Гипербола эволюта окружность Эволю́та (от лат. evolutus «развёрнутый») плоской кривой — геометрическое место точек , являющихся центрами кривизны исходной кривой[ 1]
Эволюта — огибающая нормалей, проведённых в каждой точке плоской кривой[ 2]
По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой .
Если линия задана параметрическими уравнениями
X
=
x
(
t
)
,
Y
=
y
(
t
)
{\displaystyle X=x(t),\ Y=y(t)}
X
=
x
(
t
)
− − -->
y
′
x
′
2
+
y
′
2
x
′
y
″
− − -->
x
″
y
′
,
{\displaystyle X=x(t)-y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}},}
Y
=
y
(
t
)
+
x
′
x
′
2
+
y
′
2
x
′
y
″
− − -->
x
″
y
′
{\displaystyle Y=y(t)+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}
В частности, если
t
{\displaystyle t}
натуральным параметром кривой
r
→ → -->
(
t
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t)}
[ 2]
r
→ → -->
(
t
)
+
1
k
(
t
)
n
→ → -->
(
t
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t)+{\frac {1}{k(t)}}{\vec {n}}(t)}
где
n
→ → -->
{\displaystyle {\vec {n}}}
вектор нормали кривой, направленный в сторону центра кривизны,
k
{\displaystyle k}
Вытянутая астроида как эволюта эллипса Эволюта астроиды
x
=
a
2
− − -->
b
2
a
cos
3
-->
t
,
y
=
b
2
− − -->
a
2
b
sin
3
-->
t
{\displaystyle x={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t,\quad y={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t}
является эволютой эллипса
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
В. Бляшке .М. Я. Выгодский (перевод с немецкого). — М. : ОНТИ , 1935. — 331 с.Д. А. Граве .Дифференциальное исчисление Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.Эволюта // Математический энциклопедический словарь Ю. В. Прохоров ; Ред. Кол.: С. И. Адян , Н. С. Бахвалов , В. И. Битюцков, А. П. Ершов , Л. Д. Кудрявцев , А. Л. Онищик , А. П. Юшкевич . М.: «Советская энциклопедия », 1988. 847 с., ил. С. 640—641.Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии
