PROFILPELAJAR.COM

Треугольник Рёло — кривая постоянной ширины. Стороны квадрата — опорные прямые: каждая сторона касается треугольника, но не пересекает его. Треугольник Рёло можно вращать, и при этом он всегда будет касаться каждой стороны квадрата; таким образом ширина треугольника (расстояние между двумя опорными прямыми) постоянна

Крива́я постоя́нной ширины́ $w$ — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции (диаметр Фере) которой на любую прямую равна $w$ .

Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно $w$ — ширине кривой.

Связанные определения

Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.

Примеры

Фигурами постоянной ширины, в частности, являются круг и многоугольники Рёло (частный случай последних — треугольник Рёло). Многоугольники Рёло составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми. Из сопряжённых фрагментов окружностей можно построить и гладкую кривую постоянной ширины (рисунок справа), но дальнейшее увеличение гладкости кривой на этом пути невозможно.

Функциональное представление

В отличие от приведенных выше простейших примеров, кривые постоянной ширины могут не совпадать с окружностью ни на каком конечном отрезке и быть везде сколь угодно гладкими. В общем виде фигура постоянной ширины $w$ c опорной функцией $p(t)$ задаётся параметрическими уравнениями^[1]

$x=p(t)\cos t-p'(t)\sin t,$

$y=p(t)\sin t+p'(t)\cos t,$

при условиях:

$w=p(t)+p(t+\pi ),$
полученная кривая является выпуклой.

Согласно элементарной тригонометрии, первому условию удовлетворяет ряд Фурье следующего вида:

p(t)={\frac {w}{2}}+\sum \limits _{k=2}^{+\infty }a_{k}\cos \left((2k-1)t+\theta _{k}\right)

^[2].

Если коэффициенты ряда убывают достаточно быстро, то результирующая кривая будет выпуклой (без самопересечений).

В частности, опорная функция $p(t)=9+\cos(3t)$ порождает кривую постоянной ширины, для которой найдено неявное представление в виде уравнения для полинома 8-й степени^[3]

(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}

+48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}+(x^{2}-3y^{2})x[16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382]-720^{3}=0.

Эта кривая в окрестности любой точки является аналитической функцией либо от x, либо от y и ни в какой окрестности не совпадает с окружностью.

Свойства

У кривой постоянной ширины $w$ длина равна $\pi w$ (теорема Барбье).
Центры вписанной и описанной окружностей кривой постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине $w$ кривой.
Фигура постоянной ширины $w$ может вращаться в квадрате со стороной $w$ , всё время касаясь каждой из сторон.
Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
Любую плоскую фигуру диаметра $w$ можно накрыть фигурой постоянной ширины $w$ .

Применения

Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет^[4] сверлить почти квадратные отверстия (с неточностью примерно в 2 % от площади квадрата).
Некоторые монеты имеют форму правильного многоугольника постоянной ширины. Так, на семиугольнике построены монеты достоинством 20^[5] и 50 пенсов (Великобритания); 50 филсов (ОАЭ); 1 доллар (Барбадос); некоторые монеты Ботсваны^[6] номиналом в 5 и 25 тхебе, 1 и 2 пулы. Форму 11-угольника постоянной ширины имеют канадские монеты номиналом в 1 доллар (известные как «луни»).
Двигатель Ванкеля использует^[5] в качестве поршня вращающийся внутри камеры треугольник Рёло, что позволяет сразу получать вращательное движение.
Грейферные механизмы кулачкового типа в большинстве случаев строятся на основе плоского кулачка с профилем треугольника Рёло. Наиболее известные примеры: кинопроекторы «Луч» и «Украина»^[5].

Вариации и обобщения

Линзообразный Δ-двухугольник, вращающийся внутри равностороннего треугольника

Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого $n$ $n$ -угольника, например, правильного $n$ $n$ -угольника. Такие фигуры называются роторами^[7].
- Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным $\pi /3$ , является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
- Рассматривались фигуры вращающиеся внутри более общих фигур.^[8]

У фигур постоянной ширины существуют многомерные аналоги, смотри Тело постоянной ширины.

Примечания

↑ Guggenheimer H. W. Differential Geometry. — New York: Dover, 1977.
↑ Коэффициент с номером k = 1 можно обнулить, поскольку это слагаемое отвечает только за положение фигуры на плоскости.
↑ Rabinowitz S. A Polynomial Curve of Constant Width (англ.) // Missouri Journal of Mathematical Sciences. — 1997. — Vol. 9. — P. 23—27. Архивировано 17 июня 2009 года. Архивированная копия (неопр.). Дата обращения: 1 марта 2018. Архивировано 17 июня 2009 года.
↑ «Сверление квадратных отверстий Архивная копия от 25 мая 2012 на Wayback Machine» / Математические этюды
↑ ¹ ² ³ «Круглый треугольник Рело Архивная копия от 28 декабря 2009 на Wayback Machine» / Математические этюды
↑ Часть из них вышла из обращения в 2019 году.
↑ Helmut Groemer, Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics
↑ Л. А. Люстерник . Геометрическая задача // УМН. — 1946. — Т. 1, № 3-4(13-14). — С. 194—195.