PROFILPELAJAR.COM

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства $X$ обычно обозначается $\dim X$ .

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства $X$ размерность Лебега определяется как наименьшее целое число $n$ , обладающее тем свойством, что при любом $\varepsilon >0$ существует конечное открытое $\varepsilon$ -покрытие $X$ , имеющее кратность $\leqslant n+1$ ;

При этом

$\varepsilon$ -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр $<\varepsilon$ , а
кратностью конечного покрытия пространства $X$ называется наибольшее такое целое число $k$ , что существует точка пространства $X$ , содержащаяся в $k$ элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства $X$ размерностью Лебега называется наименьшее целое число $n$ такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства $X$ существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности $n+1$ .

При этом покрытие ${\mathcal {P}}$ называется вписанным в покрытие ${\mathcal {Q}}$ , если каждый элемент покрытия ${\mathcal {P}}$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия ${\mathcal {Q}}$ .

Примеры

Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
- См. также нульмерное пространство.
Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
- См. также кривая Урысона

Свойства

Неравенство
$\dim(X\times Y)\leqslant \dim X+\dim Y.$

выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства

X

и

Y

:

метризуемость,
компактность,
локальная компактность и паракомпактность.

Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается;^[1] это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.

Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
- Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства $X$ совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на $X$ .
Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство $X$ имеет размерность $\dim X\leqslant n$ тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия ${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ пространства $X$ существует вписанное покрытие ${\mathcal {V}}$ , которое состоит из $n+1$ подсемейств ${\mathcal {V}}_{1},{\mathcal {V}}_{2},\dots ,{\mathcal {V}}_{n+1}$ таких, что каждое подсемейство ${\mathcal {V}}_{i}$ состоит из непересекающиеся между собой множеств.

История

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность $n$ -мерного куба равна $n$ . Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта $\dim X$ (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

Примечания

↑ Wage, Michael L. The dimension of product spaces // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.. — 1978. — Т. 75, № 10. — С. 4671–4672. — doi:10.1073/pnas.75.10.4671.