Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.
Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.
Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов, называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов, называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.
Всякий элемент x {\displaystyle x} конечномерного пространства X {\displaystyle X} представим единственным образом в виде
a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ ∈ --> P {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P} } где P {\displaystyle \mathbb {P} } — поле (часто R {\displaystyle \mathbb {R} } или C {\displaystyle \mathbb {C} } ), над которым рассматривается пространство X {\displaystyle X} , e 1 , e 2 , . . . , e n ∈ ∈ --> X {\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X} — элементы базиса. Это следует из определения базиса.
Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.
Более общий случай — пространства R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ( 1 ≤ ≤ --> p < ∞ ∞ --> {\displaystyle 1\leq p<\infty } ):
Если ввести норму ‖ ‖ --> x ‖ ‖ --> 2 {\displaystyle \|x\|_{2}} и скалярное произведение ( x , y ) = ∑ ∑ --> i = 1 n x i y i , {\displaystyle (x,y)={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}},} то пространство будет евклидовым.
Lokasi Pengunjung: 18.117.148.132