Сглаживающий сплайн

Сглаживающий сплайн (англ. smoothing spline) — оценка функции , полученная из набора зашумлённых наблюдений за исходными данными и используемая в дальнейших вычислениях для балансировки адекватности модели функции к с основанной на производной мере кривизной функции . Иными словами, сглаживающий сплайн является важным средством при работе с зашумленными данными типа , . Наиболее известным видом сглаживающего сплайна является кубический сплайн.

Определение кубического сплайна

Пусть — последовательность наблюдений, порождённых выражением . Приближение сглаживающими сплайнами функции определяется как функция (в классе дважды дифференцируемых функций), минимизирующая[1]

Замечания:

  1. параметр сглаживания, контролирующий соотношение между точностью воспроизведения данных и «неровностью» аппроксимирующей функции.
  2. интеграл вычисляется по всему диапазону .
  3. при (нет сглаживания), сглаживающий сплайн превращается в интерполяционный сплайн.
  4. при (бесконечное сглаживание), штраф за неровность становится преобладающим и аппроксимация превращается в линейную МНК аппроксимацию.
  5. наиболее часто в современной статистической литературе используется штраф за неровность на основе второй производной, однако метод может быть легко адаптирован к использованию штрафов на основе других производных.
  6. в ранней литературе, с равноудалёнными , для вычисления штрафа вместо производной использовались конечные разности второго и третьего порядка.
  7. если сумму квадратов отклонений сплайна от исходных данных (первый член функционала) заменить на логарифм функции правдоподобия, получим оценку максимального правдоподобия со штрафной функцией. В такой постановке обычный сглаживающий сплайн представляет собой специальный случай, когда правдоподобие рассчитывается исходя из нормального распределения погрешности.

Вывод кубического сглаживающего сплайна

Разделим нахождение выражений, описывающих сглаживающий сплайн, на два этапа:

  1. Сначала найдём значения .
  2. Из этих значений найдём для всех x.

Начнём со второго этапа:

Дан вектор «подогнанных» значений; сумма квадратов в критерии сплайна — константа. Требуется только минимизировать , и минимизация — натуральный кубический сплайн, интерполирующий точки . Данный интерполяционный сплайн — линейный оператор — может быть представлен в виде:

,

где — набор базисных сплайн-функций. В результате штраф за отсутствие у функции признака гладкости имеет форму

,

где элементы A — . Базисные функции и матрица A зависят от конфигурации независимых переменных , но не от или .

Возвращаясь к первому этапу, взвешенная сумма квадратов может быть записана так:

где . минимизация по даёт

Создание многомерных сплайнов

Из приведённого ограничения на формулу из определения следует, что алгоритм не работает для произвольного набора данных. Если планируется использование алгоритма для произвольного набора точек в многомерном пространстве необходим алгоритм, в котором нет таких ограничений. Возможное решение заключается во введении параметра таким образом, что входные данные могут быть представлены как одномерные функции, зависящие от данного параметра; после можно применить сглаживание для каждой функции. В двумерном пространстве решение состоит в параметризации и как and где . Подходящее решение для это накопленное расстояние где .[2][3]

Более детальный анализ параметризации выполнен E.T.Y Lee.[4]

Связанные методы

Сглаживающие сплайны имеют отношение, но отличаются от:

Исходный код

Исходный код для сглаживающих сплайнов может быть взят из примеров к книге Carl de Boor’s A Practical Guide to Splines. Примеры написаны на Фортране. Обновлённые исходные коды также доступны на официальном сайте Carl de Boor’s [1].

