ --> ≅ ≅ --> O 2 B ¯ ¯ --> {\displaystyle \odot O_{1}\cong \odot O_{2}\Leftrightarrow {\overline {O_{1}A}}\cong {\overline {O_{2}B}}} .[ِ 2]
تُسمَّى العدسة الناتجة عن تقاطع دائرتين متطابقتين عدسة متناظرة، عدا ذلكَ فتُسمّى عدسة جامعة أو غير متناظرة. تُقاس مساحة العدسة المتناظرة بدلالة زاوية القوس المحصورة به θ θ --> {\displaystyle \theta } بالراديان ونصف قطر الدائرتين R {\displaystyle R} بالصيغة الآتية:[57][58] A = R 2 ( θ θ --> − − --> sin --> θ θ --> ) {\displaystyle A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)} بإزالة العدسة من إحدى الدوائر المُتقاطعة يتكوَّن شكل الهلال. وبشكل أكثر عمومية، فإن تقاطع أي دائرتين يُنتج عدسةً وهلالينِ. هلال أبقراط هو هلال مُتكوِّن من تقاطع دائرتين، قُطر إحداهما هو وترٌ في الأخرى.[59][60]
في نظرية الزمر، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ التناظر الانعكاسي وخاصيةَ التناظر الدوراني. زُمرة تماثل الدائرة هي زمرةٌ متعامدةٌ O ( 2 , R ) {\displaystyle O(2,R)} . زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى زمرة الدائرة ( T {\displaystyle \mathbb {T} } ) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.[61]
T = { z ∈ ∈ --> C : | z | = 1 } . {\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}~.}
في الدائرة ذات المركز O {\displaystyle O} والوتر A B ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AB}}} ، المثلث △ △ --> A B O {\displaystyle \triangle ABO} متطابق الضلعين. إذا كانت M {\displaystyle M} نقطة منتصف A B ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AB}}} فإنَّ △ △ --> A M O ≅ ≅ --> △ △ --> B M O {\displaystyle \triangle AMO\cong \triangle BMO} من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ ∠ ∠ --> A M O ≅ ≅ --> ∠ ∠ --> B M O {\displaystyle \angle AMO\cong \angle BMO} وكذلك O M ⊥ ⊥ --> A B {\displaystyle OM\perp AB} . أيضاً الزاويتان ∠ ∠ --> A O M ≅ ≅ --> ∠ ∠ --> B O M {\displaystyle \angle AOM\cong \angle BOM} . إذا كانت P , Q {\displaystyle P,Q} نقطتا تقاطعِ المستقيمِ O M {\displaystyle OM} مع الدائرة، فإنَّ من تطابق △ △ --> O A P ≅ ≅ --> △ △ --> O B P {\displaystyle \triangle OAP\cong \triangle OBP} (SSS) والذي يُنتج A P ¯ ¯ --> ≅ ≅ --> B P ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AP}}\cong {\overline {BP}}} . كنتيجة، القوسان A P , B P {\displaystyle AP,BP} متطابقان أيضاً. بالمثل، △ △ --> A O Q ≅ ≅ --> △ △ --> B O Q {\displaystyle \triangle AOQ\cong \triangle BOQ} (من تطابق SAS) و A Q ¯ ¯ --> ≅ ≅ --> B Q ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AQ}}\cong {\overline {BQ}}} . وهذا يعني أن الدائرةَ O {\displaystyle O} ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر A B ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AB}}} . إذن، مركز أي دائرة هو تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة.[49][ِ 8]
إذا كانت T {\displaystyle T} تقاطع مماسات الدائرة عند A , B {\displaystyle A,B} ، فمن مبرهنة فيثاغورس، T A 2 = T O 2 − − --> O A 2 = T O 2 − − --> O B 2 = T B 2 {\displaystyle TA^{2}=TO^{2}-OA^{2}=TO^{2}-OB^{2}=TB^{2}} . مما يعني أنَّ T A = T B {\displaystyle TA=TB} . بعبارةٍ أخرى، قطعتا التماس المنطلقة من نقطة إلى دائرة متطابقانِ. من تطابق (SSS تطابق) فإنَّ ∠ ∠ --> O A T ≅ ≅ --> ∠ ∠ --> O B T {\displaystyle \angle OAT\cong \angle OBT} ، إذن، الزاوية T O A = T O B {\displaystyle TOA=TOB} ، ومن النتيجة السابقة، فإنَّ T {\displaystyle T} تقع على المنصف العمودي لـ A B {\displaystyle AB} . إذا قطع مُستقيمان مُتوازيان الدائرة O {\displaystyle O} في A B ¯ ¯ --> ∥ ∥ --> C D ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}} فإنَّ الشكلَ الناتج هُو شبه مُنحرف متطابق الساقين. والعكس صحيحٌ أيضاً، فإن كُلَّ شبهِ مُنحرفٍ متطابق الساقين يُعدُّ رباعيَّاً دائريَّاً.[49][ِ 8]
تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:[49][ِ 3][ِ 2]
ليكن A B ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AB}}} وتراً في الدائرة C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} . بتطبيقِ متباينة المثلث: O B + O C > A B {\displaystyle OB+OC>AB} لكنَّ O A = O B = r {\displaystyle OA=OB=r} ، إذن بالتعويض ينتجُ A B < 2 r {\displaystyle AB<2r} . أي أنّ: «طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن طول القطر». وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون A B {\displaystyle AB} قطراً في الدائرة.[ملاحظة 24] في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة، يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما. والعكس صحيحٌ أيضاً، أي أنَّ أطوال أوتار الدائرة الواحدة أو الدوائر المتطابقة، تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة. بفرض أن الوترين A B ¯ ¯ --> , C D ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AB}},{\overline {CD}}} لهما الطول نفسه في الدائرة C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} ، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: O A = O B = O C = O D = r {\displaystyle OA=OB=OC=OD=r} . وعلى ذلك △ △ --> O A B ≅ ≅ --> △ △ --> O C D {\displaystyle \triangle OAB\cong \triangle OCD} ، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب. مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح. كما أنَّ الوترَ الأكبرَ يبعُدُ بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.[ِ 2]
عمق القوس (بالإنجليزية: Sagitta) هو قطعة مستقيمة تصل بين منتصف قوسٍ ومنتصف وتره.[62] تُستعمل حسابات عمق القوس بكثافة في العمارة. يُحسب عمق القوس ذي الزاوية θ θ --> {\displaystyle \theta } في الدائرة التي نصف قطرها r {\displaystyle r} بالصيغة:[ملاحظة 25]
s = r versin --> θ θ --> = r ( 1 − − --> cos --> θ θ --> ) = 2 r sin 2 --> θ θ --> 2 . {\displaystyle s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.} بشكلٍ مُماثل، يُقاسُ طول الوتر المحصور في قوس قياس زاويته θ θ --> {\displaystyle \theta } بالصيغة 2 r sin --> θ θ --> {\displaystyle 2r\sin \theta } .[63] أما إذا أُعطي وترٌ طوله y {\displaystyle y} وقوسٌ يحصر الوتر ذو عمقٍ مساوٍ لـ x {\displaystyle x} فباستعمال مبرهنة فيثاغورس يُقاس نصف قطر الدائرة المارَّة بالوتر وعمق القوس كالآتي:[64][65] r = y 2 8 x + x 2 . {\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}
خط القوة أو المحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis) لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما. وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً تكون نقاطه متساوية القوى بالنسبة للدائرتين؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. خط القوة عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. ومن خصائصه:[66][ِ 3]
لتكن A , B , C {\displaystyle A,B,C} دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنصُّ على أنَّ الثلاثَ خطوط القوة لكل زوجِ دوائرَ إما أن تتوازى أو تلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُقال تقنياً أيضاً عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنّها تلتقي في نقطة في اللانهاية.[66]
وبُرهانُ ذلك: من خواصّ خط القوة لزوجِ دوائرَ، أنَّ المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين A , B {\displaystyle A,B} مع محور الأساسي الدائرتين C , D {\displaystyle C,D} في نقطة M {\displaystyle M} فإنَّ المماسات المنطلقة من M {\displaystyle M} لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أنَّ: P o w ( M , A ) = P o w ( M , B ) {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(M,A)={\mathcal {Pow}}(M,B)} وأيضاً P o w ( M , B ) = P o w ( M , C ) {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(M,B)={\mathcal {Pow}}(M,C)} فبالتعدّي، يُصبح P o w ( M , C ) = P o w ( M , A ) {\displaystyle {\mathcal {Pow}}(M,C)={\mathcal {Pow}}(M,A)} وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإنّ النقطة M {\displaystyle M} تقعُ على خط القوة للدائرتين C , A {\displaystyle C,A} وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة M {\displaystyle M} . من البرهانِ السابق، تَصيرُ النقطة M {\displaystyle M} مركزاً لدائرةٍ تقطعُ الدوائر الثلاث. وتُعدّ هذه الدائرةُ دائرةً وحيدةً لكُلِّ 3 أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدةً عليهم جميعاً.[66]
لِكلّ مثلثٍ[ملاحظة 26] ثمَّةَ دائرةٌ وحيدةٌ تمرُّ برؤوسه. وتُسمَّى هذه الخاصيَّة التي تتمتع بها المُضلعات من أن تقع رؤوسها على دائرة ما «الدّائريَّة»، فيُقال عن المُضلّع أنه «دائري» إذا وُجدت دائرة تمر بجميع رؤوسه. أما النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية فتُسمَّى نقاطاً مُشتركةً بدائرةٍ. على الرغم من ان جميع المثلثات دائرية، إلا أنّ ليست جميع المُضلَّعات الأخرى تتمتع بنفس هذه الخاصية. فعلى سبيلِ المثال، جميعُ المضلّعات المُحدَّبة تستحيل وجود دائرة تمر بجميع رؤوسها، وليست جميعُ الرباعيات لها دوائرَ مُحيطة. فجميعُ المُعيَّنات غير المربعة لا يُمكن أن تقع رؤوسها على دائرة. هناك أشكال شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها المستطيل وشبه منحرف متساوي الساقين، واللذان يُصنّف من ضمنهما المُربّع أيضاً وكذلك المُضلَّعات المُنتظِمة. للرباعيات الدائرية والمضلعات الدائرية الأخرى عموماً نظريات خاصة تنطبق عليها.[ِ 2][67]
هُناك علاقة أخرى تربط الدائرة بالمضلعات، وهي التّماسُّ. تُعرَفُ المضلعاتُ المماسيَّة على أنها مُضلّعات توجد لها دائرة تمسُّ جميعَ أضلاعها أو امتداداتها. جميع المُثلَّثات والمُضلّعات المنتظمة مُضلعات مماسية. ولها خواص ونظريات خاصة تنطبق عليها أيضاً.[67]
تُصنّف مراكز الدوائر الخاصة بالمثلث على أنها من مراكز المثلث. من أبرزها: دائرة المثلث الداخلية، دائرة المثلث المحيطة، دائرة النقاط التسع و3 دوائرَ خارجية للمثلث.[ِ 3][ِ 8] لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث لكل مثلث توجد ثلاث دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه. تُنشأُ الدوائر الماسة للمثلث[ملاحظة 27] بأخذ منصفات الزوايا الخارجية والداخلية للمثلث، إذ تتقاطع هذه المنصفات في مراكز الدوائر الماسة. يمرُّ خط أويلر بمركزَي الدائرتين البارزتين في المثلث: دائرة النقاط التسع ودائرته المحيطة، بالإضافة إلى نقطتي ملتقى ارتفاعات المثلث وملتقى متوسطاته. كما تربط مبرهنة فويرباخ بين أبرز دوائر المثلث: دائرة النقاط التسع ودوائره الماسة: الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث.[68][ِ 8]
تُعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لمركز دائرة المثلث المُحيطة بالصيغة:[24][ِ 8] a ( b 2 + c 2 − − --> a 2 ) : b ( c 2 + a 2 − − --> b 2 ) : c ( a 2 + b 2 − − --> c 2 ) {\displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2})} يرتبطُ نصفُ قطرِ مُحيطةِ الُمثلَّثِ بعلاقةٍ هامّة تُسمّى قانون الجيوب أو قانون الجيوب المُوسَّع:[ِ 3][ِ 8] 2 R = a sin --> A = b sin --> B = c sin --> C . {\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.} كما يُعبّرُ عنه في علاقاتٍ أخرى مُشتقّةٍ من قانون الجيب الموسّع وصيغة هيرون لمساحة المثلث:[24][ِ 8] 2 R = a b c 2 ⋅ ⋅ --> area = | A B | | B C | | C A | 2 | Δ Δ --> A B C | = a b c 2 s ( s − − --> a ) ( s − − --> b ) ( s − − --> c ) = 2 a b c ( a + b + c ) ( − − --> a + b + c ) ( a − − --> b + c ) ( a + b − − --> c ) {\displaystyle {\begin{aligned}2R&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}
والصيغةُ المُثلَّثية المكافئة لما سبق تكون كالآتي:[24][ِ 8]
2 R = 2 ⋅ ⋅ --> area sin --> A sin --> B sin --> C . {\displaystyle 2R={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.} تربط مبرهنة أويلر في الهندسة بين شُعاعَي الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية بالعلاقة:[69][70][ِ 8] O I = R ( R − − --> 2 r ) {\displaystyle OI={\sqrt {R(R-2r)}}} تُقاسُ المسافةُ بين مركز محيطة المثلث ونقطة تقاطع ارتفاعاته بالصيغة:[71][72] O H = R 2 − − --> 8 R 2 cos --> A cos --> B cos --> C = 9 R 2 − − --> ( a 2 + b 2 + c 2 ) . {\displaystyle OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}
تنص مبرهنة كارنو على أنَّ مجموع الأبعاد المُؤشّرة من مركز محيطة المثلث إلى أضلاعه يساوي مجموع شعاعَيْ دائرتَيْ المثلث المحيطة والداخلية:[73] D F + D G + D H = R + r {\displaystyle DF+DG+DH=R+r} دائرة النقاط التسع هي دائرةٌ في المثلث تَمُرُّ بتسعِ نقاطٍ مُهمّةٍ فيه. تحديداً:[74][75][76][ِ 8]
من تعريفات دائرة النقاط التسع أنَّها صورة دائرة المثلث المحيطة بعد تحاكٍ مركزه ملتقى الارتفاعات ومعامل تصغير النصف. وكنتيجة، فإنَّ قطر دائرة النقاط التسع يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة. وكذلكَ فإنَّ دائرة النقاط التسع تمر بمنتصف أيّ وتر يمر بنقطة ملتقى ارتفاعات المثلث. بينما بشكلٍ مُشابه، يُنصّف مركز دائرة النقاط التسع (والذي يُرمز إليه بالنقطة N {\displaystyle N} ) القطعة المستقيمة O H ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {OH}}} الواصلة بين مركز محيطته ونقطة ملتقى ارتفاعاته أي أنَّ: N O ¯ ¯ --> = N H ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {NO}}={\overline {NH}}} .[68][ِ 8]
الرباعي الدائري هو مُضلع رباعي تُوجَدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسِه.[ملاحظة 28] الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط مُتكافئة، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها شروطٌ كافية وضرورية أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى أن يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً إذا وفقط إذا:[ِ 3][77]
جميعُ المربعات، المستطيلات، أشباه المنحرف متطابقة الساقين وأضداد متوازي الأضلاع رباعيات دائرية. بينما الطائرة الورقية تُعدُّ دائريةً إذا وفقط إذا احتوت على زاويتين قائمتين. والرباعي التوافقي هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.[78][ِ 8]
بحسب صيغة مساحة براهماغوبتا، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه: a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} ونصف محيطه s {\displaystyle s} حيث S = a + b + c + d 2 {\displaystyle S={\frac {a+b+c+d}{2}}} بالصيغة الآتية:[ِ 8][79]
A = ( s − − --> a ) ( s − − --> b ) ( s − − --> c ) ( s − − --> d ) {\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} في القرن الخامس عشر الميلادي، استنتج العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:[79][ِ 8] R = 1 4 ( a b + c d ) ( a c + b d ) ( a d + b c ) ( s − − --> a ) ( s − − --> b ) ( s − − --> c ) ( s − − --> d ) {\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}
المُضلَّع المماسي هو مضلع تُوجد دائرة ما تمس جميع أضلاعه. تُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرةَ الدَّاخليَّةَ للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ. فإذا كان الرباعي المُحيط دائرياً أيضاً سُميَّ رباعيّاً ثُنائيَّ المركزِ.و يُختص الرباعي ثنائي المركز (بالإنجليزية: Bicentric quadrilateral) على أنه رباعي مماسي ودائري ومن خواصه أنَّ مجموعَ أطوالِ أضلاعِه المتقابلةِ مُتساوٍ. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي (بالإنجليزية: Ex-bicentric quadrilateral) هو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه.[78][80][ِ 8]
يحتوي المضلع المحدب على دائرةٍ داخليةٍ إذا وفقط إذا التقت جميع منصفات زواياه في نقطة وحيدة. تُعرف هذه النقطة على أنها مركز دائرته الداخلية. أما إذا كانت أضلاع مضلع ذو n {\displaystyle n} رأس هي a 1 , a 2 , . . . , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}} ومساحته K {\displaystyle K} ونصف محيطه s {\displaystyle s} فإنَّ نصف قطر دائرته الداخلية يُحسب بالصيغة:[81] r = K s = 2 K ∑ ∑ --> i = 1 n a i {\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}
بالإضافة إلى مبرهنتَيْ خطُّ القوة وقوة النقطة اللتين ذُكرتا وبقية مبرهنات الزوايا الخاصة بالدائرة، فإنّ هناك مبرهناتٌ أخرى مُتعلقةٌ بالدائرةِ، من أبرزها وأكثرها استعمالاً:
مبرهنة بطليموس هي مبرهنة تربط بين أضلاع الرباعي الدائري وقطريه. سميت هذه المبرهنة نسبةً لعالم الفلك والرياضيات الإغريقي بطليموس. وتنص على أنَّ مجموع جداء كُلٌّ من ضلعي رباعي متقابلين مُساوٍ لجداء قُطرَيْه إذا وفقط إذا كان الرباعيُّ دائريّاً. يُعبَّرُ عن العلاقةِ السابقة رياضياً كالآتي: A C ¯ ¯ --> ⋅ ⋅ --> B D ¯ ¯ --> = A B ¯ ¯ --> ⋅ ⋅ --> C D ¯ ¯ --> + B C ¯ ¯ --> ⋅ ⋅ --> A D ¯ ¯ --> {\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}} . كما أنَّ عكسَ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً.[82][83][ِ 8]
خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارد أويلر، هو مُستقيمٌ مُعرّفٌ لكلِّ مثلثِ مختلف الأضلاع. يمرُّ بعدّة مراكز بارزة للمثلث. حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. برهن أويلر في عام 1767م أن أربعة من مراكز المثلث تتسامت، وهي: ملتقى الارتفاعات H {\displaystyle H} ، ملتقى المتوسطات G {\displaystyle G} ، مركزَي الدائرتين المحيطية ودائرة النقاط التسع O , N {\displaystyle O,N} . تنطبق هذه النقاط عند كَوْنِ المثلث متطابقَ الأضلاعِ. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما.[84]
خط سيمسون (بالإنجليزية: Simson line) هو مستقيمٌ يمُرّ بمساقط نقطةٍ مشتركةٍ مع مثلثٍ في دائرته المحيطة على أضلاعه. رياضياً: إذا كان △ △ --> A B C {\displaystyle \triangle ABC} مثلثاً ذو دائرةٍ محيطةٍ Ω Ω --> {\displaystyle \Omega } والنّقطةُ P {\displaystyle P} واقعةٌ عليها ومساقطها على مستقيمات المثلث C A , A B , B C {\displaystyle CA,AB,BC} هي L , M , N {\displaystyle L,M,N} على الترتيب، فإنّ النقاط L , M , N {\displaystyle L,M,N} هي نقاطٌ متسامتةٌ ويُسمّى خطّها خط سيمسون. كما أنَّ عكسَ المبرهنة صحيحٌ أيضاً؛ إذا تسامتت مساقطُ نقطةٍ على أضلاع مثلث، فلا بدَّ أنَّ تقع هذه النقطة على دائرة المثلث المحيطة. بالإمكان التعبير عن ذلك أيضاً بأنَّ نقطةً ينعدمُ عندها مثلث المساقط إذا وفقط إذا وقعت على دائرته المحيطة.[85][86][87]
في الهندسةِ الإسقاطية، تنصُّ مُبرهنةُ باسكال (بالإنجليزية: Pascal's theorem) على أنَّ لأيّ ستِّ نقاطٍ على قطعٍ مخروطيٍّ (أي: قطع ناقص، مكافئ أو زائد) وُصِلَت بينَهم قطعٌ مستقيمةٌ بأيّ ترتيبٍ بحيث تُشكّل سداسياً، فإنَّ أزواجَ الأضلاع المتقابلة من السداسي (أو امتداداتها) تتتلاقى في نقاطٍ تتسامتُ على خطّ يُسمّى خطَّ باسكال للسداسي. أسميت المبرهنة نسبةً إلى بليز باسكال، وتصحُّ أيضاً في الهندسةِ الإقليدية إلا أن هناك حالة خاصة من أن تتوازى المستقيمات ينبغي أن تؤخذ بعينِ الاعتبار.[88]
الصيغة الرياضية لمبرهنة باسكال هي كالآتي: لأي سداسي A B C D E F {\displaystyle ABCDEF} تقع رؤوسه على قطعٍ مخروطيٍّ فإنّ ملتقياتِ أزواج المستقيمات الآتية مُتسامتة:[89][ملاحظة 29]
H = A F ∩ ∩ --> D C , G = A B ∩ ∩ --> D E , K = A F ∩ ∩ --> B C {\displaystyle H=AF\cap DC,G=AB\cap DE,K=AF\cap BC} .
