PROFILPELAJAR.COM

Центральне питання теорії вузлів — чи відображають дві діаграми один і той самий вузол. Один з інструментів, що використовуються для відповіді на це питання — многочлен вузла, який є інваріантом вузла. Якщо двом діаграмам відповідають різні многочлени, то вони подають різні вузли. Обернене не завжди істинне.

Скейн-співвідношення (або співвідношення типу Конвея) часто використовують, щоб простим способом визначити многочлен вузла. Неформально кажучи, скейн-співвідношення задає лінійний зв'язок значень многочлена вузла на трьох зачепленнях, які відрізняються одне від одного лише в малій ділянці. Для деяких многочленів, таких як многочлени Конвея, Александера і Джонса, відповідного скейн-співвідношення достатньо, щоб обчислити многочлен рекурсивно. Для інших, таких як многочлен HOMFLY, потрібні складніші алгоритми.

Визначення

У скейн-співвідношенні беруть участь три діаграми зачеплення, ідентичні всюди, крім одного перехрестя. Ці три діаграми мають виражати три можливості, які могли б мати місце на цьому перехресті: нитка може пройти під іншою ниткою, над нею або НЕ перетнутися з нею зовсім. Необхідно розглядати діаграми зачеплень, оскільки зміна навіть одного перехрестя може перетворити діаграму вузла на діаграму зачеплення і навпаки. Залежно від конкретного многочлена вузла, зачеплення, що з'являються в скейн-співвідношенні можуть бути орієнтованими або неорієнтованими.

Три діаграми позначаються так. Розгорніть вузол так, щоб напрямки обох ниток у розглянутому перетині вказували приблизно на північ. В однієї діаграми нитка північно-західного напрямку проходить над північно-східною ниткою, її позначимо $L_{-}$ . В іншої діаграми північно-східна нитка проходить над північно-західною, це $L_{+}$ . Остання діаграма не має цього перетину і позначається $L_{0}$ .

(Насправді, позначення не залежить від напрямку в тому сенсі, що після заміни всіх напрямків на протилежні, позначення залишається колишнім. Тому многочлени визначаються однозначно і на неорієнтованих вузлах. Однак орієнтація на зачепленні принципово важлива, щоб пам'ятати, в якому порядку виконувалася рекурсія.)

Корисно уявляти це як складання з однієї діаграми двох інших накладенням «латок» з відповідними орієнтаціями.

Щоб рекурсивно визначити многочлен вузла (зачеплення), фіксується функція $F$ і для будь-якої трійки діаграм і їхніх многочленів, позначених, як було зазначено вище,

F{\Big (}L_{-},L_{0},L_{+}{\Big )}=0

або акуратніше

F{\Big (}L_{-}(x),L_{0}(x),L_{+}(x),x{\Big )}=0

для кожного

x

.

(Знаходження функції $F$ , яка робить многочлен незалежним від черговості перетинів у рекурсії — непроста задача.)

Формальніше, скейн-співвідношення можна розглядати, як визначення ядра фактор-відображення з планарної алгебри^[en] сплетінь^[en]. Таке відображення відповідає многочлену вузла, якщо всі замкнуті діаграми відображати в складні види порожніх діаграм.

Приклад

На початку 1960-х років Конвей показав, як обчислити многочлен Александера за допомогою скейн-співвідношень. Оскільки вони рекурсивні, це не настільки очевидно, як оригінальний матричний метод Александера; з іншого боку, частини роботи, виконаної для одного вузла, стосуватимуться інших. Зокрема, мережа діаграм є однаковою для всіх многочленів, пов'язаних зі скейн-співвідношеннями.

Нехай функція $P$ з діаграм зачеплення в ряди Лорана на ${\sqrt {x}}$ буде така, що $P({\rm {unknot}})=1$ і трійка діаграм скейн-співвідношень $(L_{-},L_{0},L_{+})$ задовольняє рівняння

P(L_{-})=(x^{-1/2}-x^{1/2})P(L_{0})+P(L_{+})

Тоді P відображає вузол на один із його многочленів Александера.

У цьому прикладі ми обчислюємо многочлен Александера п'ятилисника (), альтернованого вузла, на мінімальній діаграмі якого є п'ять перетинів. На кожному етапі ми показуємо рівність, яка включає складніше зачеплення і дві простіші діаграми. Зауважте, що складніше зачеплення на кожному кроці нижче, крім останнього, розташоване праворуч. Для зручності нехай A = x^−1/2 −x^1/2.

Для початку створюємо дві діаграми, змінивши один із перетинів п'ятилисника (виділено жовтим) так

P (

) = A × P (

) + P (

)

Друга діаграма насправді є трилисником; перша діаграма — це два безвузли з чотирма перетинами. Змінивши останню,

P (

) = A × P (

) + P (

)

знову маємо трилисник і два безвузли з двома перетинами (зачеплення Гопфа [1]). Змінення трилисника

P (

) = A × P (

) + P (

)

дає незавузлений вузол і знову зачеплення Гопфа. Змінення зачеплення Гопфа

P (

) = A × P (

) + P (

)

дає зачеплення з 0 перетинів (тривіальне) та незавузлений вузол. Тривіальне зачеплення вимагає певних хитрощів:

P (

) = A × P (

) + P (

)

Обчислення

Тепер ми маємо достатньо рівностей, щоб обчислити многочлени всіх зачеплень, з якими ми стикалися, і можемо використати ці рівності у зворотному порядку, щоб отримати вузол п'ятилисник. Розрахунок описано в таблиці, де ? позначає невідому величину, яку ми виводимо з кожної рівності:

Назва вузла	Діаграми	P (діаграма)
Назва вузла	Діаграми	скейн-співвідношення	?	P повністю
Тривіальний вузол		визначено як 1		x→1
Тривіальне зачеплення		1=А? +1	0	x→0
Зачеплення Гопфа		0=A1+?	-А	x→x ^1/2 -x ^−1/2
Трилисник		1=A(-A)+?	1+А ²	x→x ⁻¹ -1+x
Зачеплення з 4 перетинами		-A=A(1+A ²)+?	-A(2+A ²)	x→-x ^−3/2 +x ^−1/2 -x ^1/2 +x ^3/2
П'ятилисник		1+A ² =A(-A(2+A ²))+?	1+3А ² +А ⁴	x→x ⁻² -x ⁻¹ +1-x+x ²