Примечания

  1. Hastie, T. J.; Tibshirani, R. J. Generalized Additive Models (неопр.). — Chapman and Hall, 1990. — ISBN 0-412-34390-8.
  2. Robert E. Smith Jr., Joseph M Price and Lona M. Howser. A Smoothing Algorithm Using Cubic Spline Functions. Дата обращения: 31 мая 2011. Архивировано из оригинала 14 сентября 2013 года.
  3. N. Y. Graham. Smoothing With Periodic Cubic Splines. Дата обращения: 31 мая 2011. Архивировано 14 сентября 2013 года.
  4. E.T.Y. Lee. Choosing nodes in parametric curve interpolation. Дата обращения: 28 июня 2011. Архивировано 14 сентября 2013 года.
  5. Ruppert, David; Wand, M. P. and Carroll, R. J. Semiparametric Regression (неопр.). — Cambridge University Press, 2003. — ISBN 0-521-78050-0.

Литература

Read other articles:

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2023. Formula Satu Musim berjalan Formula Satu musim 2023 Artikel terkait Sejarah Formula Satu Balapan Formula Satu Regulasi Formula Satu Mobil Formula Satu Mesin Formula Satu Ban Formula Satu Daftar Pembalap (Pemenang GPPembalap polePembalap lap tercepat J...

 

Daftar kodepos di Peru ditampilkan di bawah. Lima LIMA 01: Cercado de Lima LIMA 02: Ancón LIMA 03: Ate-Vitarte LIMA 04: Barranco LIMA 05: Breña LIMA 06: Carabayllo LIMA 07: Comas LIMA 08: Chaclacayo LIMA 09: Chorrillos LIMA 10: El Agustino LIMA 11: Jesús María LIMA 12: La Molina LIMA 13: La Victoria LIMA 14: Lince LIMA 15: Lurigancho-Chosica LIMA 16: Lurín LIMA 17: Magdalena del Mar LIMA 18: Miraflores LIMA 19: Pachacamac LIMA 20: Pucusana LIMA 21: Pueblo Libre LIMA 22: Puente Piedra LIM...

 

Dewan Perwakilan Rakyat DaerahKota Tasikmalaya ᮓᮦᮝᮔ᮪ ᮕᮀᮝᮊᮤᮜ᮪ ᮛᮠᮚᮒ᮪ ᮓᮆᮛᮂ ᮊᮧᮒ ᮒᮞᮤᮊ᮪ᮙᮜᮚDéwan Pangwakil Rahayat Daérah Kota TasikmalayaDewan Perwakilan RakyatKota Tasikmalaya2019-2024JenisJenisUnikameral SejarahSesi baru dimulai3 September 2019PimpinanKetuaH. Aslim, S.H. (Gerindra) sejak 3 Oktober 2019 Wakil Ketua IH. Agus Wahyudin, S.H., M.H. (PPP) sejak 3 Oktober 2019 Wakil Ketua IIH. Muslim, S.Sos., M.Si. (PDI-P) sej...

Silver Lake Technology Management, L.L.C.JenisSwastaIndustriEkuitas privatDidirikan1999; 25 tahun lalu (1999)KantorpusatMenlo Park, California, Amerika SerikatCabangSejumlah kantor di negaraTokohkunciMike BingleEgon DurbanKen HaoGreg MondreJoe OsnossProdukDana investasiAUMUS$88 milyar (2021)[1]Situs webwww.silverlake.com Silver Lake adalah sebuah firma ekuitas privat global yang fokus berinvestasi pada perusahaan teknologi, perusahaan yang didukung oleh teknologi, dan industri te...

 

Tehuelche ou Aónikenk Les Tehuelches sont des Amérindiens de Patagonie, vivant entre le fleuve Río Negro et le détroit de Magellan essentiellement en territoire argentin et chilien. Ils étaient réputés pour être de très grande taille et semblent avoir été à la base du grand mythe des géants patagons. Généralités Camp patagonien, 1838 Le mot « Tehuelche » est le nom que les Mapuches donnèrent à l'ensemble des peuples dits Pampas qui habitaient depuis le fleuve Rí...