كنتيجة لمبرهنة باسكال، تنتج العلاقة الآتية بين أطوال الأضلاع:[89]
G B ¯ ¯ --> G A ¯ ¯ --> × × --> H A ¯ ¯ --> H F ¯ ¯ --> × × --> K F ¯ ¯ --> K E ¯ ¯ --> × × --> G E ¯ ¯ --> G D ¯ ¯ --> × × --> H D ¯ ¯ --> H C ¯ ¯ --> × × --> K C ¯ ¯ --> K B ¯ ¯ --> = 1. {\displaystyle {\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.}
تنصُّ مبرهنة مونج (بالإنجليزية: Monge's theorem)، نسبةً إلى غاسبار مونج، على أنَّ لأيِّ 3 دوائر في المستوى لا تقع إحداهن داخل الأخرى تماماً، فإن ملتقيات أزواج المماسات المشتركة الخارجية تُسمّى مراكز التشابه الخارجية لأزواج الدوائر لها متسامتة.[90] بالإمكان إثبات مبرهنة مونج باستعمال مبرهنة ديزارغ وكذلك بمبرهنة مينيلاوس، حيث تُحسَب النسب الداخلة في المبرهنة باستعمال بدلالة أشعة الدوائر.[90]
تنص مبرهنة فويرباخ (بالإنجليزية: Feuerbach's theorem) على أنّ دائرةَ النقاط التسع لمثلثٍ ما تمسُّ دوائرَه الخارجية والداخلية. تُسمّى نقطة تماس دائرة النقاط التسع مع الدائرة الداخلية نقطة فويرباخ بينما نقاط تماس دائرة النقاط التسع مع دوائر المثلث الخارجية فتُسمّى مُثلثَ فويرباخ. وتُعدُّ نقطة فويرباخ مركزاً للمثلث. أي أن تعريفها لا يعتمد على أطوال أضلاع المثلث أو موضعه. أسميت النقطة نسبةً إلى المهندس الرياضي الألماني كارل فويرباخ والذي نشر مبرهنته عام 1822م. أقصر بُرهانٍ لمبرهنة فويرباخ هي باستخدام مبرهنة كايزي التي نشرها جون كايزي عام 1866م،[91] وذلك بتطبيقها على المماسات لدوائر المثلث الخارجية والداخلية الأربع تمسُّ الدائرة الخامسة.[92][93]
مبرهنة ميكيل (بالإنجليزية: Miquel's theorem) هي مبرهنة تخص تقاطع 3 دوائر تمر برؤوس مثلثٍ ما.[94] ورياضياً: إذا كان △ △ --> A B C {\displaystyle \triangle ABC} مثلثاً واختيرت النقاط A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} على أضلاعه C A , A B , B C {\displaystyle CA,AB,BC} فإنَّ الدوائر المحيطة بالمثلثات △ △ --> A B ′ C ′ , △ △ --> A ′ B C ′ , △ △ --> A ′ B ′ C {\displaystyle \triangle AB'C',\triangle A'BC',\triangle A'B'C} تُسمّى دوائرَ ميكيل، وهي دوائرٌ متلاقية في نقطة وحيدة M {\displaystyle M} تُسمّى نقطة ميكيل. ينطبقُ عكس مبرهنة ميكيل أيضاً، وتُبرهن باستخدام خصائص الرباعيات الدائرية الناتجة عن تقاطع الدوائر مع بعضها بعضاً ومع المثلث.[95][96]
مبرهنة كايزي (بالإنجليزية: Casey's theorem) وتُعرَفُ أيضاً على أنها تعميمُ مبرهنة بطليموس ، هي مبرهنةٌ في الهندسة الإقليدية أسميت نسبةً إلى الرياضياتي جون كايزي.[97] تعريفها الرياضي هو كالآتي: لتكن O {\displaystyle \,O} دائرةً شعاعها R {\displaystyle \,R} . ولتكن O 1 , O 2 , O 3 , O 4 {\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} أربعَ دوائرٍ غير متقاطعةٍ تقع داخل O {\displaystyle \,O} وتمسها على الترتيب. وليرمز t i j {\displaystyle \,t_{ij}} إلى المماس المشترك الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} ، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:[98]
لاحظ أنَّ الحالةَ المُنعدمةَ لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكسُ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً، أي إذا وجدت 4 دوائر تُحقق العلاقة السابقة فإنَّ هناكَ دائرةٌ تمسُّهم جميعاً.[97]
تنصُ مبرهنة الفراشة على أن الأوتار الواصلة بين طرفي وترين في دائرة يمران بمنتصف وتر ثالث يقطعان الوتر الثالث في نقطتين متناظرتين بالنسبة لمنتصفه. تُوصف هذه العلاقة رياضياً كالآتي: إذا كانت النقطة M {\displaystyle M} هي منتصف الوتر P Q {\displaystyle PQ} في دائرة، وُرسم وتران آخران A B , C D {\displaystyle AB,CD} يمران خلالها. فإنَّ المُستقيمان A D , B C {\displaystyle AD,BC} يقطعان الوتر P Q {\displaystyle PQ} في نقطتين متماثلتين X , Y {\displaystyle X,Y} حول M {\displaystyle M} ، أي أنَّ النقطة M {\displaystyle M} هي منتصف القطعة المستقيمة X Y {\displaystyle XY} .[99][100]
هُناكَ تحويلان هندسيانِ رئيسانِ بالنسبةِ للدوائر:
التحاكي (بالإنجليزية: Homothety) هو تحويل هندسي ينقل الخطوط المُستقيمة المتوازية إلى خطوط مُتوازية بمعامل تكبير عدد حقيقي غير صفري. للدائرتان المُتباعدتان مركزا تشابهٍ (أو تحاكٍ) اثنان: مركز التشابه الخارجي ومركز التشابه الداخلي. ولأنَّ جميعَ الدوائرِ مُتشابهةٌ، فإنَّه يُوجد مركز تشابهٍ (أو تحاكٍ) واحدٍ على الأقل لكل دائرتين. بالإمكان إيجاد مركزَيْ التحاكي لدائرة بعدد من الطرق. في الهندسة التحليلية، مركز التشابه الداخلي يُحسَبُ بالمتوسط الموزون لمركزي الدائرتين موزوناً بنصفي قطري الدائرتين. رياضياً، لتكن C 1 = ( x 1 , y 1 ) , C 2 = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle C_{1}=(x_{1},y_{1}),C_{2}=(x_{2},y_{2})} مركَزَيْ الدائرتين و r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} هما نصفَيْ قُطريهما. فإنَّ مركز التشابه الداخلي ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} يُحسَب عبر الصيغة:[101][102]
( x 0 , y 0 ) = r 2 r 1 + r 2 ( x 1 , y 1 ) + r 1 r 1 + r 2 ( x 2 , y 2 ) . {\displaystyle (x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}
بينما يُحسب مركز التشابه الخارجي ( x e , y e ) {\displaystyle (x_{e},y_{e})} بصيغةٍ مُماثلة عدا أنَ الإشارة مُختلفة.[101]
( x e , y e ) = − − --> r 2 r 1 − − --> r 2 ( x 1 , y 1 ) + r 1 r 1 − − --> r 2 ( x 2 , y 2 ) . {\displaystyle (x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).} كنتيجةٍ من خصائص التحاكي، يمر خط المركزين لدائرتين بمركزَيْ تشابههما الخارجي والداخلي. بالنسبة للدائرتين المُتماستين خارجياً، فإنّ طول قطعة التماس لهما مُساوٍ لوسط شعاعيهما التوافقي.[101] تربط مبرهنة مونج بين مراكز التشابه الخاصة بثلاثٍ من الدوائر مثنىً مثنىً. وتنصُّ على أنَّ كلَّ ثلاثَةِ مراكزِ تشابهٍ لزوجٍ من الدوائر حاصل ضرب إشاراتها 1 {\displaystyle 1} [ملاحظة 30]، فإنّ هذه المراكز متسامتة.
