Багато многочленів вузла обчислюються за допомогою скейн-співвідношень , які дозволяють, змінюючи типу перетину, звести вузол до простішого. В теорії вузлів многочлен вузла — це інваріант вузла у вигляді многочлена , коефіцієнти якого кодують деякі властивості даного вузла .
Перший многочлен вузла, многочлен Александера , представив ще 1923 року Джеймс Александер , але інші многочлени вузла знайдено лише майже 60 років по тому.
У 1960-х роках Джон Конвей запропонував скейн-співвідношення для версії многочлена Александера, який зазвичай згадують як многочлен Александера — Конвея . Важливість скейн-співвідношень недооцінювали до 1980-х років, коли Воен Джонс відкрив многочлен Джонса . Це відкриття привело до виявлення ще кількох многочленів, таких як многочлен HOMFLY .
Незабаром після відкриття Джонса Луїс Кауфман [en] дужки Кауфмана , інваріант оснащених [en] статистичній механіці .
В кінці 1980-х років здійснено два прориви: Едвард Віттен продемонстрував, що многочлен Джонса і схожі інваріанти цього типу описано в теорії Черна — Саймонса [ru] Віктор Васильєв і Михайло Гусаров [en] інваріантів скінченного типу [en]
2003 року показано, що многочлен Александера пов'язаний з гомологією Флоєра [en] гомології Гегора — Флоєра [en]
Запис Александера — Бріггса
Многочлен Александера
Δ Δ -->
(
t
)
{\displaystyle \Delta (t)}
Многочлен Конвея
∇ ∇ -->
(
z
)
{\displaystyle \nabla (z)}
Многочлен Джонса
V
(
q
)
{\displaystyle V(q)}
Многочлен HOMFLY
H
(
a
,
z
)
{\displaystyle H(a,z)}
0
1
{\displaystyle 0_{1}}
тривіальний вузол )
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
3
1
{\displaystyle 3_{1}}
Трилисник )
t
− − -->
1
+
t
− − -->
1
{\displaystyle t-1+t^{-1}}
z
2
+
1
{\displaystyle z^{2}+1}
q
− − -->
1
+
q
− − -->
3
− − -->
q
− − -->
4
{\displaystyle q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}
− − -->
a
4
+
a
2
z
2
+
2
a
2
{\displaystyle -a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}
4
1
{\displaystyle 4_{1}}
Вісімка )
− − -->
t
+
3
− − -->
t
− − -->
1
{\displaystyle -t+3-t^{-1}}
− − -->
z
2
+
1
{\displaystyle -z^{2}+1}
q
2
− − -->
q
+
1
− − -->
q
− − -->
1
+
q
− − -->
2
{\displaystyle q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}}
a
2
+
a
− − -->
2
− − -->
z
2
− − -->
1
{\displaystyle a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1}
5
1
{\displaystyle 5_{1}}
Перстач )
t
2
− − -->
t
+
1
− − -->
t
− − -->
1
+
t
− − -->
2
{\displaystyle t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}}
z
4
+
3
z
2
+
1
{\displaystyle z^{4}+3z^{2}+1}
q
− − -->
2
+
q
− − -->
4
− − -->
q
− − -->
5
+
q
− − -->
6
− − -->
q
− − -->
7
{\displaystyle q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}}
− − -->
a
6
z
2
− − -->
2
a
6
+
a
4
z
4
+
4
a
4
z
2
+
3
a
4
{\displaystyle -a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}}
− − -->
{\displaystyle -}
Бабин вузол )
(
t
− − -->
1
+
t
− − -->
1
)
2
{\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}
(
z
2
+
1
)
2
{\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}
(
q
− − -->
1
+
q
− − -->
3
− − -->
q
− − -->
4
)
2
{\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}}
(
− − -->
a
4
+
a
2
z
2
+
2
a
2
)
2
{\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}}
− − -->
{\displaystyle -}
Прямий вузол )
(
t
− − -->
1
+
t
− − -->
1
)
2
{\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}
(
z
2
+
1
)
2
{\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}
(
q
− − -->
1
+
q
− − -->
3
− − -->
q
− − -->
4
)
(
q
+
q
3
− − -->
q
4
)
{\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)}
(
− − -->
a
4
+
a
2
z
2
+
2
a
2
)
× × -->
{\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times }
(
− − -->
a
− − -->
4
+
a
− − -->
2
z
− − -->
2
+
2
a
− − -->
2
)
{\displaystyle \left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)}
Запис Александера — Бріггса — це нотація, яка перелічує вузли за їхнім числом перетинів, при цьому зазвичай до списку включають лише прості вузли (дивіться Список простих вузлів [en]
Зауважимо, що многочлен Александера і многочлен Конвея НЕ МОЖУТЬ розрізнити лівий і правий трилисники .
Лівий трилисник
Правий трилисник
Не розрізняють вони також бабин вузол і прямий вузол, оскільки композиція вузлів у
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
Colin Adams . The Knot Book. — American Mathematical Society. — ISBN 0-8050-7380-9 .W. B. R. Lickorish . An introduction to knot theory. — New York : Springer-Verlag, 1997. — Т. 175. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-98254-X .Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó. Heegaard Floer homology and alternating knots // Geom. Topol. — 2003. — Вип. 7 (14 грудня).
.svg)