 

Pour les articles homonymes, voir Bionne. la Bionne la Bionne sur OpenStreetMap. Caractéristiques Longueur 15,5 km [1] Bassin collecteur la Seine Débit moyen (Vienne-la-Ville) Cours Source source · Localisation Somme-Bionne · Altitude 150 m · Coordonnées 49° 05′ 32″ N, 4° 43′ 06″ E Confluence l'Aisne · Localisation Vienne-la-Ville · Altitude 124 m · Coordonnées 49° 09′ 53″ N, 4° 51′ 33″ E...

Proses membuat tepung dari jagung dalam festival rakyat di Slovakia. Tepung adalah partikel padat yang berbentuk butiran halus atau sangat halus tergantung proses penggilingannya. Biasanya digunakan untuk keperluan penelitian, rumah tangga, dan bahan baku industri. Tepung bisa berasal dari bahan nabati misalnya tepung terigu dari gandum, tapioka dari singkong, maizena dari jagung, atau hewani misalnya tepung tulang dan ikan. Jenis tepung Terigu - adalah tepung/bubuk halus yang berasal dari bi...

 

1960s music genre Funky redirects here. For other uses, see Funk (disambiguation). Not to be confused with phonk. For technical reasons, Funk #49 redirects here. For the song, see Funk 49. FunkJames Brown, a pioneer of funk, in 1973Stylistic originsSoulrhythm and bluesjazzgospelCultural originsMid-1960s,[1] United StatesDerivative formsDiscohip hoppost-punkdance-punkboogiecontemporary R&Belectrobreakbeatnew jack swingoldschool jungleneurofunkliquid funkkrautrockfunkstepSubgenresDe...

 

American gridiron football player (born 1988) Greg EllingsonNo. 82     Montreal AlouettesEllingson with the Blue Bombers in 2022Born: (1988-12-30) December 30, 1988 (age 35)Tampa, Florida, U.S.Career informationStatusActiveCFL statusAmericanPosition(s)Wide receiverHeight6 ft 3 in (191 cm)Weight197 lb (89 kg)CollegeFlorida InternationalCareer historyAs player2011Jacksonville Jaguars*2012New Orleans VooDoo2012Tampa Bay Buccaneers*...

Species of gastropod Black slug A live and active individual of Arion ater Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Mollusca Class: Gastropoda Subclass: Heterobranchia Order: Stylommatophora Family: Arionidae Genus: Arion Species: A. ater Binomial name Arion ater(Linnaeus, 1758) Synonyms[1] Limax ater Linnaeus, 1758 Arion empiricorum Férussac, 1819 The black slug (also known as black arion, European black slug, or large black slug), Arion ater, is a ...

 

State park in Oregon, United States Ainsworth State ParkGorge cliffs above the Ainsworth campgroundShow map of OregonShow map of the United StatesTypePublic, stateLocationMultnomah County, OregonNearest cityPortland, Oregon, USACoordinates45°35′32″N 122°03′25″W / 45.59234°N 122.057029°W / 45.59234; -122.057029[1]Operated byOregon State Parks and Recreation Ainsworth State Park is a state park in eastern Multnomah County, Oregon, near Casca...

 

French journalist and historian (1921–2013) This article is about the French historian and journalist. For the French painter, see André Fontaine (painter). André FontaineAndré Fontaine (1969)Born(1921-03-30)30 March 1921Paris, FranceDied17 March 2013(2013-03-17) (aged 91)Paris, FranceOccupation(s)Historian and journalist André Fontaine (Paris, France; 30 March 1921 – ibidem, 17 March 2013) was a French historian and journalist. He started working at Temps Présent, and then ...

Corregimiento de Guayaquil Corregimiento 1552-1764BanderaEscudo Coordenadas 2°11′00″S 79°53′00″O / -2.18333333, -79.88333333Capital GuayaquilEntidad Corregimiento • País Imperio español • Virreinato PerúIdioma oficial EspañolGentilicio Guayaquileño-aReligión CatólicaMoneda Real españolPeríodo histórico Colonización española de América • 15 de agostode 1552 Titulación del Primer Corregidor y unificación con la Tenencia de Puert...

 

Walt Disney Animation Studios Création 16 octobre 1923 (100 ans) Dates clés 1934, création d'un département long métrage Fondateurs Walt Disney et Roy O. Disney Personnages clés Edwin CatmullJohn Lasseter Forme juridique Société anonyme avec appel public à l'épargne Siège social Walt Disney StudiosBurbank, Californie États-Unis Direction Jennifer Lee Actionnaires The Walt Disney CompanyWalt Disney Pictures Activité Cinéma Produits Longs métrages d'animation Société...

 

Marion Bauer Información personalNacimiento 15 de agosto de 1882 Walla Walla (Estados Unidos) Fallecimiento 9 de agosto de 1955 (72 años)South Hadley (Estados Unidos) Causa de muerte Infarto agudo de miocardio Sepultura Cementerio de Kensico Nacionalidad EstadounidenseEducaciónEducada en Conservatorio de París Alumna de Nadia Boulanger Información profesionalOcupación Compositora, musicóloga, teórica de la música, escritora, crítica musical y profesora de música Área Música Emple...

دوري السوبر الهندي 2017–18 تفاصيل الموسم دوري السوبر الهندي  النسخة 4  البلد الهند  المنظم اتحاد الهند لكرة القدم  البطل نادي بنغالورو  مباريات ملعوبة 90   عدد المشاركين 10   الدوري الهندي الممتاز 2016  دوري السوبر الهندي 2018–19  تعديل مصدري - تعديل   دوري ا�...

 

Voce principale: Genoa Cricket and Football Club. Genoa Cricket and Football ClubStagione 1955-1956Sport calcio Squadra Genoa Allenatore Renzo Magli Presidente Comitati di Presidenza Serie A9º posto Maggiori presenzeCampionato: Ennio Cardoni (34) Miglior marcatoreCampionato: Attilio Frizzi (14) StadioStadio Luigi Ferraris 1954-1955 1956-1957 Si invita a seguire il modello di voce Questa voce raccoglie le informazioni riguardanti il Genoa Cricket and Football Club nelle competizioni uff...

 

Japanese streaming television series The Grimm VariationsKey visual / promotional posterグリム組曲(Gurimu Kumikyoku)GenreAnthology[1] Original net animationDirected byYōko KanamoriYasuhiro AkamatsuJun'ichirō HashiguchiYumi KamamuraMasato TakeuchiShintarou NakazawaProduced byGeorge WadaWritten byMichiko YokoteMusic byAkira MiyagawaStudioWit StudioLicensed byNetflixReleasedApril 17, 2024Runtime32–46 minutesEpisodes6 MangaIllustrated byKōji MegumiP...

Stadion MiejskiStadion INEA Informasi stadionNama lengkapStadion Miejski w PoznaniuNama lamaStadion LechaPemilikKota PoznańOperatorLech PoznańLokasiLokasiul. Bułgarska 17, 60-320 Poznań, PolandiaKoordinat52°23′51″N 16°51′28″E / 52.39750°N 16.85778°E / 52.39750; 16.85778KonstruksiMulai pembangunan1968Dibuat1968 - 1980Dibuka23 Agustus 1980Direnovasi2003 - 2010Biaya pembuatan~ € 180 juta (hanya renovasi)ArsitekModern Construction Design Sp. z o.o.Data te...

 

2024年夏季奥林匹克运动会巴西代表團巴西国旗IOC編碼BRANOC巴西奥林匹克委员会網站www.cob.org.br(英文)(葡萄牙文)2024年夏季奥林匹克运动会(巴黎)2024年7月26日至8月11日運動員67參賽項目12个大项历届奥林匹克运动会参赛记录(总结)夏季奥林匹克运动会1920192419281932193619481952195619601964196819721976198019841988199219962000200420082012201620202024冬季奥林匹克运动会199219941998200220062010201420...