التعاكس (بالإنجليزية: Inversion) هو تحويل هندسي يعكِسُ كلَّ نُقطةٍ على المُستوى حول دائرةٍ ثابتة. يُعرّف انعكاسُ النقطة P {\displaystyle P} المُختلفة عن المركز حول الدائرة C ( O , r ) {\displaystyle C(O,r)} على أنه نُقطةٌ P ′ {\displaystyle P'} تقع على الشّعاع O P → → --> {\displaystyle {\overrightarrow {OP}}} تُحقّق العلاقة: O P ⋅ ⋅ --> O P ′ = r 2 {\displaystyle OP\cdot OP'=r^{2}} . هُناك اختلاف حول صورة المركز O {\displaystyle O} ، هناك من يُعرِّفُه على أن صورة O {\displaystyle O} هي نفسها، لكن في الغالب فإنَّه يُعرّف على أنه نقطة في اللانهاية. إنّ التعاكسَ الذي ينقلُ النقطةَ P {\displaystyle P} إلى صورتها P ′ {\displaystyle P'} أيضاً ينقل الصورة P ′ {\displaystyle P'} إلى الأصل P {\displaystyle P} ؛ وبهذا تكون دالة التحويل الهندسي الخاصة بالتعاكس دالةً ارتداديَّة، أي بعبارةٍ أخرى: الأصل يؤدي إلى الصورة والصورة تؤدي إلى الأصل.[55][103][104]
ينقل التعاكس كُل نقطة داخل الدائرة إلى صورةٍ نظيرةٍ لها خارجها، وكل نقطة تقع على محيط الدائرة فإنَّها تبقى كما هي. يُعبِّر هذا التحويل الهندسي عن اختزالٍ للصورة المستوى اللا نهائي الواقعة عليه الدائرة، بمعنى أنه كلما قربت النقطة من مركز الدائرة كُلمَّا كانت صورتها أبعد عن الدائرة، وكلَّما كانت النقطة بعيدة من مركز الدائرة فإن صورتها تُصبح أقرب لمركز الدائرة.[55][103]
يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة.[ملاحظة 31] دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية للدول المثلثية تسمحُ بتعريفِها للزوايا بينَ 0 و π π --> 2 {\textstyle {\frac {\pi }{2}}} راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.[105][106]
تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ θ θ --> {\displaystyle \theta } [ملاحظة 32] دائرةَ الوحدةِ في النقطة A = ( x , y ) {\displaystyle A=(x,y)} فإنّ الدالةُ cos --> θ θ --> {\displaystyle \cos \theta } تُعرّف على أنها الإحداثي x {\displaystyle x} والدالة sin --> θ θ --> {\displaystyle \sin \theta } هي الإحداثي y {\displaystyle y} لنقطة التقاطع، وبمعنى آخر فإنَّ: ( x , y ) = ( cos --> θ θ --> , sin --> θ θ --> ) {\displaystyle (x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )} . وبرسم مماس من النقطة ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} يقطع محورَي السينات والصادات في النقطتين E = ( a , 0 ) , F = ( 0 , b ) {\displaystyle E=(a,0),F=(0,b)} على الترتيب، فإنَّ a = sec --> θ θ --> , b = csc --> θ θ --> {\displaystyle a=\sec \theta ,b=\csc \theta } .
يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة ( 0 , π π --> 2 ) {\displaystyle (0,{\frac {\pi }{2}})} باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة O A = r {\displaystyle OA=r} هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة P = ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P=(x_{0},y_{0})} على دائرة الوحدة تُحقّق أنَّ x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم △ △ --> O C A {\displaystyle \triangle OCA} . فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات x , y {\displaystyle x,y} يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس: cos 2 --> θ θ --> + sin 2 --> θ θ --> = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1} .[107][108] وأخيراً فإنَّ المسافات A F , A E {\displaystyle AF,AE} تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: cot --> θ θ --> , tan --> θ θ --> {\displaystyle \cot {\theta },\tan {\theta }} على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة △ △ --> O A F , △ △ --> O A E , △ △ --> O E F {\displaystyle \triangle OAF,\triangle OAE,\triangle OEF} للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:[109]
بما أنَّ دوراناً بزاوية ± ± --> 2 π π --> {\displaystyle \pm 2\pi } لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط F , A , E {\displaystyle F,A,E} ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ 2 π π --> {\displaystyle 2\pi } . وعلى ذلكَ، فإنَّ المساواةَ sin --> θ θ --> = sin --> ( θ θ --> + 2 k π π --> ) {\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)} و cos --> θ θ --> = cos --> ( θ θ --> + 2 k π π --> ) {\displaystyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)} صالحةٌ لأي زاوية θ θ --> {\displaystyle \theta } ولأي عدد صحيح k {\displaystyle k} . تنطبق الخاصية ذاتها على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.
في النظام الإحداثي الديكارتي، إذا كانت النقطة ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} مركزاً لدائرةٍ C ( a , b ) {\displaystyle C(a,b)} نصف قطرها r {\displaystyle r} ، والنُّقطةُ ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} مُتغيّرةً على مُحيطِ الدائرةِ، فإنَّ من تعريف الدائرة الذي ينص على أن البُعد بين النقطتين C , P {\displaystyle C,P} هو بُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى r {\displaystyle r} ، فإنَّ مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي الديكارتي هي الآتي:[ِ 1]
تنبثقُ هذه المعادلةُ أيضاً من مبرهنة فيثاغورس عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر r {\displaystyle r} . عندئذٍ، تُصبحُ المسافتان x − − --> a {\displaystyle x-a} و y − − --> b {\displaystyle y-b} طُولَينِ للضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. هناك ثلاثةُ مواضعٍ للدائرةِ بالنّسبةِ للمحاورِ الإحداثيَّةِ: دائرةُ المركزِ ودائرة مماسة للمحور الأفقي ودائرة مماسة للمحور الرأسي. تُعتبرُ مُعادلة كلٌّ منها عن حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية.
كحالة خاصّة، تُحسب معادلة دائرة المركز، وهي الدائرة التي مركزها نقطة تقاطع المحورين، عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} تُصبح المُعادلة بتعويض قيم a , b {\displaystyle a,b} : كالآتي[ِ 1] x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\!\ } وبالإمكانِ كتابةُ هذهِ المعادلةِ على شكل معادلة وسيطية[ملاحظة 33] (بالإنجليزية: Parametric equation) باستعمال الدوال المثلثية: جيب وجيب تمام على الشكل الآتي: x = a + r cos --> t , {\displaystyle x=a+r\,\cos t,\,} y = b + r sin --> t {\displaystyle y=b+r\,\sin t\,} حيث أن t {\displaystyle t} هو وَسِيطٌ (بالإنجليزية: Parameter) تتغيرُ قيمتُه بين العددين 0 {\displaystyle 0} و 2 π π --> {\displaystyle 2\pi } . هندسيَّاً، يُمثّل هذا الوسيطُ الزاويةَ التي يُكَوِّنُها الشَّعاعُ المَارُّ بالنقطتين ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} و ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} مع المحور الأفقي. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضاً دائرة:
إذا كانت الدائرة تمس المحور الأفقي فتُسمّى دائرة مماسة للمحور الأفقي وتُصبح المُعادلة على الصورة: ( x − − --> a ) 2 + ( y − − --> r ) 2 = r 2 {\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-r\right)^{2}=r^{2}} . وبصورةٍ مماثلةٍ، إذا كانت الدائرة مماسةً للمحور الرأسي فتُصبح المُعادلة على الصورة: ( x − − --> r ) 2 + ( y − − --> b ) 2 = r 2 {\displaystyle \left(x-r\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}} .[ِ 1]
كما أنه بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان A B {\displaystyle AB} قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين A , B {\displaystyle A,B} هي A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})} بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} على مُحيط الدائرة وبما أن A B {\displaystyle AB} قُطر في الدائرة، فإن m A P B ^ ^ --> = 1 2 ⋅ ⋅ --> 180 = 90 {\displaystyle m{\widehat {\displaystyle APB}}={\frac {1}{2}}\cdot 180=90} وعليه فإن A P ⊥ ⊥ --> P B {\displaystyle AP\perp PB} ، ليكن ميل المستقيمين m 1 , m 2 {\displaystyle m_{1},m_{2}} هما على الترتيب، حيث:[ِ 1]
m 1 = y − − --> y 1 x − − --> x 1 , m 2 = y − − --> y 2 x − − --> x 2 {\displaystyle m_{1}={\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}},m_{2}={\frac {y-y_{2}}{x-x_{2}}}} ولِكَوْن A P ⊥ ⊥ --> P B {\displaystyle AP\perp PB} فإن m 1 m 2 = − − --> 1 {\displaystyle m_{1}m_{2}=-1} وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:[ِ 1] ( x − − --> x 1 ) ( x − − --> x 2 ) + ( y − − --> y 1 ) ( y − − --> y 2 ) = 0 {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0} إذا كانت P = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P=(x_{1},y_{1})} نقطةً على دائرةٍ نصف قطرها r {\displaystyle r} على المستوى الإحداثيّ، فإنَّ المماسَ المنطلقَ منها تُكتَب مُعادلَتُه على الشكل: ( x 1 − − --> a ) ( x − − --> a ) + ( y 1 − − --> b ) ( y − − --> b ) = r 2 . {\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.\!\ }
بالإمكان تحديد مُعادلة الدائرة من أي ثلاثِ نقاطٍ ليست على استقامةٍ واحدةٍ: ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})} عبر المعادلة الآتية: ( x − − --> x 1 ) ( x − − --> x 2 ) + ( y − − --> y 1 ) ( y − − --> y 2 ) ( y − − --> y 1 ) ( x − − --> x 2 ) − − --> ( y − − --> y 2 ) ( x − − --> x 1 ) = ( x 3 − − --> x 1 ) ( x 3 − − --> x 2 ) + ( y 3 − − --> y 1 ) ( y 3 − − --> y 2 ) ( y 3 − − --> y 1 ) ( x 3 − − --> x 2 ) − − --> ( y 3 − − --> y 2 ) ( x 3 − − --> x 1 ) {\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}}
يُعبَّر عن المُعادلة أحياناً بالمصفوفة الصفرية الآتية أيضاً:[31] [ x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 ] = 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{bmatrix}}=0} وبالإمكان كتابتها أيضاً على صورة المعادلة التربيعية:[31]
حيثُ أنَّ c = a {\displaystyle c=a} وَ:
a = [ x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 ] d = − − --> [ x 1 2 + y 1 2 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 y 3 1 ] e = [ x 1 2 + y 1 2 x 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 1 ] f = − − --> [ x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 ] {\displaystyle {\begin{aligned}a={\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{bmatrix}}\\d=-{\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&y_{3}&1\end{bmatrix}}\\e={\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&1\end{bmatrix}}\\f=-{\begin{bmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}\end{aligned}}} وعلى ذلك، تُصبح إحداثيات مركز الدائرة: ( x 0 , y 0 ) = ( − − --> d 2 a , − − --> e 2 a ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})=(-{\tfrac {d}{2a}},-{\tfrac {e}{2a}})} ونصف قطرها:[31]
r = d 2 + e 2 4 a 2 − − --> f a {\displaystyle r={\sqrt {{\frac {d^{2}+e^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {f}{a}}}}}
في النظام الإحداثي القطبي، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها r {\displaystyle r} ومركزها عن النقطة R ( a 1 , θ θ --> 1 ) {\displaystyle R(a_{1},\theta _{1})} يُمكن الحصول عليها باستخدام قانون جيب تمام الزاوية للمثلث △ △ --> O R P {\displaystyle \triangle ORP} ، حيث أنَّ النقطةَ P ( a , θ θ --> ) {\displaystyle P(a,\theta )} تُعبّرُ عن أيِّ نقطةٍ على الدائرةِ وذلك على الصورة:[ِ 1]
حيث أنّ ( r , θ θ --> ) {\displaystyle (r,\theta )} هي الإحداثية القطبية لنقطةٍ ما من الدائرة و ( r 0 , ϕ ϕ --> ) {\displaystyle (r_{0},\phi )} هي الإحداثية القطبية لمركزِ الدائرةِ. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة ( r , 0 0 ) {\displaystyle (r,0^{0})} فإن θ θ --> 1 = 0 0 {\displaystyle \theta _{1}=0^{0}} وَ a 1 = r {\displaystyle a_{1}=r} وعندئذٍ تأخذُ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة: a = 2 r cos --> θ θ --> {\displaystyle a=2r\cos \theta } .[ِ 1] وعند موقوع مركز الدائرة على النقطة ( r , π π --> 2 ) {\displaystyle (r,{\frac {\pi }{2}})} تأخذ المعادلة الصورة: a = 2 r sin --> θ θ --> {\displaystyle a=2r\sin \theta } .[ِ 1]
في المستوى العقدي، الدائرة ذات المركز c {\displaystyle c} ونصف قطر r {\displaystyle r} تُمَثَّلُ بالمعادلةِ | z − − --> c | 2 = r 2 {\displaystyle |z-c|^{2}=r^{2}\,} . وقد تُكتب أيضاً على الصورة الوسيطية الآتية: z = r e i t + c {\displaystyle z=re^{it}+c} . تُستخدم جذور الوحدة أو أعداد دي موافر أو الجذور النونية للعدد 1 من ضمن استعمالات الأعداد المركبة لإيجاد قيم دوال مثلثية وحل المسائل المتعلقة بالدائرة في الهندسة التحليلية. جذر الوحدة النوني هو عدد عقدي يقع على دائرة الوحدة، وعند رفعه للقوة n {\displaystyle n} ينتج واحداً.[110][111][112] تستعمل جذور الوحدة في عدة مجالات ولها أهمية كبيرة في نظرية الأعداد وحروف الزمر ونظرية الحقول وتحويل فوريي المنقطع.
في الدائرة ذات القطر d {\displaystyle d} والشعاع r {\displaystyle r} ، يكون مُحيطها C {\displaystyle C} :[31]
C = π π --> d = 2 π π --> r {\displaystyle C=\pi d=2\pi r}
بالإمكان الوصول إلى هذه النتيجة باستعمال صيغة طول القوس بالإحداثيات القطبية في التفاضل والتكامل:[31]
C = ∫ ∫ --> 0 2 π π --> r 2 + ( d r d θ θ --> ) 2 d θ θ --> = ∫ ∫ --> 0 2 π π --> r d θ θ --> = 2 π π --> r {\displaystyle C=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}d\theta =\int _{0}^{2\pi }{r}d\theta =2\pi r} استعمل أرخميدس طريقةَ استنفادٍ لحساب مساحة الدائرة. قطَّع فيها الدائرةَ إلى أربعةِ قطاعاتٍ مُتساوية، ثمَّ أعاد ترتيبها وأعاد تقطيها إلى قطاعاتٍ مُتساويةٍ مُجدداً، واستمرَّ في ذلك إلى أن وصل إلى شكلٍ مُشابهٍ لمتوازي الأضلاع:[31]
بُنيَت طريقةُ الاستنفادِ بناءً على افتراض أن الدائرة قُسمَّت إلى قطاعات مُتساوية، وأن الشكل الناتج الأخير سيكون قريباً جداً من متوازي الأضلاع. وعلى ذلكَ فتكونُ مساحة الدائرةِ مُساويةً لمساحةِ مُتوازي الأضلاع، والتي يُمكنُ حسابها بقانون المساحة الخاص بمتوازي الأضلاع: وهو جداء القاعدة في الارتفاع. قاعدة متوازي الأضلاع ستكون نصف المُحيط ( 2 π π --> r {\displaystyle 2\pi r} ) بينما ارتفاعه هو r {\displaystyle r} . وعلى ذلك تُصبح المساحة الكلية A = π π --> r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} . حل طريقة الاستنفاد بالإمكان إعادة صياغته لجعله أكثرَ رسميةٍ في البراهين الرياضية عبر صيغة التكامل الآتية:[31]
A = ∫ ∫ --> 0 2 π π --> d θ θ --> ∫ ∫ --> 0 r r d r = ( 2 π π --> ) ( 1 2 r 2 ) = π π --> r 2 {\displaystyle A=\int _{0}^{2\pi }{d\theta }\int _{0}^{r}rdr=(2\pi )\left({\frac {1}{2}}r^{2}\right)=\pi r^{2}}
الكرة أو الفلكة هي سطح هندسي ثنائي تام التناظر، ينتج عن دوران دائرة حول أحد أقطارها.[113][114][115] تختص الدائرة في تعريفها أن تكون النقاط التي تبعد البعد نفسه عن المركز على أن تكون في المستوى نفسه أيضاً، وبهذا فإن النظير الثلاثي الأبعاد للدائرة هو الكرة، حيث أنها مجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة في الفضاء. يتكون المقطع الجانبي للكرة من دوائر.
إذا قطع المستوى a x + b y + c z + d = 0 {\displaystyle ax+by+cz+d=0} الكرةَ x + y + z − − --> 2 h x − − --> 2 k y − − --> 2 m z + e = 0 {\displaystyle x+y+z-2hx-2ky-2mz+e=0} ، فانَّ المقطع الناتج سيكون دائرةً تُسمى دائرة المقطع. تكون دائرة المقطع أكبر ما یمكن عند مرور المستوى القاطع بمركز الكرة. وفي هذه الحالة، یكونُ نصف قطرِ الدائرة مساویاً لنصف قطر الكرة وتُسمَّى دائرة الكرة الكبرى. عدا ذلك، تسمى دائرة المقطع دائرة صغرى، لأن نصف قطرها أصغر من نصف قطر الكرة ومركزها یختلف عن مركز الكرة.[ِ 5]
هي مجسم ينتج عن دوران المستطيل حول أحد أضلاعه دورة كاملة فتكون قاعدة الاسطوانة دائرة. وبالإمكان تعريفه أيضاً على أنه مجسم يتشكل سطحه من جميع النقاط التي تبعد مسافة معينة عن قطعة مستقيمة معطاة.[116][117][118]
