PROFILPELAJAR.COM

Параллельная кривая или эквидистанта плоской кривой — огибающая семейства окружностей равного радиуса, центры которых лежат на заданной кривой. Понятие параллельной кривой — обобщение понятия параллельной прямой на случай плоских кривых.

Для параметрически заданной кривой параллельная кривая, проходящая на расстоянии $a$ от данной определяется уравнениями

X=x+{\frac {ay'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}

,

Y=y-{\frac {ax'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}

.

Или в векторной форме:

{\vec {r}}=r(t)

{\vec {R}}={\vec {r}}+a{\frac {{\vec {r}}\,'}{|{\vec {r}}\,'|}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\vec {r}}+{\frac {{\vec {r}}\,'}{|{\vec {r}}\,'|}}{\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}

,

где матрица ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ соответствует повороту вектора на 90° по часовой стрелке.

Свойства

Ориентированная кривизна $k_{a}$ параллельной кривой $\gamma _{a}$ выражается через кривизну $k$ исходной кривой $\gamma$ по формуле
$k_{a}={\frac {k}{|1-a\cdot k|}}.$