في الهندسة الرياضية متعددة الأبعاد، الهايبرسفير أو الكرة الفائقة (بالإنجليزية: Hypersphere) هي مجموعة نقاط تبعد مسافةً ثابتةً عن نقطة مُعطاة تُسمى المركز. تُعد الهايبرسفير متعددة الشعب. ومع زيادة نصف قطرها، يزداد انحناؤها. المستويات الفائقة والكرات الفائقة هي مثال على السطوح الفائقة.[119]
الفرجار من أكثر الأدوات شيوعاً التي تُستخدم لِرسمِ دوائرَ أو أقواسٍ دائريةٍ. والفرجار هو أداة هندسية تقنية بالإمكانِ استعمالُها أيضاً لقياس المسافات على الخرائط والمخططات المعمارية. غالباً ما يُصنع الفرجار من بلاستيك أو معدن، ويتَكوَّنُ من طرفين: أحدُهما رأسُ إبرةٍ مُدبّبةٍ والآخرُ قلم رصاصٍ أو حِبْرٍ. إلا أنه في الفترة الحالية، بعد تطور تقنيات التصوير والتصميم الحاسوبي، اختُزِلَ استِعمالُ الفرجار والمرسام كاستعمالٍ دارجٍ المدارس والجامعات لتعليم التصميم والهندسة الرياضية. تُرسَم الدائرة بتثبيت رأس الفرجار المدبب (أو الإبرة) على الورقة ووضع رأس القلم على الورقة وتدويره حول القطعة المثبتة. كما يُتَحكَّمُ بقياسٍ نصفِ قطرِ الدائرةِ عن طريق تعديل قياس الفتحة بين القطعتين: الرأس المدبب والقلم، باستخدام المفصل العلوي للفرجار.[120]
الإنشاء بمسطرة وفرجار هو إنشاء أضلاع، زوايا، وأشكال هندسية أخرى عبر استعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي الهندسةِ الإقليدية، هاتان الأداتان هُما الوحيدتان المسموح باستخدامهما. وهو ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار».[10][11] تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ. إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.[12]
القائمة الآتية تستعرض أبرز وأهم الإنشاءات الهندسية بالمسطرة والفرجار التي تدخل فيها الدائرة بوصفها عنصراً أساسيّاً:
تربيع دائرة هي معضلةٌ وضعَها علماء الهندسة القدامى. تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من الخطوات فقط بواسطة الفرجار والمسطرة. في عام 1882، أُثبت أن هذه المهمة مستحيلة، نتيجة لمبرهنة ليندمان-فايرشتراس التي تُبرهن على أن π π --> {\displaystyle \pi } عدد متسام بدلا من أن يكون مجرد عدد جبري غير كسري (عدد جبري هو عدد يكون جذرا لمتعددة حدود عواملها كلها أعداد كسرية).[121]
عُرفت مسألة مضاعفة المكعب في العديد من الأجناس كالمصريين، الإغريق، والهنود.[122][123] تتمثل المسألة في تحويل أي مُكعّبٍ مُعطى إلى مُكعّب ذي ضعف الحجم. رياضياً، من المكعب ذي طولِ الضلع s {\displaystyle s} والحجم V {\displaystyle V} ، المطلوب إنشاء مكعب جديد بحجم 2 V {\displaystyle 2V} . أي أنَّ طول ضلع المكعب الجديد s ⋅ ⋅ --> 2 3 {\displaystyle s\cdot {\sqrt[{3}]{2}}} . أثبت استحالة عمل ذلك بإنشاءات الفرجار والمسطرة بعد إثبات استحالة وجود ضلع طوله 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} بالمسطرة والفرجار.[124][125]
مسألة تثليث الزاوية تبحث حول إيجاد إنشاء بالمسطرة والفرجار برسم 3 مستقيمات تقسم الزاوية إلى 3 زوايا مُتساوية القياس. ثبت استحالة إيجاد حل باستعمال المسطرة والفرجار على صورتها العامة لأي زاوية، لكن هناك زوايا خاصة مثل 90 بالإمكان تثليثها عبر إنشاءات المسطرة والفرجار.[126][127][128]
عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. ولوحظت الدّوائر في الطبيعيّة، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. كانت الدائرة الأساس للعجلة، والتي ارتبطت لاحقاً بابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، ساعدت دراسة الدائرة في تطوير علوم الهندسة، الفلك، التفاضل والتكامل. بينما ارتبطت العلوم المُبكّرة كالهندسة، التنجيم، والفلك بالأديان عند معظم علماء القرون الوسطى، والعديد منهم اعتقد بأن الدائرة - جوهريّاً - تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو «كاملاً مثاليّاً».[129][130] تُلخًّصُ النقاطُ الآتية أبرز الأحداث التّاريخية الهامّة في تاريخ الدائرة:
إضافةً للنّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة على أنها من أقدم العناصر الهندسية من قبل الأغريق.[133] ففي الألفية الثانية قبل الميلاد، كانت الهندسة من المجالات التي عمل عليها المصريون القدماء، وقدّروا مساحة الدائرة، عن طريق تربيع ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي: A ≈ ≈ --> ( 8 9 d ) 2 = 256 81 r 2 = 3,160 49 … … --> ⋅ ⋅ --> r 2 {\displaystyle A\approx \left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}={\frac {256}{81}}r^{2}=3{,}16049\dotso \cdot r^{2}}
نسبة الخطأ التي وُجدت في حساباتهم كانت بزيادة 0.6%. ووُجد هذا التّقدير في بردية ريند الرّياضيّة، والّذي جاء بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.[133]
استعمل البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقةً مُغايرة لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما فعله المصريّون، قدّر البابليَّون مُحيط الدّائرة بثلاثة أضعاف قطر الدّائرة.[ملاحظة 34] بينما قُدِّرت مساحة الدّائرة بإنها واحد من اثني عشر من مربع طول المحيط. هي:[133]
A ≈ ≈ --> 1 12 U 2 ≈ ≈ --> 9 12 d 2 = 3 r 2 , {\displaystyle A\approx {\frac {1}{12}}U^{2}\approx {\frac {9}{12}}d^{2}=3r^{2},}
بنسبة خطأ نقص حوالي 4.5%. ارتبطت أعمال البابليين بأضلاع الدائرة أيضاً. وكانوا قادرين على إيجاد طول الوتر أو عُمقه. وبهذه الطّريقة هيَّأوا الأساس لهندسة الأوتار التي طوّرها بعدئذ هيبارخوس. ووضع بطليموس كلوديوس أساساتها في كتابه الفلكي «المجسطي».[133]
يُعتبر عهد الإغريق أحد الفترات الزمنية المؤثرة في توثيق الأعمال الهندسية التي من بينها الدائرة. في هذه الفترة انتشرت العديد من المؤلفات الهامة، ونُسبت العديد من النظريات لفلاسفة ورياضيي الإغريق.
يُعتبر طالس (546-624 ق.م.) أحد الفلاسفة والرياضيين المُؤثرين في فترته. إذ نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. وتنص المبرهنة المنسوبة إليه على أن الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.[133]
أول تعريف وُضِعَ للدائرة يرجع إلى الفيلسوف الإغريقي أفلاطون (428/427-348/347 ق.م.) الّذي صاغها في حواره بارمنيدس:[134]
لم يُعرف عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل. إلا أن أغلب عمله في مجال الهندسة كان له تأثيراً حتى الوقت الحاضر. إذ لا تزالُ تُنسبُ إليه بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات. كالفضاء الإقليدي، الهندسة الإقليدية والقياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحاتٍ لمسلّمات رياضية، نشرها في كتابه العناصر. كما أنه وثّق أعمال الرياضيين الذين سبقوه في هذا المجال وأدرج البراهين الرياضية لنظرياتهم، يُعرِّف إقليدس الدائرة في كتابه العناصر قائلاً:[56][133]
كان كتاب العناصر لإقليدس أحد أهم أعماله ومن الكتب الرائدة في مجال الهندسة. يتكون الكتاب من 13 فصلاً جمع فيها مقالاتٍ مُلخّصة. نظّم من خلالها وعلوم الحساب والهندسة وأفكارها وقتئذ. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه.
أثبت أرخميدس في دراساته «كرسيمس» أن مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروباً في نصف القطر.[135] وبهذا المفهوم فقد طرح مسألة تربيع الدائرة: «كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً». وفي ورقته قياس الدّائرة حصر أرخميدس قيمة π π --> {\displaystyle \pi } برسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر: 3 10 71 < π π --> < 3 1 7 {\displaystyle 3{\tfrac {10}{71}}<\pi <3{\tfrac {1}{7}}} . ومن المتباينة π π --> < 3 1 7 {\displaystyle \pi <3{\tfrac {1}{7}}} يُستخدم التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن π π --> ≈ ≈ --> 22 7 = 3.1428... {\displaystyle \pi \thickapprox {\tfrac {22}{7}}=3.1428...} . ومن العلاقتين يُمكن استنتاج أن مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ تقريباً إلى 11 14 {\displaystyle {\tfrac {11}{14}}} . وكان أقليدس على علم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها.[ِ 4][134] وبذلك قدَّم أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.
في عمل آخر لأرخميدس «على اللوالب»[135] وصف أرخميدس إنشاءً نُسبَ اسمه إليه لاحقاً بـ«لولب أرخميدس». بهذا الإنشاء استطاع أرخميدس تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يستطيع تحديد مساحة الدائرة بدقة. رغم استحالة إنشاء اللولب باستعمال المسطرة والفرجار فقط.[136]
فصّل أبولونيوس البرغاوي (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي «كونيكي» أن الإهليلج والدّائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتّي لا زالت حتّى تُتدارس على هذا الأساس في الهندسة الجبرية. عمل على مراجعة أعمال سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (حوالي سنة 330 ق.م.) وكثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.[133]
قدَّم أبولونيوس مسألةً عُرِفت لاحقاً بمسألة أبولونيوس طرح من خلالها تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائرَ باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنةً بالعناصر الإقليديّة، لوحِظت أعمال أبولونيوس أكثر في العالم الإسلامي. في أوروبا الغربيّة، أصبحت كتبه أكثر أهمية خلال القرن السابع عشر الميلادي، عندما لاحظ يوهانز كيبلر أن الإهليلج هو المسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.[133]
أثناء حكم المأمون في خراسان (القرن الثالث للهجرة)، ترجم بنو موسى كتاب المخاريط لأبولونيوس من اليونانية إلى العربية. كان بحوزة بني موسى نسخة غير مكتملة من الكتب، لذا فإن القطوع المخروطية لم تنقل كاملةً وقد واجهوا صعوبةً في ترجمة العبارات. بعدئذٍ بفترةٍ، قدّم الحسن ابن موسى نظرية القطوع المخروطية التي وصف فيها بدايات وأساسيات للقطوع المخروطية. مهّد فيها مقدمةً لفهمها. بعد وفاته، أكمل أخوه أحمد الذي كان يعيش في المشرق نسخة مكتملةً من أعماله. سلم أحمد وأخوه محمد النسخة المترجمة من أول 4 فصول من كتاب المخاريط إلى هلال حمصي، ومن الفصل الخامس حتى السابع إلى ثابت بن قرة. النسخة الوحيدة التي تبقت من الترجمة هي التي كانت بحوزة بني موسى واحتوت على الفصول الخامسة والسادسة والسابعة.[137]
قدّم بنو موسى حلاً باستخدام القطوع المخروطية لمسألة تثليث الزاوية. كما قدّم أبو جعفر الخازن وأبو سهل القوهي والسجزي وأبو الريحان البيروني ثلاثَ مسائلَ مُبرهنين على أنه بحل هذه المسائل، ستحل مسألة تثليث الزاوية تباعاً. بطلبٍ من عضد الدولة بن بويه، كتب عبد الرحمن بن عمر الصوفي كتاباً بعنوان:[138] «رسالة فی عمل المتساویة الاضلاع کلها بفتحة واحدة». والذي وضّح فيه طريقةَ رسمِ مضلع منتظم باستعمال المسطرة والفرجار فقط. وفي كتابه: «فیما یحتاج إلیه الصانع من الأعمال الهندسية» أو اختصاراً كتاب «الأعمال الهندسية» بحث أبو الوفاء البوزجاني، استكمالاً على أعمال عبد الرحمن الصوفي، في رسم الأشكال الهندسية بالفرجار والمسطرة. حَسَبَ غياثُ الدين الكاشي نسبةَ محيطِ الدائرة إلى قطرها أو π π --> {\displaystyle \pi } بدقةٍ عالية، وذلك باستعمال حصر مضلعات داخل الدائرة وخارجها. كما كتب في كتابه: «مفتاح الحساب»، رسالةً بعنوان: «رسالة الوتر والجيب»، التي فُقدِت. كما قدّم محاولةً لحل مسألة تثليث الزاوية عن طريق حل المعادلات التكعيبية.[139][140]
أخذت الدائرةُ الأساسَ في بناء العديد من التكوینات الفنیة وارتبطت بالعديد من المفاهيم فيها. إلا أنه مع ذلك، كان للنظرة المجتمعية والعالمية تجاه الدائرةِ تأثيراً على إدراك ونظرة الفنان لها وجعله منحازاً أكثر تجاه مفهوم معين. فثمّة من يرى أنّ شكل الدائرة المُحيط يُمثّل الوِحدَة والإيحاء بالديموقراطية، ولهذا يُوجد في مجالس الشورى والبرلمانات. بينما ترى بعض المعتقدات الروحانية على أنَّ الدائرة ترمز إلى الاستمراریة واللانهائیة والسرمدیة والتي هي طبيعة هذا العالم. في تقاليدٍ دينيةٍ أخرى، الدائرة تُمثل الأجسام السماوية والأرواح الملائكية وترمز إلى العديد من المفاهيم المُقدّسة، منها الاتحاد، الاكتمال والكون، الألوهية والاتزان، الثبات والمثالية، من بين عديد من المفاهيم. وفي الفن، تُؤوّلُ الدائرة للقدر والمصير، أو الموروث التقليدي للتشاؤم والتفاؤل على حدّ تعبير بعض الفنانيين. كما أن هناك من يربطها بالمفهوم القابع في شعار اليين واليانغ، والذي يربط بين المفاهيم المتضادة: كالخير والشر، الفناء والخلق، الموت والولادة، الفوضى والتناغم، الجمود والحركة. هذا الخليط من المفاهيم أدى إلى انتقالها بين الثقافات، فوُجدت على سبيل المثال في البوصلة، الهالة، الترميز للعين والبصيرة، وقوس القزح والدارما، ونوافذ بعض المعابد والمباني الدينية، والأوربوروس.[9][ِ 9]
في فنون الحضارات القديمة، حضرت الدائرة، للدلالة على الشمس أو القمر، مثل المنحوتات الجدارية الفرعونية، حيث يعلو الرأس قرص مستدير يرمز إلى الشمس. كما ظهرت الكرة السماوية والكرة الأرضية في عدد كبير من اللوحات الأوروبية ما بين عصر النهضة والقرن التاسع عشر. وفي معظم الأحيان للدلالة على المكانة العلمية للشخص المرسوم، أو للإشارة إلى عمله كبحار أو كجغرافي. في عام 1913م، رسم فاسيلي كاندينسكي لوحته «دوائرُ ضمن مربعات»، ليؤسس بها تيار التجريد الهندسي. وحظيت الكرة بدفع كبير في الفن البصري على يد الفنان فيكتور فازاريلي الذي رسم عشرات اللوحات المؤلفة من مربعات هندسية تماماً، تبدأ أضلاعها بالتقوس كلما اقتربت من وسط اللوحة، لتشكِّل ما يبدو كرة أو نصف كرة، ناتئة من اللوحة التي هي في الواقع مسطحة تماماً.كما ظهرت مئات الأعمال الفنية المعاصرة المكوّنة من كرات بسيطة، بعضها معلَّق في سقف إحدى الصالات الفنية كما هو الحال في «مركز هونف فوف» في ميونيخ بألمانيا، وبعضها موضوع في الأماكن العامة كما هو الحال أمام «متحف مارتا» في هيرفورد بألمانيا أيضاً، أو كالكرة التي صاغها الفنان إريك بريدي لحديقة الفاتيكان. ونتيجة لتطور فن التصميم الطباعي خلال القرن الماضي بات هناك مئات الفنانين المتخصصين في رسم الكرة الأرضية بأساليب تعبيرية وجمالية، تأتي الدقة الجغرافية في آخر اهتماماتها.[ِ 6]
حين يكون المؤتمِرون من رتبة واحدة، كرؤساء الدول مثلاً، أو الوزراء النظراء من بلدان مختلفة، فلا تُستعمل الطاولة المستطيلة. إذ أن الطاولة المستديرة ترمز إلى المساواة وطلب الصلح ومضادة للطبقية. ويُعتقد أن هذا الترميز يعود إلى الملك البريطاني آرثر حين ساوى بين الفرسان الذين التمّوا حول محيط الطاولة في عاصمته كاميلوت. إلا أن وينستون تشيرشل حاول إبطال هذا المفهوم بقوله: «أينما أجلس يكون رأس الطاولة».[ِ 6]
في 1655م، استلهم عالِم الرياضيات البريطاني جون وليس رمزاً للإشارة إلى اللانهائية، وهو دائرة منبعجة يحولها إلى دائرتين مرسومتين بخط واحد، يشبه الرقم 8 المقلوب. ومن رمزيته العلمية إلى الأرقام اللامتناهية، استمدَّ هذا الشكل رمزية أخرى، فأصبح اليوم أيضاً شكلاً فنياً، اعتمده كثير من المصمِّمين لصياغة حلي على سبيل المثال ترمز إلى ديمومة العلاقات.[ِ 6]
استخدمت الدائرة في خلق التجانس الزخرفي مع الخط العربي بشكل مكثف بين الخطوط والأشكال.[ِ 9][ِ 5] تُرسم النجوم في الزخارف العربية مُشتقةً من الدائرة وبأخذ مقاييسها. يذكر أبو حیان التوحیدي: «وأما الصورة الفلكیة فداخلة تحت الرسم بالعرض، وللوهم فیها أثر كبیر، ولأنها مأخودة من الجسم الأعظم صارت مشاكهتها مقسومة بین البسیط الذي لا تركیب فیه البتة، وبین المركب الذي لا یخلو من التركیب البتة.». وقد ابتكر المسلمين العرب الصفر على هيئة الدائرة للدلالة على دورها التولیدي في حساب الأرقام. يرى كثيرون أن في الدائرة عاملُ جذبٍ قويّ للعين، استدلالاً على كثرة استعمالها في علامات السلع التجارية وترويجات التخفيضات وغيرها.[ِ 9]
الدولاب هو قرص مستدير يُصنع من مادة صلبة ويُستعمل بشكل شائع في العربات للتنقل. ويُصنّف باحثون على أنَّ اختراع الدولاب من أهم ما اخترع البشر، إذ أنه أدى إلى تطوّرهم العلمي والتكنولوجي. وُجد أقدم دولاب بين الآثار الباقية من التاريخ، بعمر يصل إلى 3,000 سنة. كما احتوت النقوش السومرية والفرعونيّة رسوماً لعربات بدواليب، عمرها 5000 سنة. ويُرجح أن الحيّاكين والنسّاجين والخزّافين وصانعي الفخّار والآجرّ، كانوا من أوائل من استعمل الدولاب في مهنتهم.[ِ 6]
إن الأوعية الفخّاريّة التي كان الخزّافون يصنعونها، كانت ضرورية لخزن الماء والمشروبات وحتى الحبوب وغيرها من الأغذية، في المستقرّات الزراعية التي نشأت من حولها القرى والمدن الأولى. وكانت تعتمد آنية الفخّار على أساسٍ طيني على شكل قرص، والذي يديره الخزّاف لصنع آنيته. ومن هذه الدواليب الأولى، طوّر البشر شيئاً فشيئاً صناعة الدولاب، إلى أطر العجلات والعربات ثم المركبات فالسيارات. كما أن الدائرة كانت الأساس للمحرك الكهربائي والمراوح وبقية المحركات الأخرى.[ِ 6]
{{استشهاد بكتاب}}
|تاريخ الوصول=
|تاريخ=
|موقع=
|طبعة=
|archive-date=
|archive-url=
{{استشهاد ويب}}
|script-title=
{{استشهاد بدورية محكمة}}
لخواص الإنشاءات الأساسية المرتبطة بالدائرة.
Cut the knot
Come leggere il tassoboxStenocephalemys ruppi Stato di conservazione Dati insufficienti[1] Classificazione scientifica Dominio Eukaryota Regno Animalia Phylum Chordata Classe Mammalia Superordine Euarchontoglires Ordine Rodentia Famiglia Muridae Sottofamiglia Murinae Genere Stenocephalemys Specie S.ruppi Nomenclatura binomiale Stenocephalemys ruppiVan der Straeten & Dieterlen, 1983 Stenocephalemys ruppi (Van der Straeten & Dieterlen, 1983) è un roditore della famiglia dei Muridi…
ImpactElla Raines, Brian Donlevy (1949)Sutradara Arthur Lubin Produser Leo C. Popkin Ditulis oleh Jay Dratler Dorothy Davenport Skenario Jay Dratler Dorothy Davenport CeritaJay DratlerPemeran Brian Donlevy Ella Raines Charles Coburn Helen Walker Penata musikMichel MicheletSinematograferErnest LaszloPenyuntingArthur H. NadelPerusahaanproduksiHarry Popkin ProductionsCardinal PicturesDistributorUnited ArtistsTanggal rilis 19 Maret 1949 (1949-03-19) (New York City) 1 April 1949 (…
Radio station in Waycross, GeorgiaWYNRWaycross, GeorgiaBroadcast areaSouth East Georgia & North East FloridaFrequency102.5 MHzBrandingWYNR 102.5ProgrammingFormatCountryAffiliationsPremiere NetworksOwnershipOwneriHeartMedia, Inc.(iHM Licenses, LLC)Sister stationsWBGA, WGIG, WHFX, WQGAHistoryFormer call signsWQCW (1983–1986)WAYX-FM (1986–1987)WBGA (1987–2002)Technical informationFacility ID57785ClassC1ERP97,000 wattsHAAT303 meters (994 ft)Transmitter coordinates31°9′22.00″N 81
German symphony orchestra This article is about the orchestra founded in 1923 and situated in East Berlin during the Cold War. For the orchestra founded in 1946 and situated in West Berlin during the Cold War, see Deutsches Symphonie-Orchester Berlin. Berlin Radio Symphony OrchestraOrchestraOfficial logoNative nameRundfunk-Sinfonieorchester BerlinFounded1923; 100 years ago (1923)LocationBerlin, GermanyConcert hallKonzerthaus BerlinBerliner PhilharmoniePrincipal conductorVladimi…
Pribylina Wappen Karte Pribylina (Slowakei) Pribylina Basisdaten Staat: Slowakei Slowakei Kraj: Žilinský kraj Okres: Liptovský Mikuláš Region: Liptov Fläche: 86,122 km² Einwohner: 1.331 (31. Dez. 2022) Bevölkerungsdichte: 15 Einwohner je km² Höhe: 765 m n.m. Postleitzahl: 032 42 Telefonvorwahl: 044 Geographische Lage: 49° 6′ N, 19° 48′ O49.119.8765Koordinaten: 49° 6′ 0″ N, 19° 48′ 0″ O Kfz-Kennzeichen (ver…
Fritz-Haber-Institut der Max-Planck-Gesellschaft Eingang Fritz-Haber-Institut mit Inschrift „Kaiser Wilhelm Institut für physikalische Chemie und Elektrochemie“ Kategorie: Forschungseinrichtung Träger: Max-Planck-Gesellschaft Rechtsform des Trägers: Eingetragener Verein Sitz des Trägers: München Standort der Einrichtung: Berlin-Dahlem Art der Forschung: Grundlagenforschung Fächer: Naturwissenschaften Fachgebiete: Physik, Oberflächenchemie, Chemie Grundfinanzierung: Bund (50 …
Vile Parochie van Denemarken Situering Bisdom Bisdom Viborg Gemeente Skive Coördinaten 56°43'9,001NB, 8°51'36,000OL Algemeen Inwoners (2004) 147 Leden Volkskerk (2004) 133 Overig Kerken Vile Kirke Proosdij Salling Provsti Pastoraat Glyngøre-Sæby-Vile Foto's Portaal Denemarken Vile is een parochie van de Deense Volkskerk in de Deense gemeente Skive. De parochie maakt deel uit van het bisdom Viborg en telt 133 kerkleden op een bevolking van 147 (2004). Tot 1970 was de parochie de…
Wappen Deutschlandkarte 53.41720510.3683474Koordinaten: 53° 25′ N, 10° 22′ O Basisdaten Bundesland: Niedersachsen Landkreis: Harburg Samtgemeinde: Elbmarsch Höhe: 4 m ü. NHN Fläche: 26,11 km2 Einwohner: 3989 (31. Dez. 2022)[1] Bevölkerungsdichte: 153 Einwohner je km2 Postleitzahl: 21436 Vorwahlen: 04176, 04133 Kfz-Kennzeichen: WL Gemeindeschlüssel: 03 3 53 023 LOCODE: DE MRT Gemeindegliederung: 5 Ortsteile Ad…
Strada statale 487di Caramanico TermeLocalizzazioneStato Italia Regioni Abruzzo Province Pescara L'Aquila DatiClassificazioneStrada statale InizioScafa FineSulmona Lunghezza60,800[1] km Data apertura1965 Provvedimento di istituzioneD.M. 11/05/1965 - G.U. 148 del 16/06/1965[2] GestoreANAS Percorso Manuale La strada statale 487 di Caramanico Terme (SS 487) è una strada statale italiana, il cui percorso è per intero sviluppato in Abruzzo. Percorso La strada ini…
Sekolah Menengah Sung SiewInformasiAlamatMotoMotoIman, Tekad, Cemerlang Sekolah Menengah Sung Siew Sekolah Menengah Sung Siew adalah sekolah menengah sesi tunggal yang terletak di kota Sandakan, negara bagian Sabah, Malaysia Timur. Sekolah tersrbut terletak di kaki Bukit Trig yang berjarak 2 kilometer dari kota tersebut. Sekolah tersebut didirikan pada 1907, membuat tempat tersebut menjadi salah satu sekolah tertua di Sandakan. Kepala sekolah Nama Masa Jabatan Rev. Yap Hyen Moo 1907 - 1909 Rev. …
Artikel ini memiliki beberapa masalah. Tolong bantu memperbaikinya atau diskusikan masalah-masalah ini di halaman pembicaraannya. (Pelajari bagaimana dan kapan saat yang tepat untuk menghapus templat pesan ini) artikel ini perlu dirapikan agar memenuhi standar Wikipedia. Masalah khususnya adalah: Jangan menggunakan huruf tebal berlebihan. Judul lagu ditulis dengan tanda kutip tanpa dimiringkan, dan judul album ditulis miring Silakan kembangkan artikel ini semampu Anda. Merapikan artikel dapat di…
Etil iodida Model bola dan tongkat etil iodida Model ruang terisi etil iodida Nama Nama IUPAC Iodoetana[1] Penanda Nomor CAS 75-03-6 Y Model 3D (JSmol) Gambar interaktif 3DMet {{{3DMet}}} Referensi Beilstein 505934 ChEBI CHEBI:42487 N ChEMBL ChEMBL1232588 N ChemSpider 6100 Y Nomor EC PubChem CID 6340 Nomor RTECS {{{value}}} CompTox Dashboard (EPA) DTXSID9058783 InChI InChI=1S/C2H5I/c1-2-3/h2H2,1H3 YKey: HVTICUPFWKNHNG-UHFFFAOYSA-N Y SMILES CCI Sifat Rum…
2015 studio album by DJ KhaledI Changed a LotStudio album by DJ KhaledReleasedOctober 23, 2015 (2015-10-23)Recorded2014–2015GenreHip hopLength51:08LabelWe the BestREDProducerDJ Khaled (also exec.)BkornDanjaEvan PowellLDBLee on the BeatsMike ZombieNBA 2K16OZReazy RenegadeScott StorchStreetRunnerTarik AzzouzThe Beat BullyThe ExclusivesThe MekanicsThe YoungstarsDJ Khaled chronology Suffering from Success(2013) I Changed a Lot(2015) Major Key(2016) Deluxe edition cover Singl…
Overtake!Berkas:Overtake! key visual.jpgTeaser visualオーバーテイク!(Ōbāteiku!)GenreOlahraga (Balap mobil (F4))PenciptaKadokawa CorporationTroyca Seri animeSutradaraEi Aoki (あおきえい)ProduserSayaka UedaSkenarioAyumi Sekine (関根アユミ)MusikKana Utatane (うたたね歌菜)StudioTroycaPelisensiCrunchyroll SA / SEA MedialinkSaluranasliAT-X, Tokyo MX, Sun TV, BS11, TV Aichi, KBS Kyoto, SBS, IATTayang 1 Oktober 2023 – sekarangEpisode7 Portal anime dan manga Overtake!…
تلعب الرياضة في أيرلندا دورًا مهمًا في المجتمع. تشتمل الرياضات العديدة المتابعة في أيرلندا على كرة القدم، والألعاب الغالية (بما في ذلك كرة القدم الغالية، ولعبة القذف والكاموجي)، وسباق الخيل والقفز الاستعراضي وسباق الكلاب وكرة السلة وصيد السمك وكرة اليد ورياضة السيارات وال…
Japanese anime television series Love Kome: We Love RiceAnime key visualラブ米 -WE LOVE RICE-(Rabu Kome: We Love Rice)GenreComedy[1]Created byYuki Takabayashi MangaLove Kome: Rice is BeautifulPublished byComic SmartMagazineGanma!DemographicShōjoOriginal runFebruary 24, 2017 – July 28, 2017 Anime television seriesDirected byYuta YamazakiProduced byYoshitada FukuharaWritten byTakashi IfukubeMusic byPlus TsubasaStudioEncourage FilmsLicensed byCrunchy…
1990 studio album by Beats InternationalLet Them Eat BingoStudio album by Beats InternationalReleasedMarch 1990StudioEsselle StudiosGenre Dance dance-pop worldbeat neo soul Length54:29LabelGo! Beat (UK)Elektra (US)ProducerNorman CookBeats International chronology Let Them Eat Bingo(1990) Excursion on the Version(1991) Singles from Let Them Eat Bingo For Spacious LiesReleased: 1989 Dub Be Good to MeReleased: 29 January 1990 Won't Talk About ItReleased: May 1990 Burundi BluesReleased: Sept…
Italian cyclist Valerio ContiConti in 2018Personal informationFull nameValerio ContiBorn (1993-03-30) 30 March 1993 (age 30)Rome, ItalyHeight1.72 m (5 ft 8 in)Weight60 kg (132 lb; 9 st 6 lb)Team informationCurrent teamTeam Corratec–Selle ItaliaDisciplineRoadRoleRiderRider typeClimberAmateur team2012–2013Mastromarco-Sensi-Benedetti-Dover Professional teams2013Lampre–Merida (stagiaire)2014–2021Lampre–Merida[1][2]2022A…
Грацско-Амштеттинская наступательная операцияОсновной конфликт: Великая Отечественная война Дата 15 апреля — 9 мая 1945 года Место Восточная и Центральная Австрия Итог Победа СССР Противники Германия Венгрия СССР Болгария Командующие Лотар Рендулич Ф. И. Толбухин В. С…
У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Церква святих верховних апостолів Петра і Павла. Церква святих верховних апостолів Петра і Павла (Лозова) Тип церкваКраїна Україна : ISO3166-1 alpha-3:UKR; ISO3166-1 цифровий:804; Розташування ЛозоваКонфесія УГКЦБудівницт…
Lokasi Pengunjung: 18.117.145.167